數(shù)形結(jié)合思想下的初中數(shù)學(xué)解題方法探究

【摘要】在數(shù)形結(jié)合思想下，初中數(shù)學(xué)不再局限于傳統(tǒng)的解題方法，以形助數(shù)、以數(shù)解形，化抽象描述為形象表達(dá)、化困難問題為簡(jiǎn)單任務(wù)，使學(xué)生不斷創(chuàng)新解題方法，提高問題解決能力.教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，使學(xué)生多實(shí)踐、巧解題.文章基于數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢(shì)，從“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩個(gè)方面，研究數(shù)形結(jié)合思想下的初中數(shù)學(xué)解題方法，提出在絕對(duì)值、不等式、函數(shù)、三角形、面積等問題中，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的技巧.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題方法

數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最古老、最基本的研究對(duì)象，數(shù)形結(jié)合也是數(shù)學(xué)中最重要的思想方法之一.數(shù)和形在一定條件下發(fā)生轉(zhuǎn)化，產(chǎn)生一定聯(lián)系，即數(shù)形結(jié)合.以數(shù)形結(jié)合理解和解決問題，能夠有效促進(jìn)復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問題解決能力.在初中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合同樣具有優(yōu)勢(shì).利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，不僅能豐富解題方法，而且能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì).教師應(yīng)深入挖掘數(shù)形結(jié)合思想對(duì)初中數(shù)學(xué)解題的實(shí)際作用，幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合習(xí)慣，提高問題解決能力.

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢(shì)

數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，一方面是借助數(shù)的精確性闡述形的某些屬性，另一方面是借助形的直觀性闡明數(shù)的某些關(guān)系.故而在數(shù)形結(jié)合思想下進(jìn)行初中數(shù)學(xué)解題，能夠以形助數(shù)，亦可以數(shù)解形.

數(shù)與形的結(jié)合，強(qiáng)調(diào)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系聯(lián)系在一起.如此進(jìn)行初中數(shù)學(xué)解題，既可使抽象的問題描述轉(zhuǎn)化為更形象的表達(dá)方式，也可使困難的問題要求轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的探究任務(wù).學(xué)生也能發(fā)散思維，以更簡(jiǎn)便的方式解決問題，創(chuàng)新解題方法.

（一）化抽象為形象

初中數(shù)學(xué)問題通常側(cè)重于抽象描述，以此提高解題難度，加強(qiáng)學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng).從審題分析到解決問題，經(jīng)常有學(xué)生不能充分調(diào)動(dòng)抽象思維.在數(shù)形結(jié)合思想下，將抽象的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)化為形象的圖形表達(dá)，能夠有效降低審題和分析難度，梳理解題思路.緊接著，學(xué)生精準(zhǔn)代入已知條件，即可提高解題效率和準(zhǔn)確率.

（二）化困難為簡(jiǎn)單

初中數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性，使許多學(xué)生感到困難，不能正確解題.而在數(shù)形結(jié)合思想下，將復(fù)雜問題拆解為更直觀的表現(xiàn)形式，能夠化困難為簡(jiǎn)單.通過直接觀察，學(xué)生能夠快速找到解決問題的突破口，將困難的解題過程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的探究任務(wù)，提高問題解決效率.

（三）化守舊為創(chuàng)新

數(shù)形結(jié)合思想為解決初中數(shù)學(xué)問題帶來(lái)新角度，因此在數(shù)形結(jié)合思想下，學(xué)生能夠不斷克服思維定式.除了“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”板塊的常規(guī)解題方法，學(xué)生可以多元挖掘其中隱含規(guī)律和隱藏聯(lián)系，開闊解題思路.在此基礎(chǔ)上創(chuàng)新解題方法，使學(xué)生高質(zhì)量解決問題，在更深層次上發(fā)展思維品質(zhì).

二、數(shù)形結(jié)合思想下的初中數(shù)學(xué)解題方法

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用，一般體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”問題中.故而以數(shù)形結(jié)合思想豐富初中數(shù)學(xué)解題方法，應(yīng)特別關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩個(gè)方面.

（一）數(shù)形結(jié)合解決“數(shù)與代數(shù)”問題

初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”問題，包括“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”等.從最基本的絕對(duì)值問題，到不等式問題、方程問題、函數(shù)問題，都能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.

1.絕對(duì)值中的數(shù)形結(jié)合

絕對(duì)值問題是最基礎(chǔ)的初中數(shù)學(xué)問題.在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.認(rèn)識(shí)絕對(duì)值的概念以數(shù)軸為載體，而解決絕對(duì)值的問題，同樣可以應(yīng)用數(shù)軸.例如北師大版教材七年級(jí)上冊(cè)習(xí)題2.3第4題：

數(shù)形結(jié)合解決絕對(duì)值問題，數(shù)軸突出數(shù)值關(guān)系，使學(xué)生準(zhǔn)確比較大小.計(jì)算復(fù)雜的絕對(duì)值、同時(shí)比較多個(gè)有理數(shù)的大小，可以廣泛應(yīng)用數(shù)軸，降低解題難度.

2.不等式中的數(shù)形結(jié)合

求解多個(gè)不等式組、判斷多個(gè)不等式的解集關(guān)系等，都可以借助數(shù)軸，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合.教材特別講解不等式解集在數(shù)軸上的表示方法，從講解不等式的解集概念到練習(xí)不等式及不等式組的求解，可以時(shí)刻滲透數(shù)形結(jié)合思想.

3.函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

方程是函數(shù)的基礎(chǔ)，函數(shù)是方程的延伸.在數(shù)量掌握和運(yùn)用方程知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生應(yīng)深入探索函數(shù)問題，包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等.函數(shù)問題的值域、最大值、最小值、增減性、對(duì)稱性等，都可以通過數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行分析.解決函數(shù)問題，可以多元應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.具體而言，針對(duì)不同的函數(shù)問題，可以繪制相應(yīng)的函數(shù)圖像，直觀分析和解決問題.

通過直觀圖像解決抽象的函數(shù)問題，使“相遇”具象化，提高解題效率.此外觀察圖像，在相遇之后，乙不斷超越甲，使學(xué)生深入思考一次函數(shù)圖像斜率的數(shù)學(xué)意義，深化一次函數(shù)的理論學(xué)習(xí).

（二）數(shù)形結(jié)合解決“圖形與幾何”問題

初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”問題，包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”等.根據(jù)已知條件判斷圖形的性質(zhì)，根據(jù)圖形的坐標(biāo)與變化計(jì)算面積、證明性質(zhì)等，也能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.

1.三角形問題與數(shù)形結(jié)合

三角形作為最基礎(chǔ)的多邊形，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位.以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為例，七年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)三角形”“圖形的全等”、八年級(jí)上冊(cè)“勾股定理”、八年級(jí)下冊(cè)“三角形的證明”、九年級(jí)下冊(cè)“三角函數(shù)”等，都是三角形的核心知識(shí).從判斷三角形的基本性質(zhì)，到證明全等三角形、證明直角三角形和等腰三角形、用勾股定理和三角函數(shù)解決問題，都涉及數(shù)形結(jié)合思想.解決豐富的初中數(shù)學(xué)三角形問題，可以全面運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

具體解題中，學(xué)生可以根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，如正向運(yùn)用勾股定理，計(jì)算直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，也可以通過代數(shù)方法，解決復(fù)雜的幾何問題.

第一，利用三角形的幾何性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)計(jì)算.通過學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的基本公式，如在直角三角形中，用a，b，c分別表示兩條直角邊和斜邊，a2+b2=c2.對(duì)應(yīng)解決邊長(zhǎng)問題，可以直接利用三角形的幾何性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)計(jì)算.

例如：已知一個(gè)直角三角形，其直角邊長(zhǎng)分別為8厘米和15厘米，求這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng).

基于圖形的基本性質(zhì)，直接進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，簡(jiǎn)化煩瑣的分析過程，提高解題效率.

第二，利用代數(shù)方法解決三角形的幾何問題.利用代數(shù)方法解決三角形的幾何問題，首先需要根據(jù)題目給出的幾何條件，建立三角形相關(guān)的代數(shù)表達(dá)式.其次，根據(jù)題目的具體要求和已經(jīng)建立的代數(shù)表達(dá)式，建立代數(shù)方程或方程組.最后解方程，將代數(shù)方程的解代回原幾何問題，解釋和驗(yàn)證原幾何問題的正確答案.三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系、角度問題、面積分析等，都可以應(yīng)用代數(shù)方法進(jìn)行解決，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.在一些題目中，也可以直接對(duì)代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算.

例如：一個(gè)人由山底爬到山頂，需先爬坡角為40°的山坡300米，再爬坡角為30°的山坡100米，求山坡的實(shí)際高度.

根據(jù)題意，山坡的實(shí)際高度即山底與山頂?shù)拇怪本嚯x，因此可以將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形問題.第一個(gè)山坡坡角為40°，邊長(zhǎng)為300米，需要求出垂直于地面的直角邊的長(zhǎng)度.第二個(gè)山坡坡角為30°，其中斜邊長(zhǎng)為100米，同樣需要求出垂直于地面的直角邊的長(zhǎng)度.兩個(gè)山坡的“高度”相加，即為山坡的實(shí)際高度.建立關(guān)于兩條直角邊的代數(shù)表達(dá)式，h1=300×sin40°，h2=100×sin30°，h=h1+h2.直接計(jì)算兩個(gè)代數(shù)表達(dá)式，即能求出山坡的實(shí)際高度h.sin40°≈0.643，sin30°=0.5，h=300×0.643+100×0.5=242.9（米），則山坡的實(shí)際高度為242.9米.

通過將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)問題，用代數(shù)方法進(jìn)行靈活計(jì)算，精準(zhǔn)解決具體問題，使學(xué)生熟練應(yīng)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí).

2.面積問題與數(shù)形結(jié)合

面積問題貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終.初中數(shù)學(xué)中，面積問題的難度系數(shù)進(jìn)一步提高，尤其是“坐標(biāo)—面積”問題.問題以平面直角坐標(biāo)系為背景，給出一些具體坐標(biāo)，要求學(xué)生計(jì)算相應(yīng)的圖形面積.雖然根據(jù)坐標(biāo)信息，能夠確定具體圖形，但是圖形邊長(zhǎng)、高度等信息位置，使面積難以直接計(jì)算.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，先從坐標(biāo)切入，分析圖形的代數(shù)關(guān)系，再將具體數(shù)值代入面積公式，順利解決問題.

例如：在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（1，2），B（3，4），C（5，2），D（3，0）.求四邊形ABCD的面積.

以數(shù)解形解決面積問題，準(zhǔn)確把握數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，提高問題解決能力.

結(jié) 語(yǔ)

總而言之，在數(shù)形結(jié)合思想下，同時(shí)運(yùn)用抽象思維和形象思維進(jìn)行解題，能夠降低初中數(shù)學(xué)解題難度，使學(xué)生豐富解題方法，提高解題能力.解決初中數(shù)學(xué)問題，尤其是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”問題，可以靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)，使學(xué)生自覺化抽象為形象，化困難為簡(jiǎn)單，創(chuàng)新解題方法.如此完善初中數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于更多學(xué)生提升思維品質(zhì)，達(dá)成深度學(xué)習(xí)目標(biāo).

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