高中數(shù)學(xué)中不等式的常見問題的解題教學(xué)策略分析

【摘要】高中數(shù)學(xué)中，不等式是重要且復(fù)雜的知識點，它在代數(shù)、幾何、函數(shù)等多個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如何處理高中數(shù)學(xué)中不等式的常見問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)整體學(xué)習(xí)質(zhì)量已成為當(dāng)下教師研究和思考的重點.基于此，文章利用文獻研究法等方法，首先從不等式性質(zhì)應(yīng)用、解不等式、不等式證明三方面總結(jié)高中數(shù)學(xué)不等式常見問題，并針對三種常見問題以及學(xué)生出錯原因進行剖析，最后針對三種高中數(shù)學(xué)不等式常見問題及解題策略，即提出重視教材，夯實知識基礎(chǔ)；重視解題，發(fā)展核心素養(yǎng)；重視思想，提升解題能力；重視體系，保障知識應(yīng)用四點教學(xué)策略，望通過此次研究給予高中數(shù)學(xué)教師提供高中不等式教學(xué)的新思路.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；不等式；核心素養(yǎng)

引 言

在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，不等式是一個重要的知識點，也是學(xué)生常常感到困惑的難點.不等式問題的解決需要學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活的思維能力，然而在實際學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生常常會遇到各種問題，如混淆不等式性質(zhì)、計算錯誤等，導(dǎo)致在不等式性質(zhì)應(yīng)用、解不等式、不等式證明等常見的不等式問題中出現(xiàn)錯誤，因此，本文旨在引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理不等式問題，提供實用的解題策略和方法，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得更好的成績.

一、高中數(shù)學(xué)不等式常見問題類型

（一）不等式性質(zhì)應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不等式的基本性質(zhì)有8條，而通?？荚囶}目以綜合性題目為主，考查學(xué)生對8條不等式基本性質(zhì)的掌握，并且通常以“若……則……”的形式出現(xiàn)，即由條件得出結(jié)論的語言結(jié)構(gòu)形式出現(xiàn)，通過整理近年來所出現(xiàn)的較為經(jīng)典的不等式基本性質(zhì)應(yīng)用的考查問題，發(fā)現(xiàn)以判斷命題是否成立、利用不等式性質(zhì)比較大小等題型形式出現(xiàn)，在此，以如下兩道經(jīng)典例題為例分析不等式性質(zhì)應(yīng)用常見問題.

例1 若a>b，則（ ）.

A.ln（a-b）>0 B.3a<3b C.a3-b3>0

解析 該例題涉及不等式的性質(zhì)和數(shù)學(xué)運算的基本規(guī)則，需要學(xué)生逐個檢查每個選項，以確定哪個選項是正確的，并找出可能出現(xiàn)的常見問題.對于選項A，這個選項假設(shè)了對數(shù)函數(shù)ln（x）的定義域為x> 0，但是題目只給出了a>b，并沒有給出a-b>0的條件，因此不能直接應(yīng)用對數(shù)函數(shù).該例題是一個常見的問題，對數(shù)函數(shù)的定義域必須滿足x>0；對于選項B，該選項直接應(yīng)用了不等式的乘法性質(zhì)，即如果ab，則a3-b3，從而a3-b3>0.這個選項是正確的，因為它符合不等式的加法和乘法性質(zhì)，且沒有違反任何數(shù)學(xué)規(guī)則.該題著重考查了學(xué)生對不等式性質(zhì)的掌握，要求學(xué)生綜合8條不等式的基本性質(zhì)，然而由于部分學(xué)生自身知識基礎(chǔ)不牢固，導(dǎo)致出現(xiàn)解題問題.

（二）解不等式

解不等式問題也是高中數(shù)學(xué)不等式的常見問題類型，主要包含一元一次、一元二次、分式、指數(shù)等在內(nèi)的不等式，出題形式以選擇題、填空題或簡單的解答題為主，通過整理近年來頻繁出現(xiàn)的解不等式題目，題目內(nèi)容大致包含以下兩大類：第一，直接解不等式問題；第二，用不等式解題的綜合性問題.

該題目是一道較為經(jīng)典的綜合性數(shù)學(xué)題目，集中考查了學(xué)生對一元二次方程以及不等式等知識的掌握情況，同時在題目中滲透數(shù)學(xué)計算，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)一元二次不等式提供學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，從而落實核心素養(yǎng)培養(yǎng).但是在此類題目中，部分學(xué)生極易出現(xiàn)以下三點問題：第一，忽視定義域限制；第二，誤用不等式性質(zhì)；第三，計算錯誤.從第一點而言，部分學(xué)生在進行不等式運算時，可能會忽略某些函數(shù)的定義域限制，導(dǎo)致此類問題的原因在于對函數(shù)性質(zhì)的理解不足，或者匆忙解題而沒有仔細考慮每個步驟的合理性；從第二點而言，部分學(xué)生在應(yīng)用不等式性質(zhì)時，可能會錯誤地改變不等號的方向或忽略某些性質(zhì)的應(yīng)用條件，而導(dǎo)致此類問題出現(xiàn)的原因可能是對不等式性質(zhì)的理解不準確，或者沒有仔細分析問題的特定條件；從第三點而言，部分學(xué)生在計算過程中可能會出現(xiàn)計算錯誤，如加減乘除運算、開方運算等，而導(dǎo)致此類問題出現(xiàn)的原因可能是粗心大意等.

（三）不等式證明

不等式證明問題也是高中數(shù)學(xué)不等式的常見問題類型，在解決該類問題過程中，通常可將不等式看作給定條件下的絕對不等式，此類題目綜合性考查學(xué)生的邏輯思維能力，要求學(xué)生結(jié)合不等式基本性質(zhì)、不等式定理等內(nèi)容證明不等式.近年來，不等式證明題型逐漸多樣化，內(nèi)容包含數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等結(jié)合，在此以下述題目為例，做出典型分析.

二、高中數(shù)學(xué)不等式常見問題教學(xué)策略

（一）重視教材，夯實知識基礎(chǔ)

通過對高中數(shù)學(xué)不等式知識呈現(xiàn)方式的研究，發(fā)現(xiàn)無論是教材編寫，或是高考題目均融合大量不等式知識，教材編寫體現(xiàn)出《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》的教學(xué)需求，按照縝密的邏輯思維編排教學(xué)內(nèi)容，而高考題目則注重從綜合性角度考查學(xué)生對不等式知識結(jié)構(gòu)的掌握.但是根據(jù)上文所出現(xiàn)的不等式常見問題錯誤及成因，其中主要原因之一在于知識基礎(chǔ)性錯誤，如對不等式性質(zhì)等數(shù)學(xué)概念掌握不清等，教師可利用變式訓(xùn)練等數(shù)學(xué)訓(xùn)練幫助學(xué)生夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

相較于例題4，變式訓(xùn)練1則首先需要將a，b看作已知數(shù)量，將t看作未知數(shù)量，找到三個數(shù)量之間的關(guān)系，隨后根據(jù)橢圓定義中的基本量關(guān)系求得t的取值范圍，在此不對變式訓(xùn)練解題思路做出過多贅述.綜合分析兩種題目，發(fā)現(xiàn)題目求圓錐取值范圍問題均需要找尋題目中所隱藏的不等式關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為離心率或參數(shù)的不等關(guān)系，進而求得離心率、參數(shù)的取值范圍，但是此過程的難度在于找尋問題中隱藏的不等關(guān)系，要求學(xué)生從題干信息中的基本概念、基本原理所蘊含的“性質(zhì)”入手，此類型值更具有隱蔽性，教師通過開展變式訓(xùn)練能夠幫助學(xué)生重視隱蔽性的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)性質(zhì)，進而找到不等式的建立思路.

（二）重視解題，發(fā)展核心素養(yǎng)

通過對高中數(shù)學(xué)不等式常見問題的深入研究，發(fā)現(xiàn)不等式知識內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等契合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)維度的內(nèi)容.除此之外，高考對高中數(shù)學(xué)題目考查能力提出細化要求，并且提出要設(shè)計考查學(xué)生抽象概括能力、數(shù)學(xué)處理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的題目內(nèi)容，然而通過上述高中學(xué)生在不等式解題過程中所出現(xiàn)的常見錯誤發(fā)現(xiàn)高中學(xué)生不僅普遍出現(xiàn)數(shù)學(xué)能力薄弱的問題.基于此，高中數(shù)學(xué)教師需要針對性開展技能訓(xùn)練、變式訓(xùn)練.以下述題目為例，教師可針對性設(shè)計出變式訓(xùn)練題目.

（三）重視思想，提升解題能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，數(shù)形結(jié)合、化歸思想等思想是不等式解法的常用思想.從數(shù)形結(jié)合思想而言，不等式關(guān)系存在于“數(shù)字”和“符號”之中，所以不等式是從“數(shù)”“形”中抽象而出的數(shù)學(xué)模型，涵蓋一元二次函數(shù)等在內(nèi)的不等式解題方法均蘊含著數(shù)形結(jié)合思想；其次，在數(shù)學(xué)問題解題過程中，不等式關(guān)系和不等式定理知識作為不等式問題轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也需要將不等式轉(zhuǎn)化為其他數(shù)學(xué)模型求解.而通過上述解題分析，發(fā)現(xiàn)大部分高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中缺乏數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化的意識，所以在教學(xué)過程中，教師可以典型題目為例，要求學(xué)生采用一題多解的方式，幫助學(xué)生深入知識核心，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，掌握數(shù)學(xué)思想.

（四）重視體系，保障知識應(yīng)用

不等式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要工具，在高中數(shù)學(xué)不等式的解題過程中，需要重視不等式知識的系統(tǒng)性和應(yīng)用性.從系統(tǒng)性而言，高中數(shù)學(xué)不等式知識涵蓋完整的知識拼圖，具體可從“what”“why”“how”三方面思考，例如，首先分析“不等式是什么”，在此環(huán)節(jié)需要學(xué)生理解正確理解不等式的定義、性質(zhì)，熟悉不等式的形式和特點；其次，分析“為什么要列此不等式”，或“列此不等式的原因是什么”，在該環(huán)節(jié)則要求學(xué)生對照題干信息審慎建立不等式關(guān)系，尋找題干信息中已知的不等式關(guān)系以及隱藏的不等式關(guān)系；最后，學(xué)生可思考“解不等式步驟是怎樣的”，在該環(huán)節(jié)，要求學(xué)生掌握不等式變形技巧，掌握解變形、等價變形等技巧，同時準確識別等價轉(zhuǎn)化，學(xué)會正確將復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為簡單的等式，如利用平方差公式、完全平方公式進行轉(zhuǎn)化.

結(jié) 語

不等式作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其復(fù)雜性和實用性使其成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點和重點.文章通過對高中數(shù)學(xué)中不等式的常見問題及處理策略的研究，有助于學(xué)生深化對不等式的理解，同時提高解決實際問題的能力.然而，由于不等式的變化多端和應(yīng)用的廣泛性，仍有許多問題和挑戰(zhàn)有待進一步探索，在后續(xù)的研究中教師應(yīng)繼續(xù)結(jié)合教學(xué)實踐對高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)應(yīng)用進行深入研究.

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