數(shù)學文化及其教育研究述評

摘 要：數(shù)學承載著文化，數(shù)學文化的本質是從數(shù)學的外在表征中抽象出的觀念性成分。數(shù)學文化具有重要的教育價值，數(shù)學文化教育研究取得的成果主要體現(xiàn)在數(shù)學文化課程的開設、數(shù)學課程（教材）中數(shù)學文化融入（應用）的設計、數(shù)學課堂中數(shù)學文化教學的實踐、數(shù)學考試（評價）中數(shù)學文化融入（應用）的研究等方面。數(shù)學文化教育的研究還需要：升華數(shù)學文化的教育價值，探索數(shù)學文化教育的當代意蘊，構建數(shù)學文化教育的新格局。

關鍵詞：數(shù)學文化；教育價值；數(shù)學文化教育；研究述評

一、 從數(shù)學文化的研究到數(shù)學文化的內涵

（一） 數(shù)學文化的研究

數(shù)學承載著文化，是人類文明的重要組成部分。［1］第一個明確、系統(tǒng)地提出數(shù)學文化觀的學者是美國數(shù)學家懷爾德。他的著作《作為文化體系的數(shù)學》從人類文化產(chǎn)生、發(fā)展和比較的角度出發(fā)，對數(shù)學文化及其理論體系的形成進行了獨立的研究和系統(tǒng)的總結。自此，數(shù)學文化開始受到人們的重視，學者們開始從不同的視角研究數(shù)學文化的意義、內涵、影響、滲透等?，F(xiàn)代美國數(shù)學家、數(shù)學史家、數(shù)學教育家M.克萊因認為，數(shù)學文化是人類文化的子系統(tǒng)，具有特定的內容系統(tǒng)。他的三部代表作《西方文化中的數(shù)學》《古今數(shù)學思想》和《數(shù)學：確定性的喪失》闡述了數(shù)學文化的價值、內涵和研究方法、具體內容，產(chǎn)生了深遠的影響。

我國學者也十分重視對數(shù)學文化的研究。一批關注數(shù)學文化的數(shù)學家、哲學家以及數(shù)學教育家相繼有這方面的專著出版，產(chǎn)生了廣泛的影響。例如鄧東皋、孫小禮、張祖貴著的《數(shù)學與文化》，該著作從分析數(shù)學的本質入手，從不同的角度闡明了數(shù)學在文化領域中的地位，匯集了數(shù)學文化研究的基本內容，并著重分析了近代數(shù)學、數(shù)學哲學及其研究的基本問題，具有重要的資源文獻保存價值。另一本代表性的著作是著名數(shù)學家齊民友的《數(shù)學與文化》，該著作從數(shù)學和文化的起源論起，特別指出了數(shù)學思維的地位、作用以及文化意義，深入分析了數(shù)學和文化的關系，同時闡明了數(shù)學本身對人類文化產(chǎn)生的深遠影響，不僅在現(xiàn)代科技方面，更關鍵的是它表現(xiàn)出的理性主義的創(chuàng)新理念。此外，還有鄭毓信教授的《數(shù)學文化學》，該著作從社會建構主義的哲學觀出發(fā)，闡述了數(shù)學文化的意義、作用，強調了“數(shù)學共同體”產(chǎn)生的文化效應，建構了相對獨立的數(shù)學文化體系。鄭教授認為：數(shù)學文化是指由某種因素（居住地域、民族性、職業(yè)等）聯(lián)系起來的各個群體所特有的行為、觀念和態(tài)度等，也就是指各個群體所特有的“生活（行為）方式”。［2］以及張奠宙先生的《數(shù)學文化教程》和顧沛教授的《數(shù)學文化》。張先生指出：“今天的數(shù)學，已經(jīng)不是我們從前熟悉的模樣了?，F(xiàn)代數(shù)學常識作為一種普通公民應具有的素質，展現(xiàn)在我們面前?！保?］顧教授認為，簡單地說，數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展；廣泛地說，除了上述內涵外，還包括數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系，數(shù)學與各種文化的關系等。［4］

（二） 數(shù)學文化的內涵

長期以來，學界雖然重視對數(shù)學文化的研究，但是對數(shù)學文化的內涵還沒有達成共識。在基礎教育課程標準（教學大綱）性質的文件中，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》第一次界定了數(shù)學文化的內涵：“數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動?！保?］由此，綜合國內外的研究，關于數(shù)學文化的內涵，我們可以得到如下結論：

（1） 數(shù)學文化是宏觀文化背景下數(shù)學及其相關人類活動的成果，既有廣義的層次，又有狹義的層次。廣義的數(shù)學文化涵蓋了人們在進行數(shù)學及其相關的實際活動過程中創(chuàng)造并獲得的數(shù)學知識系統(tǒng)和觀念系統(tǒng)兩個層面的總和；狹義的數(shù)學文化關注觀念系統(tǒng)，包括具有數(shù)學特質的基本觀點、思想方法、語言、精神等，反映與數(shù)學相關的人文活動。

（2） 數(shù)學文化不僅開放包容、兼收并蓄，而且有著多種多樣的外在表征，例如數(shù)學的歷史發(fā)展、數(shù)學哲學、數(shù)學思想、數(shù)學語言、數(shù)學美、數(shù)學的作用以及數(shù)學與其他學科的聯(lián)系和多元互動等。數(shù)學文化既包括數(shù)學理性精神創(chuàng)造的文明成果，同時也體現(xiàn)在數(shù)學思維活動獲取的數(shù)學成果中。可見，數(shù)學文化蘊涵著豐富的育人價值，包括數(shù)學的科學與人文價值、應用與審美價值等。

（3） 在把數(shù)學看作一種文化現(xiàn)象的宏觀視角下，數(shù)學文化兼具知識性與觀念性的雙重成分；而狹義的觀點著重研究數(shù)學文化中的觀念性成分。［6］從數(shù)學文化的本質屬性分析，數(shù)學文化的核心是外顯的數(shù)學科學體系中凝練出的內隱的數(shù)學觀念和數(shù)學傳統(tǒng)。［7］也就是說，數(shù)學文化的本質是從外在表征中抽象出的觀念性成分，而非廣袤無邊的外顯數(shù)學現(xiàn)象的總和。

二、 從數(shù)學文化的教育價值到數(shù)學文化教育的研究

（一） 數(shù)學文化的教育價值

數(shù)學文化具有重要的教育價值，是“對全體人民的科學思維與文化素質的哺育”。因為，“數(shù)學文化具有比數(shù)學知識體系更為豐富和深邃的文化內涵，數(shù)學文化是對數(shù)學知識、技能、能力和素質等概念的高度概括。我們學習數(shù)學不僅僅是為了掌握基礎知識，更要利用數(shù)學精神、數(shù)學思維和數(shù)學方法的陶冶，培養(yǎng)思維能力，鍛煉意志品質，并且把它們遷移到學習、日常的工作和生活等領域中去”［8］。每一個現(xiàn)代人都要接受數(shù)學文化教育，學會欣賞人類文明創(chuàng)造的成果，通過對數(shù)學的認識、理解、思維和表達，提高文化素養(yǎng)。

隨著數(shù)學對現(xiàn)代科學技術和社會發(fā)展影響的不斷擴大以及數(shù)學自身的不斷發(fā)展，數(shù)學文化的教育價值不斷提升。近年來，許多國家的數(shù)學教育都越來越重視數(shù)學文化的滲透。

美國的《學校數(shù)學教學原則和標準》指出：數(shù)學是人類文化遺產(chǎn)的一部分，人們應該具有理解和欣賞這一偉大成就的能力。［9］英國的數(shù)學課程標準提出：數(shù)學這一課程突破了文化的界限；數(shù)學豐富了文化，文化也豐富了數(shù)學。亞洲的日本、韓國等國家也在其學習指導或課程設置中，提出以數(shù)學史、數(shù)學游戲、實踐應用等為材料，強調它們與數(shù)學教育相結合，訓練學生的理性思維方式。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“課程理念”中強調：關注數(shù)學文化，并注重繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。［10］

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》不僅在“基本理念”中強調“注重數(shù)學文化的滲透”，而且在“課程內容”中強調“數(shù)學文化融入課程內容”，在“教學建議”中強調“數(shù)學文化融入教學活動”，

同時在“命題建議”中強調“考查內容融入數(shù)學文化”。

（二） 數(shù)學文化教育的研究

由于數(shù)學文化具有重要的教育價值，數(shù)學文化研究的教育傾向也日益明顯，即數(shù)學文化的研究更多地落實在數(shù)學教育領域，表現(xiàn)為數(shù)學文化教育的研究。

聚焦國內，已有一批學者開展了數(shù)學文化教育的研究，取得了很多研究成果。例如，張維忠教授長期致力于數(shù)學文化融入數(shù)學教育的研究，并且在《我國數(shù)學文化與數(shù)學教育研究30年的回顧與反思》一文中，梳理了我國數(shù)學文化和數(shù)學教育研究取得的成績［11］。袁緣的博士論文《數(shù)學文化與人類文明——數(shù)學文化與數(shù)學教育的研究與思考》，從考察中外數(shù)學文化與人類文明及其發(fā)展的關系視角提出數(shù)學文化對數(shù)學教育的影響［12］，也是其中的代表。張定強教授指出，數(shù)學文化的內在價值決定了數(shù)學文化融入數(shù)學教學的意蘊，為此，要在教學導言、情境創(chuàng)設、概念講解、歸納總結、習題分析、思想方法挖掘以及數(shù)學模型建構的過程中滲透數(shù)學文化。［13］此外，數(shù)學文化與數(shù)學教育相結合的學術交流不斷加強，吸引了一批中小學數(shù)學教師，其參與度也在不斷提高?？偟膩碚f，數(shù)學文化教育研究取得的成果主要體現(xiàn)在四個方面：

一是數(shù)學文化課程的開設。張順燕教授最先在高校開設了數(shù)學文化方面的課程。他的著作《數(shù)學的思想、方法和應用》不斷再版，成為教育部“九五”規(guī)劃重點教材、北京市精品教材；《數(shù)學的源與流》和《數(shù)學的美與理》等在國內也有重要的影響。顧沛教授也為大學生開設了數(shù)學文化課程。他的課程內容豐富，具有特色，產(chǎn)生了重要的影響，成為數(shù)學文化課程建設的一面旗幟。他在教學中注重對數(shù)學文化意境的分析，特別從數(shù)學觀點、數(shù)學典故、數(shù)學問題這些視角進行分析，提高學生對數(shù)學的宏觀認識和整體把握，體現(xiàn)數(shù)學的思想、精神等。他總結得出，高校開設數(shù)學文化課程的目的（意義）在于以數(shù)學思想、數(shù)學精神等為中心提高學生的科學素養(yǎng)、文化素養(yǎng)以及綜合素養(yǎng)。［14］近年來，有關數(shù)學文化的著作（包括譯著）增多，國內也相繼出版了一批質量較高的數(shù)學史與數(shù)學文化專著，其中，對數(shù)學史與數(shù)學文化課程的結構、內容與方法論研究及應用水平層次有較大程度的提高。

二是數(shù)學課程（教材）中數(shù)學文化融入（應用）的設計。王建磐等研究發(fā)現(xiàn)，中、法、美等國都重視數(shù)學文化在教材結構與內容體系中的建構，各國的教材在數(shù)學文化的呈現(xiàn)、結合和滲透方法上各具特色。［15］張維忠等通過對澳大利亞教材中數(shù)學文化內涵的分析，以及與我國數(shù)學教材的比較，提出我國數(shù)學教材編寫應該注重以數(shù)學知識為載體，從多個角度關聯(lián)、滲透數(shù)學文化，并通過多元化的數(shù)學文化呈現(xiàn)，理解和品味數(shù)學之美。［16］劉潔民分析了高中數(shù)學課程標準中的數(shù)學文化選題，從著力把控數(shù)學文化教案設計入手，注重體現(xiàn)適度性、準確性、趣味性、啟發(fā)性和吸引力。［17］

章勤瓊等專門統(tǒng)計了人教A版高中數(shù)學必修一到必修五中各章節(jié)從章頭圖到習題板塊的數(shù)學文化內容，提出應該在數(shù)學教材的編寫過程中，注重數(shù)學文化合情合理地表征在相關的內容中。［18］黃孝長等以人教A版、北師大版、蘇教版高中數(shù)學教材必修部分的“閱讀材料”為對象進行了較為系統(tǒng)的比較研究，從另一個側面剖析高中數(shù)學教材中選取數(shù)學文化素材的特點與要求。［19］林婷等則以人教版和魯教版為例，對初中數(shù)學教材中“圖形與幾何”部分的數(shù)學文化進行了比較全面的分析論證，屬于專題突破。［20］覃淋開展了文化視角下大陸和臺灣地區(qū)高中數(shù)學教材的比較研究。［21］……

三是數(shù)學課堂中數(shù)學文化教學的實踐。據(jù)統(tǒng)計，2017年以來，中國知網(wǎng)收錄了相關實踐案例100余篇。其中，數(shù)學文化在不同學段都有所滲透，而在小學數(shù)學課堂的滲透居多。汪曉勤教授在指導數(shù)學文化融入數(shù)學課堂方面成果斐然，近年來出版了《HPM：數(shù)學史與數(shù)學教育》《數(shù)學史與初中數(shù)學教學——理論、實踐與案例》《數(shù)學史與高中數(shù)學教學——理論、實踐與案例》等多部包含大量實踐案例的著作。汪教授致力于HPM研究，圍繞“為何”與“如何”的問題重點研究了數(shù)學史融入中小學數(shù)學課堂教學的實踐，并結合HPM與數(shù)學教師專業(yè)化發(fā)展、數(shù)學史有效融入數(shù)學課程教材等方面，從理論上闡明了數(shù)學史在數(shù)學本質、數(shù)學探究、數(shù)學創(chuàng)造等方面具有的深刻而獨特的功能。汪教授率領研究團隊和浙江省義烏市王芳數(shù)學教育工作室合作開發(fā)了數(shù)十個HPM課例，為HPM的研究提供實踐知識。這是高校教授與高中一線教師聯(lián)合開展實踐研究的典例。

四是數(shù)學考試（評價）中數(shù)學文化融入（應用）的研究。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》頒布之后，數(shù)學“新高考”明確要求要考查數(shù)學文化內容，每年都以不同的形式多角度地考查數(shù)學文化內容，使之成為熱點。傅海倫教授主編的《數(shù)學文化與拓展》（共五冊）配合人教版高中數(shù)學教材，分析有關的高考題，透視數(shù)學文化作為高考內容的考查形式和要求，引導師生不僅平時要教好、學好數(shù)學文化，還要會考、善考數(shù)學文化。更為重要的是，啟發(fā)師生更加密切地關注數(shù)學文化及其教學的長遠作用和價值，回歸數(shù)學文化教育的本質。近年來，許多研究者對高考中的數(shù)學文化試題進行了剖析，有的研究者還針對高考題的導向功能探索教學策略和啟示。據(jù)統(tǒng)計，2017年以來，中國知網(wǎng)收錄了相關研究文章80余篇。此外，特別值得一提的是，已經(jīng)成功舉辦了20屆的江蘇省初中數(shù)學文化節(jié)，命制了大量優(yōu)秀的數(shù)學文化試題，值得更為廣泛、深入的欣賞與研究。

三、 進一步的思考

盡管數(shù)學教育中滲透數(shù)學文化的研究不斷加強，但是真正具有重要實踐推廣和應用價值的研究依然不足，教育的針對性和創(chuàng)新性仍需進一步加強和提高。同時，應該在繼續(xù)挖掘、豐富數(shù)學文化資源的基礎上，進一步拓展數(shù)學文化與數(shù)學教育結合的廣度和深度：一線教師還缺乏數(shù)學文化研究的系統(tǒng)理論指導，也缺少已有案例的總結提升。因此，數(shù)學文化教育的研究還需要：

（一） 升華數(shù)學文化的教育價值

數(shù)學文化教育應立足于文化教育功能，致力于促進立德樹人目標的實現(xiàn)，從數(shù)學教育的特點出發(fā)，重新審視數(shù)學教育的科學價值與文化價值及其關系，將數(shù)學教育置于文化的環(huán)境下重新認識，深入挖掘數(shù)學的文化內核，通過外顯的數(shù)學客觀形態(tài)，高度概括凝練其內隱的數(shù)學文化傳統(tǒng)，從內容選取、教育教學設計、過程方法實施、效果評價等多個維度做好數(shù)學文化資源的教育形態(tài)轉化，切實提高數(shù)學文化教育的全面育人功能。通過數(shù)學文化教育，走出重科學、輕人文的誤區(qū)，推動學生的科學素養(yǎng)和人文素養(yǎng)全面、和諧、綜合發(fā)展。

（二） 探索數(shù)學文化教育的當代意蘊

數(shù)學文化教育內涵豐富、范圍廣闊，無論數(shù)學知識產(chǎn)生的歷史背景、發(fā)人深思的數(shù)學智趣問題，還是妙趣橫生的數(shù)學家軼聞，或是數(shù)學語言以及與數(shù)學相關的人文活動，包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義等，都承載著數(shù)學文化的外顯表現(xiàn)形式，需要在教育過程中適時滲透和融入。同時，落實數(shù)學文化教育的關鍵還在于知識性成分背后的觀念性成分，需要挖掘和提煉。數(shù)學文化教育不能停留在淺層，止步于表象，而應進一步探索其從外顯到內隱的當代意蘊，以適當?shù)姆绞皆跀?shù)學課程中予以呈現(xiàn)，深入挖掘外顯史實背后蘊含的數(shù)學精神、思想、方法、觀點，給學生以精神上的鼓舞、思維上的誘導、情感上的熏陶，培養(yǎng)學生敢于批判、探索、創(chuàng)新的品質。

（三） 構建數(shù)學文化教育的新格局

實現(xiàn)數(shù)學文化與數(shù)學教育的深度融合、科學價值與人文價值的協(xié)調統(tǒng)一，需要構建數(shù)學文化教育的新格局。首先，在理論研究方面更開放包容。要吸收借鑒歷史學、哲學、文化學、信息技術等相關學科的研究成果，以一種超越工具理性、注重價值理性的視角看待數(shù)學文化教育。其次，加強實踐研究，以尋找落實數(shù)學文化教育的優(yōu)化路徑。要在注重數(shù)學科學價值的同時，充分挖掘數(shù)學的人文價值，在實踐中不斷探索和總結，加強經(jīng)驗反思和專題研究，建立切實可行、有推廣價值的數(shù)學文化教育方法論系統(tǒng)。再次，建立數(shù)學文化教育的評價體系。要不斷創(chuàng)新數(shù)學文化教育的科學、多元、公正的評價機制，注重過程評價與結果評價相結合，將數(shù)學科學價值與人文價值統(tǒng)一于數(shù)學文化教育新格局中，切實提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，促進數(shù)學教育的高質量發(fā)展。

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（傅海倫，山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，教授，博士生導師。主要研究方向：數(shù)學文化、數(shù)學課程與教學論。

王心羽，山東省煙臺傅家中學。主要研究方向：數(shù)學文化與中學數(shù)學教育。）