立體幾何中的折疊問題

摘" 要：在立體幾何試題中，有不少是以折疊為背景的，這類試題主要考查正方形的折疊、三角形的折疊、矩形的折疊、菱形的折疊，以及其他圖形的折疊等，文章梳理了這些題型及其解題策略.

關(guān)鍵詞：立體幾何；折疊；長方形；三角形；梯形

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0082-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：陳齊心（1981.6—），女， 浙江省天臺人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

折疊問題是平面幾何升華成立體幾何的問題，平面元素變成了空間元素.在平面圖形轉(zhuǎn)化成空間圖形時，特別注意等量與變量的關(guān)系以及位置關(guān)系的變化［1］，在研究立體元素關(guān)系時，時刻注意相對應的元素在原平面圖形中的位置與度量.

1" 正方形中的折疊

例1" 將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，下列結(jié)論正確的有（" ）.

A.△DBC是等邊三角形

B.AC⊥BD

C.V 三棱錐D-ABC=212

D.四面體ABCD外接球的表面積為π

解析" 如圖1，取AC的中點E，連接DE，BE，則DE⊥AC，BE⊥AC，且DE=BE.

圖1" 例1題圖

因為平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DE平面ADC，所以DE⊥平面ABC.

又BE平面ABC，所以DE⊥BE.

又正方形ABCD的邊長為1，則DB=2DE=1.

所以BC=CD=BD=1.

所以△DBC是等邊三角形，故A正確.

因為AC⊥DE，AC⊥BE，BE，DE平面DEB，

DE∩BE=E，所以AC⊥平面DBE.

又BD平面DBE，所以AC⊥BD，故B正確.

因為DE為三棱雉D-ABC的高，

所以V三棱錐D-ABC=13S△ABC·DE=13×12×1×1×22=212，故C正確.

由題知EA=EB=EC=ED=22，

所以點A，B，C，D都在以E為圓心，半徑R=22的球面上.所以四面體ABCD外接球的表面積為4π·（22）2=2π，故D錯誤.

故選ABC.

2" 三角形中的折疊

例2" 在Rt△ABC中，A=90°，將△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角B-AD-C，折疊后.

（1）AC與BD所成的角為.

（2）當AB=AC=2時，四面體ABCD外接球的體積為，內(nèi)切球的表面積為.

（3）∠BAC的最小值為.

圖2" 例2題圖

解析" （1）如圖2所示，因為折疊前AD⊥BC，所以折疊后AD⊥BD.由于折疊后的二面角是直二面角，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.

又AD∩CD=D，AD，CD平面ADC，所以BD⊥平面ADC.又AC平面ADC，所以BD⊥AC.

（2）因為AB=AC=2，所以D為BC的中點，故DA=DB=DC=2.

由（1）知，折疊后DA，DB，DC兩兩垂直，從而四面體ABCD的外接球即為棱長為2的正方體的外接球.

設(shè)四面體ABCD外接球的半徑為R，故

（2R）2=（2）2+（2）2+（2）2.

所以R=62.

所以四面體ABCD外接球的體積

V=43πR3=43π·（62）3=6π.

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則

13（S△ABC+S△ABD+S△BDC+S△ADC）r=V 四面體ABCD=13S△BDC·AD.

即（34×22+12×2×2×3）r=12×2×2×2.解得

r=23+3=32-66.

所以四面體內(nèi)切球的表面積為

S=4πr2=4π·（32-66）2=8-433π.

（3）在原Rt△ABC中，設(shè)AB=b，AC=c，

△ABD∽△CBA，則BD=AB2BC=b2b2+c2，

△ADC∽△BAC，則CD=AC2BC=c2b2+c2.

所以折疊后，BC=BD2+DC2=b4+c4b2+c2.

在折疊后的△ABC中，由余弦定理的推論得

cos∠BAC

=b2+c2-（b4+c4）/（b2+c2）2bc

=bcb2+c2

≤（b2+c2）/2b2+c2=12.

即cos∠BAC≤12，當且僅當b=c時取等號.

由于0°lt;∠BAClt;90°，所以60°≤∠BAClt;90°.

即∠BAC的最小值為60°.

3" 矩形中的折疊

例3［2］" 如圖3，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿對角線BD將△BCD折起，使點C到達點C′處，且C′O⊥平面ABD于點O，點O恰在AB上.

（1）求證：BC′⊥平面AC′D；

（2）求點A到平面BC′D的距離.

圖3" 例3題圖

解析" （1） 因為C′O⊥平面ABD，DA平面ABD，所以C′O⊥DA.

又AB⊥DA，AB∩C′O=O，AB，C′O平面ABC′，則DA⊥平面ABC′.

又BC′平面ABC′，故DA⊥BC′.

又BC⊥CD，所以BC′⊥C′D.因為DA∩C′D=D，DA，C′D平面AC′D，故BC′⊥平面AC′D.

（2）過點A作AE⊥C′D于點E，因為BC′⊥平面AC′D，AE平面AC′D，所以BC′⊥AE.

又BC′∩C′D=C′，BC′，C′D平面BC′D，則

AE⊥平面BC′D.

因此線段AE的長就是點A到平面BC′D的距離.

由 （1） 知DA⊥平面ABC′，所以DA⊥AC′.

而C′D=CD=33，AD=BC=3，

所以AC′=C′D2-AD2=32.

在Rt△C′AD中，由面積關(guān)系，得

AE=AC′·ADC′D=32×333=6.

所以點A到平面BC′D的距離是6.

4" 梯形中的折疊

例4" 如圖4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖5中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.

圖4" 直角梯形""""" 圖5nbsp; 四棱錐

（1）證明：CD⊥平面A1OC；

（2）當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為362，求a的值.

解析" （1）在圖4中，由已知得BE⊥AC，四邊形BCDE為平行四邊形.

即在圖5中，BE⊥A1O，BE⊥OC.

又A1O∩OC=O，A1O，OC平面A1OC，

則BE⊥平面A1OC.

又CD∥BE，故CD⊥平面A1OC.

（2）因為平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，

A1O⊥BE，A1O平面A1BE.

故A1O⊥平面BCDE.

即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.

由圖4知，A1O=22AB=22a，

BCDE的面積

S=BC·AB=a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積

V=13S·A1O=13×a2×22a=26a3=362，

解得a=6.

5" 結(jié)束語

立體幾何的折疊問題實質(zhì)上就是由平面圖形生成立體圖形的過程［3］.解題時要注意觀察圖形在折疊前后，哪些是不變的（比如垂直關(guān)系在折疊前后是不變的），哪些是改變的（比如有些線段的長度、有些角度會改變），這對成功解題至關(guān)重要［4］.對于高中生來說，熟悉以上立體幾何的折疊問題及其解題策略，對提高他們的空間想象能力、數(shù)學運算能力和邏輯推理能力都是有幫助的.

參考文獻：

［1］

李鴻昌.點在面內(nèi)的多視角證明與高觀點審視：一道2020年立體幾何高考題引發(fā)的探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（22）：101-104.

［2］ 邢雷源.從“二維”到“三維”，平面圖形翻折：一道立體幾何題的探究［J］.數(shù)學之友，2023，37（12）：69-70，73.

［3］ 徐曉霞.翻折多變化，動態(tài)顯身手：立體幾何中的翻折問題［J］.中學生數(shù)理化（高考數(shù)學），2023（02）：15-17.

［4］ 王小青.基于運動觀點研究立體幾何中的最值問題［J］.中學數(shù)學月刊，2023（11）：73-76.

［責任編輯：李" 璟］