利用“摩擦角”和“慣性力”巧解力學(xué)問(wèn)題

摘" 要：文章介紹了利用“摩擦角”巧解動(dòng)態(tài)平衡和利用“慣性力”巧解不平衡兩類(lèi)問(wèn)題，不僅可避開(kāi)復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使解題更簡(jiǎn)潔直觀，更能拓寬學(xué)生思路，活化知識(shí)，讓學(xué)生理解這些現(xiàn)象的物理本質(zhì)，從而提高處理問(wèn)題的效率和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：摩擦角；慣性力；巧解

中圖分類(lèi)號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0121-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：史紀(jì)晗（1982.3—），女，山東省棗莊人，本科，中級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

在物理學(xué)習(xí)的過(guò)程中，除熟練掌握課本基本知識(shí)和一些常規(guī)的解題方法外，還要掌握一些非常規(guī)的解題方法.這些非常規(guī)的解題絕技一旦掌握，很多題目會(huì)輕而易舉得出答案，不僅可以“秒殺”選擇題，同時(shí)處理物理計(jì)算題也得心應(yīng)手，從而達(dá)到快速解決問(wèn)題的目的.下面就利用“摩擦角”和“慣性力”巧析力學(xué)中的兩類(lèi)問(wèn)題.

1" 利用“摩擦角”巧解動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

當(dāng)物體沿粗糙水平面做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于物體所受支持力和滑動(dòng)摩擦力方向互相垂直，大小有Ff=μFN的關(guān)系［1］，如圖1所示.

圖1" 全反力、摩擦角受力分析圖

我們把支持力和摩擦力的合力FNf稱(chēng)之為全反力，全反力與豎直方向的夾角α角稱(chēng)之為摩擦角.由三角函數(shù)可得：tanα=FfFN=μFNFN=μ.

無(wú)論物體做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)還是變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，無(wú)論物體受到的其他力是變力還是恒力，無(wú)論FN是否發(fā)生變化，tanα=μ都成立.

例1" （2010年全國(guó)理綜課標(biāo)Ⅰ卷·5題）如圖2所示，一物塊置于水平地面上，當(dāng)用與水平方向成60°角的力F1拉物塊時(shí)，物塊做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；當(dāng)改用與水平方向成30°角的力F2推物塊時(shí)，物塊仍做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).若F1和F2的大小相等，則物塊與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（" ）.

圖2" 例1受力圖

A.3-1""" B.2-3" C.32-12" D.1-32

解析" 物體在勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中受到豎直向上的支持力和水平向左的滑動(dòng)摩擦力，支持力和摩擦力的合力為全反力FNf，全反力與豎直方向的夾角α為摩擦角，且tanα=μ.根據(jù)物體處于平衡狀態(tài)可得，物體所受合力為零，則各分力首尾相接能夠圍成閉合的多邊形，如圖3所示.當(dāng)物體受拉力F1勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，G、FNf1、F1三力將圍成閉合三角形；當(dāng)物體受F2拉力勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，G、FNf2、F2三力將圍成閉合三角形.現(xiàn)將F1、F2平移到一個(gè)圖形中，由F1和F2大小相等和角度關(guān)系，根據(jù)幾何知識(shí)可得α=15°，則μ=tan15° .利用數(shù)學(xué)知識(shí)可知正確答案應(yīng)為B.

圖3" 例1解題分析圖

練習(xí)1" （2009年高考寧夏理綜卷·21題）如圖4所示，水平地面上有一木箱，木箱與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（0lt;μlt;1）.現(xiàn)對(duì)木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).設(shè)F的方向與水平面夾角為θ，如圖，在θ從0逐漸增大到90°的過(guò)程中，木箱的速度保持不變，則（" ）.

圖4" 練習(xí)1木箱受拉力圖

A.F先減小后增大" B.F一直增大

C.F的功率減小D.F的功率不變

解析" 根據(jù)題意可知，木箱一直做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，木箱受到豎直向上的支持力和水平向左的滑動(dòng)摩擦力，支持力和摩擦力的合力為全反力FNf，全反力與豎直方向的夾角α為摩擦角，且tanα=μ.因木箱做勻速運(yùn)動(dòng)，所以木箱所受的G、FNf、F三力將圍成閉合三角形.如圖5所示，隨著拉力F與水平方向夾角θ從0逐漸增大到90°的過(guò)程中，拉力F先減小后增大，當(dāng)拉力F與FNf垂直時(shí)F最小，所以A對(duì)，B錯(cuò).F的功率P=Fcosθ·v，木箱做勻速運(yùn)動(dòng)，速度v不變；Fcosθ的大小為拉力F變化過(guò)程中在水平方向的投影，由矢量圖可知Fcosθ越來(lái)越小，所以C正確，D錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)AC.

圖5" 練習(xí)1解題分析圖

點(diǎn)評(píng)" 通過(guò)以上兩個(gè)題目的分析，把摩擦角引入教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生利用摩擦角結(jié)合圖示分析求解，不僅可避開(kāi)復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使解題更簡(jiǎn)潔、直觀，更能讓學(xué)生理解這些現(xiàn)象的物理本質(zhì)，從而提高處理問(wèn)題的效率.

2" 利用“慣性力”巧解不平衡問(wèn)題

根據(jù)力的平衡條件和力的矢量圖可知，若物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，物體所受的所有力首尾相接，將圍成閉合的多邊形.那么，當(dāng)物體處于不平衡態(tài)時(shí)，物體所受合力會(huì)產(chǎn)生一個(gè)加速度，也就是說(shuō)所有力的合力為F合=ma.那么，如果在原非慣性系中引入一個(gè)與F合=ma大小相等、方向相反的力，物體將“合力”為零，物體所受所有力首尾相接將圍成閉合的多邊形，我們把引入的這個(gè)力稱(chēng)為“慣性力”.“慣性力”不是由物體的相互作用引起的，而是在非慣性系中能沿用牛頓定律而引入的“假想力”［2］.

例2" （2001年全國(guó)春季高考卷·10題）斜面固定于加速上升的電梯內(nèi)，加速度為a，一物體始終放置在傾角為θ的斜面上.如圖6所示，在物體始終相對(duì)于斜面靜止的條件下，下列說(shuō)法正確的是（"" ）.

A.當(dāng)θ一定時(shí)，a越大，斜面對(duì)物體的正壓力越小

B.當(dāng)θ一定時(shí)，a越大，斜面對(duì)物體的摩擦力越大

C.當(dāng)a一定時(shí)，θ越大，斜面對(duì)物體的正壓力越小

D.當(dāng)a一定時(shí)，θ越大，斜面對(duì)物體的摩擦力越小

圖6

物體在電梯內(nèi)運(yùn)動(dòng)圖

解析" 由于物體始終相對(duì)于斜面靜止，則物體具有和電梯相同的豎直向上的加速度a，對(duì)物體受力分析可知，如圖7所示物體受豎直向下的重力、垂直斜面向上的支持力、沿斜面向上的摩擦力，由于物體具有豎直向上的加速度，即三力合力豎直向上，矢量和為ma.現(xiàn)引入“慣性力”大小為ma、方向豎直向下，則物體將在重力、支持力、摩擦力和“慣性力”四力作用下“平衡”.

圖7" 例2解題分析圖

由三角函數(shù)關(guān)系可得Ff=（mg+ma）sinθ ， FN=（mg+ma）cosθ ，當(dāng)θ一定時(shí)，a越大則Ff越大，F(xiàn)N越大.A錯(cuò)，B正確；當(dāng)a一定時(shí)，θ越大，sinθ越大，cosθ越小，則Ff越大，F(xiàn)N越小.C正確，D錯(cuò).故選BC.

練習(xí)2" （2013年山東高考卷·10題）如圖8所示，一質(zhì)量m=0.4 kg的小物塊，以v0=2 m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=2 s的時(shí)間物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，A、B之間的距離L=10 m.已知斜面傾角θ=30°，物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=33，重力加速度g取10 m/s2.求：

（1）物塊的加速度.

（2）拉力與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最??？拉力F的最小值是多少？

圖8" 練習(xí)2物塊運(yùn)動(dòng)圖

解析" （1）由L=v0t+12at2可得a=2（L-v0t）t2=3 m/s2.圖9" 練習(xí)2受力分析圖

（2）如圖9所示，物體在粗糙斜面上從A點(diǎn)勻加速向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，物體會(huì)受到垂直斜向上的支持力和沿斜面向下的摩擦力，它們的合力“全反力”有確定的大小和方向，且tanα=μ=33，即α=30°.

因物體具有沿斜面向上的加速度，即物體受重力、全反力和拉力三力的合力沿斜面向上，大小為ma.現(xiàn)引入“慣性力”，大小為ma，方向沿斜面向下，則物體將在重力、全反力、拉力和“慣性力”四力作用下“平衡”，求拉力最小值，在矢量圖中由重力指向全反力的最短距離即Fmin，如圖10所示.

圖10" 練習(xí)2解題分析圖

根據(jù)幾何關(guān)系可知，F(xiàn)min=mgsin60°+masin60°=1353 N.

點(diǎn)評(píng)" 通過(guò)以上兩題的分析可知，用非慣性系處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問(wèn)題，給解決問(wèn)題帶來(lái)極大的方便.非慣性系是一種新的思路，一定程度上可以簡(jiǎn)化問(wèn)題，同時(shí)用非慣性系處理問(wèn)題，也可以拓寬學(xué)生思路，活化知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，提高解決問(wèn)題的能力.

3" 結(jié)束語(yǔ)

總之，以上兩類(lèi)問(wèn)題若使用常規(guī)方法解決，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求較高，數(shù)學(xué)知識(shí)薄弱的同學(xué)幾乎解不出來(lái)，但是利用“摩擦角”和“慣性力”來(lái)解決，解題簡(jiǎn)潔直觀，有力提升學(xué)生建立物理情景和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也讓我們深刻領(lǐng)悟到所蘊(yùn)含的獨(dú)特解題思想.

參考文獻(xiàn)：［1］

殷勇.巧用摩擦角解決力學(xué)問(wèn)題［J］.物理教學(xué)，2012（12）：37-38.

［2］ 舒幼生.慣性力（上）［J］.物理教學(xué)，2004（5）：8-9.

［責(zé)任編輯：李" 璟］