對一道含雙參變量的函數(shù)題的解法探究

摘" 要：培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)和提高學(xué)生的解題能力是我們一線教師的重要任務(wù).以一個涉及雙參數(shù)的函數(shù)問題為例，從不同的角度加以思考、探究，讓學(xué)生的思維得以發(fā)散，起到了一題多解，提升學(xué)生的思維能力的作用.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)；一題多解；解題能力；思維能力

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0063-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：王建輝（1974.4—），男， 湖南省漢壽人，本科，中小學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確指出：高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)為“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建?！保渲羞壿嬐评砗蛿?shù)學(xué)運算尤其重要，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績無法提升主要是這兩大核心素養(yǎng)的欠缺［1］.那么，在教學(xué)中如何解決這些問題呢？筆者結(jié)合波利亞的《怎樣解題》，摸索出一套行之有效的解題經(jīng)驗，即解題教學(xué)四步法：①弄懂題意，搞清問題；②探尋路徑，擬訂計劃；③規(guī)范格式，實現(xiàn)計劃；④回顧反思，借助它用.其中“探尋路徑，擬訂計劃”是靈魂，不同的思考方式會導(dǎo)致不同的解題方向，對思維的發(fā)散有很大的激勵作用，從而也就導(dǎo)致一題多解，形成解題合力，提高解題能力［2-4］.

1" 試題呈現(xiàn)

題目" 已知函數(shù)f（x）=e2ax+b-x-1a，其中a，b是實數(shù)且a≠0.若函數(shù)f（x）≥0對一切x∈（-1a，+

SymboleB@ ）恒成立，求ba的最小值.

2" 試題分析

本題是一個典型的通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)來研究恒成立的題型，但此題難在題干條件少，不易轉(zhuǎn)化，且含有兩個參變量，突破口在于尋找f（x）的最小值時參變量a，b需要滿足的關(guān)系，然后再求b/a的最小值［5］.

3" 多法求解

解法1" 因為f（x）=e2ax+b-x-1a，求導(dǎo)，得

f ′（x）=2ae2ax+b-1.

所以f ″（x）=4a2e2ax+bgt;0（a≠0）.

所以f ′（x）=2ae2ax+b-1在R上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)alt;0時f ′（x）lt;0.

所以f（x）在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）上單調(diào)遞減.

而eb-2agt;-1a，且f（eb-2a）=e2a（eb-2a）+b-（eb-2a）-1alt;eb-（eb-2a）-1a=1alt;0，

所以alt;0時不滿足f（x）≥0恒成立.

當(dāng)agt;0時，由f ′（x）=0，得e2ax+b=12a.

即x=-b+ln（2a）2a.

所以當(dāng)xlt;-b+ln（2a）2a時，f ′（x）lt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)xgt;-b+ln（2a）2a時，f ′（x）gt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增.

令ba=k，即a=bk.

則①當(dāng)-1a≥-b+ln（2a）2a，即b+ln（2a）≥2時，f（x）在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）上單調(diào)遞增，所以f（x）gt;f（-1a）=eb-2+1a-1a=eb-2gt;0恒成立.

所以b+ln（2a）≥2時，f（x）≥0在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）時恒成立，此時ka+ln（2a）≥2.

即k≥2-ln（2a）a（agt;0）.

令h（x）=2-ln（2x）x（xgt;0），h′（x）=ln（2x）-3x2，當(dāng)0lt;xlt;e32時，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)xgt;e32時，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）有最小值h（e32）=-2e3.

所以-1a≥-b+ln（2a）2a時ba的最小值為-2e3.

②當(dāng)-1alt;-b+ln（2a）2a，即b+ln（2a）lt;2時，f（x）在x∈（-1a，-b+ln（2a）2a）上單調(diào)遞減，在x∈（-b+ln（2a）2a，+

SymboleB@ ）上單調(diào)遞增，所以f（x）在x=-b+ln（2a）2a時取得最小值.

若f（x）≥0在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）時恒成立，則f（x）min=f［-b+ln（2a）2a］=1+b+ln（2a）2a-1a≥0.

所以b+ln（2a）≥1.

所以ka+ln（2a）≥1.

則k≥1-ln（2a）a（agt;0）.

令m（x）=1-ln（2x）x（xgt;0），則

m′（x）=ln（2x）-2x2.

當(dāng)0lt;xlt;e22時，m′（x）lt;0，m（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)xgt;e22時，m′（x）gt;0，m（x）單調(diào)遞增.

所以m（x）有最小值m（e22）=-2e2.

故當(dāng)-1alt;-b+ln（2a）2a時ba的最小值為-2e2.

又-2e2lt;-2e3，

所以ba的最小值為-2e2.

反思" 該解法是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，針對參數(shù)a進(jìn)行討論.在討論alt;0時，如果不易尋找eb-2a這個值時，也可以考慮x→+

SymboleB@ 時，e2ax+b→0，從而可知f（x）→-

SymboleB@ ，f（x）≥0不可能恒成立；當(dāng)agt;0時，由f ′（x）=0

得x=b+ln（2a）-2a，結(jié)合定義域進(jìn)行分類討論［6］.考慮到要求的目標(biāo)是ba的最值，引進(jìn)變量ba=k，再把k表示成關(guān)于a的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)從而求出ba的最值即可.

解法2

當(dāng)agt;0時，由f（x）≥0，可知

e2ax+b≥x+1a=2ax+22a.

令2ax=t（t∈（-2，+

SymboleB@ ）），

所以

et+b≥t+22a恒成立.

即t+2et≤2aeb恒成立.

令h（t）=t+2et（tgt;-2），則h′（t）=-t+1et.

故t∈（-2，-1）時，h′（t）gt;0，h（t）單調(diào)遞增；

t∈（-1，+

SymboleB@ ）時，h′（t）lt;0，h（t）單調(diào)遞減.

所以h（t）在t=-1取極大值即最大值，h（t）≤h（-1）=e，所以2aeb≥e.

則b≥1-ln（2a）.

所以ba≥1-ln（2a）a.

令g（a）=1-ln（2a）a，則g′（a）=ln（2a）-2a2.

所以a∈（0，e22）時，g′（a）lt;0，g（a）單調(diào)遞減；

a∈（e22，+

SymboleB@ ）時，g′（a）gt;0，g（a）單調(diào)遞增.

所以g（a）在a=e22取極小值即最小值，g（a）≥g（e22）=-2e2，此時a=e22，t=-1，x=-1e2.

所以ba的最小值為-2e2.

解法3

當(dāng)agt;0時，由函數(shù)f（x）≥0對一切x∈（-1a，+

SymboleB@ ）恒成立可知：eb≥x+1/ae2ax.

令g（x）=x+1/ae2ax，則g′（x）=-2ax-1e2ax.

所以x∈（-12a，+

SymboleB@ ）時，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減；x∈（-1a，-12a）時，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增.

所以g（x）在x=-12a取極大值即最大值.

所以g（x）≤g（-12a）=e2a.

所以eb≥e2a.

即0lt;1a≤2ebe.

當(dāng)b≥0時，ba≥0；

當(dāng)blt;0時，0gt;ba≥2ebbe.

令h（b）=2bebe，則h′（b）=2e（b+1）eb.

可知b∈（-

SymboleB@ ，-1）時，h′（b）lt;0，h（t）單調(diào)遞減；b∈（-1，0）時，h′（b）gt;0，h（t）單調(diào)遞增.

所以h（b）在b=-1取極小值即最小值，h（b）≥h（-1）=-2e2.所以ba的最小值為-2e2.

4" 結(jié)束語

丘成桐先生在北京師范大學(xué)附屬中學(xué)110周年校慶的演講中，也曾著力推崇“一題多解”.他說：“不同的方法來自不同的想法，不同的想法導(dǎo)致不同方向的發(fā)展，所以，數(shù)學(xué)題的每種解法有其深厚的意義，你會領(lǐng)會不同的思想，我們要允許學(xué)生用不同的方法來解決.”

參考文獻(xiàn)：

［1］

南愛玲.支架式教學(xué)法在復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用：以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”復(fù)習(xí)課為例［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（02）：18-20，17.

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中國智慧城市經(jīng)濟(jì)專家委員會.

2023智慧城市建設(shè)論壇廣州分論壇論文集.北京市第二中學(xué)通州校區(qū)，2023：2.

［3］ 錢大林，金建軍.基于關(guān)鍵能力考查的“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題”復(fù)習(xí)課設(shè)計示例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（04）：54-57.

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［5］ 靖晶，陳艷寶.高三復(fù)習(xí)課微單元設(shè)計與教學(xué)思考：以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題”為例［J］.數(shù)理化解題研究，2023（27）：2-4.

［6］ 陳偉平.變易圖式在數(shù)學(xué)教學(xué)上的應(yīng)用研究：以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”為例［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)，2022（25）：30-32.

［責(zé)任編輯：李" 璟］