2024年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷理科導(dǎo)數(shù)題解法探究

摘" 要：文章給出了2024年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷理科導(dǎo)數(shù)壓軸題中第（1）問(wèn)和第（3）問(wèn)的兩種解法、第（2）問(wèn)三種解法，并且揭示了每種解法背后所蘊(yùn)含的知識(shí)內(nèi)涵.幫助學(xué)生從不同角度進(jìn)行觀察和分析，抓住條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，開(kāi)拓解題思路.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；一題多解；導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0076-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：王翔（2000.12—），男，云南省曲靖人，本科，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究;

王青松（1998.7—），女，云南省大理人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考導(dǎo)數(shù)含參壓軸題是一個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題，文章具體闡述應(yīng)用不同思想方法來(lái)解答2024年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷理科導(dǎo)數(shù)壓軸題，旨在為高中數(shù)學(xué)一線教師提供教學(xué)參考.

1" 試題呈現(xiàn)

題目" 已知函數(shù)f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

（1）若b=0，且f ′（x）≥0，求a的最小值；

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對(duì)稱圖形；

（3）若f（x）gt;-2，當(dāng)且僅當(dāng)1lt;xlt;2，求b的取值范圍.2" 試題解析

由x（2-x）gt;0得f（x）定義域x∈（0，2）.

2.1" 第（1）問(wèn)解法探索

解法1" 分離參數(shù)，利用重要不等式求最值［1］.

因?yàn)閎=0，所以f（x）=lnx2-x+ax.

所以f ′（x）=1x+12-x+a≥0在（0，2）恒成立.

分離參數(shù)得-a≤1x+12-x在（0，2）恒成立.

由重要不等式易得1x+12-x=2x（2-x）≥2.

則a≥-2.

所以amin=-2.

解法2" 函數(shù)最值.

因?yàn)閒 ′（x）≥0，所以f ′（x）min≥0.

則f ′（x）min=f ′（1）=2+a≥0，解得a≥-2.

所以amin=-2.

點(diǎn)評(píng)" 首先明確函數(shù)定義域，根據(jù)已知條件求導(dǎo)，采用分離參數(shù)或求函數(shù)最值即可.

2.2" 第（2）問(wèn)解法探索

解法1" 利用表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，先猜后證.

觀察發(fā)現(xiàn)b（1-x）3關(guān)于（1，0）對(duì)稱，猜想f（x）關(guān)于（1，？）對(duì)稱.

因?yàn)閒（1）=a，猜想f（x）關(guān)于（1，a）對(duì)稱.

下證：f（x）+f（2-x）=2a.

f（x）+f（2-x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3+ln2-xx+a（2-x）+b（1-x）3=2a.

所以曲線y=f（x）是關(guān)于（1，a）對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形.

解法2" 結(jié)合教材結(jié)論探究（人教A版必修一P87課后習(xí)題拓展探索結(jié)論：y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱的充要條件是y=f（x+a）+b為奇函數(shù)）.

觀察發(fā)現(xiàn)f1=lnx2-x=lnx-ln（2-x）關(guān)于（1，0）對(duì)稱，f2=b（x-1）3關(guān)于（x，1）對(duì)稱，

所以f（x）向左平移1個(gè)單位才能為奇函數(shù).

因?yàn)閒（x+1）=lnx+11-x+a（1+x）+bx3

=lnx+11-x+ax+bx3+a，

所以f（x+1）-a=lnx+11-x+ax+bx3.

易證y=lnx+11-x+ax+bx3為奇函數(shù).

所以曲線y=f（x）關(guān)于（1，a）對(duì)稱.

解法3" 利用高等數(shù)學(xué)結(jié)論先算后驗(yàn).

因?yàn)閒 ′（x）=1x+12-x+a+3b（x-1）2，

所以f″（x）=4（x-1）x2（2-x）2+6b（x-1）.

令f″（x）=0，得x=1.

又f（1）=a，所以曲線f（x）關(guān)于（1，a）對(duì)稱.

點(diǎn)評(píng)" 結(jié)合函數(shù)結(jié)構(gòu)先去推斷再去證明，課本習(xí)題的結(jié)論也為我們提供了很好的解題思路.

2.3" 第（3）問(wèn)解法探索

分析" 深入理解當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合（2）的對(duì)稱性優(yōu)化研究范圍.

因?yàn)?lt;xlt;2f（x）gt;-2，

所以x∈（0，1］，必有f（x）≤-2.

所以f（1）=-2.

所以a=-2.

所以f（x）=lnx2-x-2x+b（x-1）3.

該問(wèn)題等價(jià)于：當(dāng)x∈（1，2），f（x）gt;-2恒成立，只需f（x）mingt;-2.由（2）知f（x）關(guān)于（1，-2）對(duì)稱，故只需求f（x）在（1，-2）最小值.

解法1" 利用導(dǎo)數(shù)直接分類討論求f（x）的最小值［2］.

f ′（x）=1x+12-x-2+3b（x-1）2

=2（x-1）2x（2-x）+3b（x-1）2

=（x-1）22x（2-x）+3b.

因?yàn)?x（2-x）≥2，參照此分類討論如下：

①若3b≥-2，則b≥-23.

易知f ′（x）≥0，則f（x）在（1，2）單調(diào)遞增.

則f（x）gt;f（1）=-2.

故b≥-23成立.

②若3blt;-2，則blt;-23.

由2x（2-x）+3b≥0，

得-23b≤x（2-x）.

在（1，2）必存在t，使得x∈（t，2）時(shí)2x（2-x）+3b≥0成立（其中-23b=t（2-t）），f（x）在（1，t）單調(diào)遞減，在（t，2）單調(diào)遞增，所以f（t）≤f（1）=-2，與f（x）gt;-2在（1，2）恒成立矛盾，故blt;-23舍去.

解法2" 利用端點(diǎn)效應(yīng)，先證必要性，再證充分性.

研究f（x）+2mingt;0，令h（x）=f（x）+2，則

h′（x）=1x+12-x-2+3b（x-1）2

=2（x-1）2x（2-x）+3b（x-1）2

=（x-1）22x（2-x）+3b.

令g（x）=2x（2-x）+3b，發(fā)現(xiàn)h′（1）=0，h″（1）=0，當(dāng)且僅當(dāng)h（1）gt;0時(shí)，若g（1）≥0，解得b≥-23.

易證當(dāng)b≥-23時(shí)，由2x（2-x）≥2，得h′（x）≥0，則h（x）在（1，2）單調(diào)遞增.

所以h（x）gt;h（1）=0.

故b≥-23成立.

當(dāng)blt;-23時(shí)，2x（2-x）+3b=0在（1，2）必有解，規(guī)定-23b=t（2-t），則h（x）在（1，2）必存在t，使得2x（2-x）+3b≥0在x∈（1，t）恒成立.

則h（x）在（1，t）單調(diào)遞減，在（t，2）單調(diào)遞增.

所以h（t）≤f（1）+2=0，與h（x）gt;0在（1，2）恒成立矛盾，故blt;-23舍去.

點(diǎn)評(píng)" 導(dǎo)數(shù)大題題目條件字字都不能放過(guò)，當(dāng)且僅當(dāng)作用很大，往往求解都是需要利用已知條件轉(zhuǎn)化成新的問(wèn)題.該題轉(zhuǎn)化后常規(guī)方法借助導(dǎo)數(shù)求最值即可，多角度利用端點(diǎn)效應(yīng)證充要條件也可.

3" 結(jié)束語(yǔ)

本題實(shí)際為某對(duì)數(shù)型函數(shù)多項(xiàng)式逼近的二階展開(kāi)，再向右平移一個(gè)單位所得式子，改編自2015年北京卷，（1）（2）兩問(wèn)常規(guī)基礎(chǔ)，容易得分，緊扣課本，突出必備知識(shí)的考查；第（3）問(wèn)注重解決問(wèn)題，凸顯選拔性，與高等數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，體現(xiàn)難題的立意和寓意.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，無(wú)論是切線問(wèn)題還是單調(diào)性問(wèn)題或者極值或者恒成立問(wèn)題，最后都是以導(dǎo)數(shù)為工具，求導(dǎo)分析與討論，這點(diǎn)是在導(dǎo)數(shù)題中不變的事實(shí).第（2）問(wèn)的考點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題其實(shí)沒(méi)有多大變化，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)基礎(chǔ)題只是對(duì)通性通法的簡(jiǎn)單運(yùn)用［3］，而壓軸題在通項(xiàng)通法之外深入多角度考查.這些都啟示我們學(xué)導(dǎo)數(shù)、練導(dǎo)數(shù)要注意好導(dǎo)數(shù)的通性通法.

參考文獻(xiàn)：

［1］

郭蒙，薛小強(qiáng).剖析分離參數(shù)法在高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用［J］.高中數(shù)理化，2024（Z1）：62-65.

［2］ 黃詩(shī)媛.解答導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題的三種思路［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（11）：47-48.

［3］ 龍正武.從一道高考真題談函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的備考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（05）：48-51.

［責(zé)任編輯：李" 璟］