核心素養(yǎng)背景下對不等式證明的若干思考與探究

摘 要：文章以含三元的方程為已知條件，對不等式的證明進行若干思考與探究，主要運用柯西不等式及變量替換法，并推廣到四元，幫助學生啟迪思維，提升數(shù)學學習的興趣.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；四元；柯西不等式；變量替換

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）30-0032-03

收稿日期：2024-07-25

作者簡介：曾沈陽（1982.7—），男，福建省龍巖人，本科，中學一級教師，從事數(shù)學課堂教學研究.

不等式證明的教學是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑之一，包括了不等式證明的重要方法和技巧，并進行了一定程度上的推廣.

1 高中數(shù)學核心素養(yǎng)主要內(nèi)容、培養(yǎng)方式及與不等式證明教學之間的關(guān)系

高中數(shù)學核心素養(yǎng)是指高中學生在數(shù)學學習過程中必須掌握的基本能力和素質(zhì)，具體包含以下幾個方面^［1］.

數(shù)學思維能力：這是數(shù)學核心素養(yǎng)的核心，包括邏輯思維、創(chuàng)新思維、批判性思維、探究性思維和應(yīng)用性思維等.數(shù)學思維能力是指學生學習數(shù)學所需要掌握的思維方法和技巧，包括掌握符號概念、定理、算法，以及推理論證能力、選用多種解題方法進行解題、學習新內(nèi)容、進行推理和抽象能力等.

數(shù)學知識與技能：這是高中數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，包括數(shù)學基本概念、基本定理、基本公式和解題技巧等.學生需要掌握這些知識，以便能夠理解和解決數(shù)學問題.

數(shù)學應(yīng)用能力：學生能夠?qū)⑺鶎W的數(shù)學知識應(yīng)用到實際生活中，解決實際問題.這包括建立現(xiàn)實問題和數(shù)學問題之間的聯(lián)系，運用論證、推理等方法，有創(chuàng)造性地解決綜合性問題.

數(shù)學交際能力：學生能夠有效地表達和交流數(shù)學思想和解題方法，包括用準確的數(shù)學語言表達學過的數(shù)學概念、規(guī)則、命題與模型，能夠從多個角度理解數(shù)學概念、規(guī)則和命題，并理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學知識之間的聯(lián)系.

數(shù)學情感態(tài)度：教師需要培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的積極態(tài)度和興趣，使其愿意主動學習和探索數(shù)學知識，進而形成持續(xù)的學習動力.

為了培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，建議教師可以采用以下方式.

（1）深化數(shù)學理解，培養(yǎng)數(shù)學抽象能力.教師在教學中應(yīng)引導學生理解數(shù)學概念的本質(zhì)和內(nèi)涵，通過具體實例引導學生理解數(shù)學概念，通過圖形、表格等方式展示抽象概念，鼓勵學生將實際問題抽象為數(shù)學問題.

（2）教師應(yīng)加強學生邏輯推理訓練，提升其邏輯思維能力.在教學過程中注重邏輯推理的展示和訓練，如不等式的證明題的解題過程，教師鼓勵學生提出假設(shè)并進行驗證，培養(yǎng)他們的探究精神和邏輯推理能力.

（3）教師開展適合班級學生的數(shù)學建?；顒樱囵B(yǎng)學生的數(shù)學建模能力.如可引入簡單的實際問題作為數(shù)學建模的素材，讓學生親身體驗數(shù)學建模的過程，并教授學生基本的數(shù)學建模方法和工具，如數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計方法等.

（4）利用直觀手段，培養(yǎng)直觀想象能力.教師經(jīng)常鼓勵學生進行空間想象和幾何變換的練習，培養(yǎng)他們的直觀想象能力.如在課堂教學中引入三維幾何軟件等現(xiàn)代技術(shù)工具，幫助學生進行更直觀的學習.

（5）強化數(shù)學運算訓練，提高數(shù)學運算能力.教師加強對數(shù)學運算法則和技巧的講解和訓練，提高學生的運算速度和準確性，也可在班級舉辦數(shù)學運算比賽等活動，激發(fā)學生的學習興趣和動力.

（6）以注重學生發(fā)展為主要教學目標，將培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)真正落實到課堂教學中.同時，教師還需要注重激發(fā)學生的學習興趣，讓學生愿學、樂學.

以上六種實施方式，可以有效培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，提高他們的數(shù)學能力和綜合素質(zhì).同時，教師也需要不斷更新自己的教育理念和教學方法，以適應(yīng)新時代數(shù)學教育的需求.

不等式證明作為數(shù)學教學中的重要內(nèi)容，涉及數(shù)學思維的深度與廣度，能夠幫助學生深入理解數(shù)學概念，掌握數(shù)學方法，提高數(shù)學思維能力^［2］.不等式證明的教學過程能培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和嚴謹性.在不等式證明的教學中，教師可以引導學生通過觀察、分析、歸納、推理等思維活動，逐步掌握不等式的證明方法.在不等式證明的過程中，學生需要面對各種問題情境，通過不斷嘗試、探索和實踐，找到解決問題的有效方法，這本身就是提高核心素養(yǎng)的過程.

高中數(shù)學核心素養(yǎng)可以在不等式教學中進行深度培養(yǎng).不等式證明需要學生建立在一定的不等式知識基礎(chǔ)上，教師應(yīng)助力學生熟練掌握不等式的基本概念、性質(zhì)和解法等基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)良好的學習習慣，為他們解決有一定思維容量的不等式證明題打下堅實的基礎(chǔ)，這個過程就是促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)提升的過程.在不等式教學中，邏輯推理能力是至關(guān)重要的.教師引導學生從題目要求出發(fā)，按照清晰的邏輯規(guī)律進行推理，從而得出正確的結(jié)論.教師應(yīng)強調(diào)學生對不等式的定義、性質(zhì)和解法的精確理解，培養(yǎng)他們嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度.學生需要在不等式證明前綜合考慮各種條件和因素，做出合理的判斷和選擇.

2 由條件“xyz=x+y+z+2”引出的不等式證明方法

柯西不等式是常見的重要不等式之一，且不失為至善至美的不等式，它是解決數(shù)學問題的重要工具，適當巧妙地運用柯西不等式，可以簡化解題過程，起到事半功倍的作用.變量替換法是數(shù)學的一種常用技巧，主要用于簡化復雜的數(shù)學表達式或解決較為復雜的問題.這種方法的核心在于用新的、簡單的變量替換原有的復雜表達式或變量，從而使問題變得更加容易處理，尤其是在處理不等式問題時，合理的變量替換也能顯著簡化題目信息，幫助學生找到解題思路.

以“xyz=x+y+z+2”或其等價形式為已知條件背景的不等式問題，可以演變出眾多靈巧、新穎、有趣、實用且深淺適度、富有啟發(fā)性的優(yōu)美不等式^［3］.下面兩個代數(shù)等式與x+y+z+2=xyz是等價的.

4 結(jié)束語

綜上，基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)與不等式證明教學之間的關(guān)聯(lián)性，從柯西不等式及變量替換法出發(fā)，以“xyz=x+y+z+2”為條件對不等式證明進行了探究并推廣到四元.不僅是為了讓學生掌握幾道不等式的證明方法，更重要的是激發(fā)師生進一步探究不等式的興趣和積極性，特別是引導數(shù)學能力比較強的學生學會挖掘問題條件所蘊含的內(nèi)涵和聯(lián)系，學會看準目標進行代數(shù)恒等變形的技能.引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，從而逐步培養(yǎng)學生靈活多變的思維品質(zhì)，提高其數(shù)學核心素養(yǎng)．進一步促進數(shù)學學科的“優(yōu)長發(fā)展”，最終培養(yǎng)創(chuàng)新的思維品質(zhì).

參考文獻：

［1］ 李桂花.高中數(shù)學教學中培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的策略研究［J］.教師，2024（12）：27-29.

［2］ 張杰.基于數(shù)學核心素養(yǎng)的基本不等式教學研究［D］.聊城：聊城大學，2022.

［3］ 孫少仙.對相同條件的一類不等式問題的探究［J］.中學數(shù)學教學，2021（06）：71-75.

［責任編輯：李 璟］