APOS理論：大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的有效路徑

摘要：APOS理論是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)理論，它將概念的教學(xué)分為活動(dòng)（Actions）、過(guò)程（Process）、對(duì)象（Object）和圖式（Scheme）四個(gè)階段。基于APOS理論，開(kāi)展大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，借助大任務(wù)、大問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，將目標(biāo)具體化，構(gòu)建“課程→單元→單課”的下沉通道，通過(guò)分析學(xué)習(xí)主題，把握學(xué)習(xí)本質(zhì)；確定單元目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)；制定評(píng)價(jià)方案，發(fā)揮導(dǎo)向作用，真正將核心素養(yǎng)目標(biāo)落實(shí)到每一節(jié)課中。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；APOS理論；大概念視角；單元整體教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》強(qiáng)調(diào)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，改變以往過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)。因此，大概念視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)成為當(dāng)今一線數(shù)學(xué)教師研究的熱點(diǎn)。但這也對(duì)教師的專業(yè)能力提出更高的要求，他們迫切需要科學(xué)合理的專業(yè)理論指導(dǎo)。因此，將APOS理論引入單元整體教學(xué)，為廣大一線教師提供一定的參考與借鑒。

一、APOS%理論基本概述及其意義

APOS’理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出的一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)理論，它將小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)分為活動(dòng)（Actions）、過(guò)程（Process）、對(duì)象（Object）和圖式（Scheme）四個(gè)階段[1]。活動(dòng)階段是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程，目的是更好地感知概念、建立表象；過(guò)程階段是學(xué)生在經(jīng)歷活動(dòng)階段后對(duì)經(jīng)歷的活動(dòng)進(jìn)行思考和反思的過(guò)程，目的是抓住概念的本質(zhì)；對(duì)象階段是學(xué)生在經(jīng)歷操作和過(guò)程這兩個(gè)階段后，能夠?qū)⒆约簩?duì)要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念賦予定義和符號(hào)化的過(guò)程，目的是達(dá)到精致化；圖式階段是學(xué)生在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)溝通聯(lián)系新學(xué)習(xí)概念的過(guò)程，目的是形成新的概念圖式。

APOS理論是針對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的建構(gòu)學(xué)習(xí)理論，能夠很好地幫助教師規(guī)劃“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題概念課教學(xué)的順序和過(guò)程，對(duì)其教學(xué)具有指導(dǎo)意義。例如活動(dòng)階段，強(qiáng)調(diào)通過(guò)學(xué)生外顯的觀察和動(dòng)手操作或內(nèi)隱的思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的初步感知；過(guò)程階段，強(qiáng)調(diào)自主探究，反思總結(jié)實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的理性思辨；對(duì)象階段，強(qiáng)調(diào)通過(guò)同化或順應(yīng)用自己的語(yǔ)言或者數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)概念進(jìn)行表征，達(dá)到概念的精致化；圖式階段強(qiáng)調(diào)建構(gòu)總體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立概念與概念之間、概念內(nèi)部元素之間的聯(lián)系。通過(guò)這四個(gè)階段，學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、自主探究、問(wèn)題解決、創(chuàng)造應(yīng)用等過(guò)程，有機(jī)結(jié)合概念的形成與同化，揭示概念的本質(zhì)屬性，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的概念圖式。

二、APOS理論指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的可行性分析

大概念視角下的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，在主題的核心概念統(tǒng)領(lǐng)下，將碎片化的課時(shí)教學(xué)結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性以及學(xué)習(xí)方法的系統(tǒng)性，以主題的核心概念為統(tǒng)領(lǐng)實(shí)現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)的一致性，使學(xué)生形成知識(shí)與方法的遷移，最終實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地[2]。這與APOS理論的理念不謀而合，該理論重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生的主體性，強(qiáng)調(diào)教師以整體性視角設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)。這四個(gè)階段是相互融合、交融并進(jìn)的一個(gè)整體，最終目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)知識(shí)與技能的完整性、系統(tǒng)性。我們將研究APOS理論在單課時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，移植到單元教學(xué)的實(shí)踐，不斷更新迭代，探究APOS理論指導(dǎo)的大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施。它的實(shí)施路徑一般按照三步展開(kāi)：分析學(xué)習(xí)主題，把握學(xué)習(xí)本質(zhì)；確定單元目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)；制定評(píng)價(jià)方案，發(fā)揮導(dǎo)向作用。

三、大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

下面以蘇教版二年級(jí)上冊(cè)《厘米和米》單元為例，具體闡明：

（一）分析學(xué)習(xí)主題，把握學(xué)習(xí)本質(zhì)

根據(jù)單元內(nèi)容所屬的學(xué)習(xí)主題進(jìn)行分析，能更好地厘清學(xué)科本質(zhì)，有利于整體把握單元和系列單元?！独迕缀兔住肥翘K教版二年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，屬于圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量這一學(xué)習(xí)主題?！秷D形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量》的課程內(nèi)容要求是：學(xué)生在經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過(guò)程中，感受統(tǒng)一度量單位的意義；基于度量單位理解長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積、體積等；在推導(dǎo)一些常見(jiàn)的圖形周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算方法的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感和推理意識(shí)。

因此，《厘米和米》屬于“度量”大概念的內(nèi)容。度量在小學(xué)數(shù)學(xué)中包括數(shù)量、長(zhǎng)度、角度、面積、體積、人民幣、時(shí)間、質(zhì)量等的度量?！独迕缀兔住肥恰伴L(zhǎng)度”這一內(nèi)容的種子單元。但是從“度量”大概念教學(xué)的角度來(lái)考慮，之前學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)“數(shù)量是計(jì)數(shù)單位的累加”，也有了一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，對(duì)本單元繼續(xù)體會(huì)“長(zhǎng)度是長(zhǎng)度單位的累加”奠定了基礎(chǔ)，所以本單元實(shí)則是“度量”大概念教學(xué)中的生長(zhǎng)單元。

在這部分內(nèi)容中可以體現(xiàn)如下的數(shù)學(xué)大概念：

1.度量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物某方面屬性大小的刻畫(huà)；2.度量方法和度量單位的選取源于實(shí)際生活的需要；3.度量的本質(zhì)是統(tǒng)一單位的不斷累積。

本單元主要涉及量感、空間觀念、推理意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思想方法，教師需站在大概念教學(xué)的視角下，把握度量的核心內(nèi)容及研究的思想方法，架構(gòu)起連接知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁。

（二）確定單元目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)

在整體分析單元內(nèi)容的基礎(chǔ)上，制定指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)活動(dòng)。

確定單元目標(biāo)。單元目標(biāo)基于以上對(duì)“度量”主題的整體建構(gòu)，結(jié)合新課標(biāo)的要求，設(shè)計(jì)了如下單元教學(xué)目標(biāo)：

1.-在實(shí)踐活動(dòng)中認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位“厘米”和“米”，初步建立1厘米和1米的長(zhǎng)度觀念，知道“1米=100厘米”，初步認(rèn)識(shí)線段，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，養(yǎng)成尊重客觀事實(shí)，實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

2.經(jīng)歷用不同的方法測(cè)量物體長(zhǎng)度的過(guò)程，感受度量單位產(chǎn)生和統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的必要性；融入數(shù)學(xué)史了解度量文化的多元性、發(fā)展性和統(tǒng)一性，培養(yǎng)空間觀念和推理意識(shí)；養(yǎng)成鍥而不舍的探索精神。

3.能用刻度尺正確測(cè)量物體的長(zhǎng)度（限整厘米數(shù)），能畫(huà)指定長(zhǎng)度的線段；理解度量本質(zhì)是度量單位的累加，能根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的測(cè)量工具和長(zhǎng)度單位，提升度量自覺(jué)、精準(zhǔn)度量的度量意識(shí)和能力；通過(guò)估測(cè)，形成初步的估測(cè)意識(shí)和能力。

4.-在具體的測(cè)量活動(dòng)中，養(yǎng)成做事嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的數(shù)學(xué)品格，體驗(yàn)合作學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。單元整體架構(gòu)教學(xué)實(shí)施過(guò)程中由課時(shí)教學(xué)走向大概念單元整體設(shè)計(jì)，注重單元整體構(gòu)架，課時(shí)設(shè)計(jì)圍繞單元育人目標(biāo)和整體構(gòu)建展開(kāi)，在種子課、生長(zhǎng)課、衍展課和盤點(diǎn)課中開(kāi)展豐富多樣的活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，架構(gòu)起連接知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁。

1.-首先是種子課的設(shè)計(jì)。活動(dòng)1：“在古代沒(méi)有尺子，怎么表達(dá)桌子的長(zhǎng)度呢？”學(xué)生有的說(shuō)“有4支彩筆那么長(zhǎng)”，有的說(shuō)“有兩個(gè)數(shù)學(xué)課本那么長(zhǎng)”，有的說(shuō)“有4拃那么長(zhǎng)”，學(xué)生都很有想法，這正是歷史初期借助具體事物進(jìn)行度量的階段。盡管學(xué)生想辦法表達(dá)出了桌子的長(zhǎng)度，但是尋找的標(biāo)準(zhǔn)不同，每個(gè)人的表達(dá)方式不一樣，溝通、交流起來(lái)依然很困難。

這時(shí)適時(shí)給學(xué)生講“長(zhǎng)度度量的歷史”，《史記》中的“禹身為度”，孔子家語(yǔ)中的“布指知寸”，首次在國(guó)內(nèi)統(tǒng)一了測(cè)量工具，到不同歷史時(shí)期、不同國(guó)度文化影響下的度量標(biāo)準(zhǔn)，感受文化的多元性，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)”的必要性，引入對(duì)長(zhǎng)度單位“厘米”的認(rèn)識(shí)。再“用1厘米測(cè)量”鉛筆或小棒的長(zhǎng)度，然后“連接符號(hào)”創(chuàng)造小尺子，最后出示常見(jiàn)的“測(cè)量工具”，即常用的直尺或卷尺，繼而解決“怎樣測(cè)量書(shū)桌的長(zhǎng)度”的問(wèn)題。最后運(yùn)用所掌握的方法對(duì)身邊其他事物進(jìn)行測(cè)量，實(shí)踐體驗(yàn)中又產(chǎn)生了新問(wèn)題：較長(zhǎng)的物體（例如黑板的長(zhǎng)度）再用厘米測(cè)量比較麻煩。

整節(jié)課中，學(xué)生在活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象、圖式各階段中充分操作與體驗(yàn)，經(jīng)歷了完整的測(cè)量及確定單位的過(guò)程，從“多元”到“統(tǒng)一”，從“非標(biāo)準(zhǔn)”到“標(biāo)準(zhǔn)”，學(xué)習(xí)內(nèi)容層層遞進(jìn)螺旋上升，逐步發(fā)展量感、空間觀念和推理意識(shí)。

2.第二節(jié)生長(zhǎng)課———《米的認(rèn)識(shí)》。本節(jié)課的大任務(wù)是上節(jié)課的遺留問(wèn)題：黑板的長(zhǎng)度是多少？學(xué)生用一把15厘米的尺子去測(cè)量黑板的長(zhǎng)度，感悟測(cè)量的麻煩，在自主探究、合作交流中感受較大長(zhǎng)度單位“米”產(chǎn)生的必要性。此時(shí)介紹度量標(biāo)準(zhǔn)“米”中的文化，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生源于人們表達(dá)世界的需求，體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的必要性以及數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

接下來(lái)，通過(guò)多種方式體驗(yàn)“1米有多長(zhǎng)”。

活動(dòng)2：“我們的身體里也有1米，你能做個(gè)1米的樣子嗎？”學(xué)生自然而然想到張開(kāi)雙臂。同桌互相量一量。

活動(dòng)3：“豎著觀察從地面到你身體的哪里大概是1米。”引導(dǎo)學(xué)生先猜測(cè)貼上標(biāo)簽，再利用米尺量一量，看看估量的是否準(zhǔn)確，不準(zhǔn)確再調(diào)整，在估測(cè)中形成初步的估測(cè)意識(shí)和能力。

活動(dòng)4：自己動(dòng)手制作米尺，課后完成。

活動(dòng)5：找一找生活中長(zhǎng)度大約是1米的物體。通過(guò)集體活動(dòng)交流、親身動(dòng)手實(shí)踐，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解“米”的具體含義，建立起1米的表象。

度量標(biāo)準(zhǔn)建立之后，開(kāi)展“我是小小測(cè)量員”活動(dòng)，在實(shí)踐中進(jìn)一步鞏固測(cè)量的方法，并能根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的測(cè)量工具和長(zhǎng)度單位，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的量感和空間觀念，增長(zhǎng)學(xué)生的生活智慧。

整節(jié)課中，教師組織各種操作活動(dòng)，使學(xué)生親身參與其中。通過(guò)觀察、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等外顯性的活動(dòng)和回憶、猜想、推理等內(nèi)隱性的活動(dòng)，學(xué)生對(duì)經(jīng)歷的活動(dòng)不斷反思內(nèi)化，在鞏固原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“厘米”概念的基礎(chǔ)上，豐富對(duì)新獲得的概念“米”的理解，建立兩者聯(lián)系，形成新的綜合認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。

3.第三節(jié)“衍展課”———《我們身上的小尺子》。通過(guò)播放繪本，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一拃長(zhǎng)、一腳長(zhǎng)、一步長(zhǎng)、一庹長(zhǎng)這四個(gè)身上的小尺子。借助繪本故事，提出問(wèn)題“用身體測(cè)量大樹(shù)有多粗”。學(xué)生提出可以抱一抱大樹(shù)，就是一庹長(zhǎng)，不夠的再用一拃長(zhǎng)來(lái)測(cè)量，這不僅為之后其他長(zhǎng)度單位的學(xué)習(xí)種下種子，更是滲透著“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。

雖然是二年級(jí)學(xué)生，也可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷提出問(wèn)題、制定計(jì)劃、解決問(wèn)題、總結(jié)反思的完整過(guò)程。實(shí)踐中，可能遇到以下系列問(wèn)題，“用哪種尺子量呢（直尺還是米尺）？”“怎樣進(jìn)行精確的測(cè)量呢（使用尺子的技巧）？”“一庹長(zhǎng)自己能獨(dú)立測(cè)量嗎（分組協(xié)作更高效）？”“測(cè)量一次得到的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確嗎？”“不同人的一拃長(zhǎng)、一庹長(zhǎng)一樣長(zhǎng)嗎？”在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并調(diào)整反思。

課下引導(dǎo)學(xué)生續(xù)寫(xiě)繪本故事，將實(shí)踐活動(dòng)向課外延伸，學(xué)生能利用身上的小尺子進(jìn)行估量，再利用尺子測(cè)量，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐的樂(lè)趣。

4.第四節(jié)“盤點(diǎn)課”。APOS理論重視學(xué)生概念圖示的建構(gòu)，盤點(diǎn)課的意義正是如此。通過(guò)對(duì)整個(gè)單元進(jìn)行總結(jié)和整理，理解度量的本質(zhì)就是度量單位的累加，與之前學(xué)過(guò)的物體的數(shù)量就是計(jì)數(shù)單位的累加是一致的，重視知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，思維方法的梳理。在測(cè)量解決問(wèn)題的同時(shí)也提出新的問(wèn)題，遇到測(cè)量不是整厘米、整米的物體怎么辦呢？產(chǎn)生通過(guò)“細(xì)分”創(chuàng)造“更小長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)”的需求，為后續(xù)學(xué)習(xí)毫米、分米的認(rèn)識(shí)奠定基礎(chǔ)，也與接下來(lái)學(xué)習(xí)的除法、分?jǐn)?shù)、小數(shù)中的細(xì)分思想又有著異曲同工之妙，通過(guò)盤點(diǎn)課理出脈絡(luò)，溝通起知識(shí)之間的聯(lián)系，真正把大概念單元教學(xué)落到實(shí)處。

（三）制定評(píng)價(jià)方案，發(fā)揮導(dǎo)向作用

在單元整體教學(xué)背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)出較強(qiáng)的聯(lián)系性和系統(tǒng)性，因此教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，并對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開(kāi)展多樣化的教學(xué)評(píng)價(jià)，夯實(shí)課堂教學(xué)成效[3]。因此，本單元采取個(gè)人評(píng)價(jià)、生生互評(píng)、師生評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式，注重過(guò)程性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)。結(jié)合本單元的活動(dòng)，設(shè)計(jì)了課堂自我評(píng)價(jià)表、活動(dòng)報(bào)告評(píng)價(jià)表、小組成員互評(píng)表等，不僅關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，知識(shí)技能的掌握，更關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣以及團(tuán)隊(duì)合作的能力。

泰勒指出，評(píng)價(jià)方法的開(kāi)發(fā)不是單純的技術(shù)問(wèn)題，而是不斷完善教育實(shí)踐的根本性活動(dòng)。因此，我們一直致力于“核心素養(yǎng)題”的開(kāi)發(fā)，通過(guò)回顧表達(dá)數(shù)量和描述長(zhǎng)度的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)數(shù)量是計(jì)數(shù)單位的累加，長(zhǎng)度是長(zhǎng)度單位的累加，理解度量的本質(zhì)就是度量單位的累加，打通前后知識(shí)的壁壘，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，考核和了解學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

APOS理論指導(dǎo)的大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的精髓在于借助大任務(wù)、大問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，將目標(biāo)具體化，構(gòu)建“課程→單元→單課”的下沉通道，從而真正將核心素養(yǎng)目標(biāo)落實(shí)到每一節(jié)課中。同時(shí)又強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的真實(shí)性，引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)校所學(xué)知識(shí)遷移到現(xiàn)實(shí)世界中去，變“寬而淺”的學(xué)習(xí)為“少而深”的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

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編輯/楊馥毓