大單元整合視角下小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算一致性的思考與實(shí)踐

摘要：小數(shù)除法教學(xué)應(yīng)滲透大單元整合理念，做到以理驅(qū)法，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算一致性?？梢苑秩齻€(gè)環(huán)節(jié)，一是基于大單元整合理念盤活教材，組成新的序列為教學(xué)的高效奠基。二是通過細(xì)致前測，依據(jù)學(xué)生真實(shí)學(xué)情而定對策。三是通過針對性較強(qiáng)的教學(xué)實(shí)踐解決學(xué)生碎片化學(xué)習(xí)問題，促使學(xué)生舉一反三，遷移應(yīng)用，體會運(yùn)算一致性的優(yōu)勢，培養(yǎng)學(xué)生的大單元整合意識。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；小數(shù)除法；大單元整合；運(yùn)算一致性

所謂“運(yùn)算一致性”，就是算理算法相互貫通。強(qiáng)調(diào)運(yùn)算一致性，其實(shí)質(zhì)是“探究知識本質(zhì)、建構(gòu)知識關(guān)聯(lián)、感悟思想方法”[1]。部分小學(xué)生之所以視數(shù)學(xué)為“猛虎”，就是因?yàn)槿狈?shù)學(xué)本質(zhì)的探究，缺乏“用一根線把散亂的知識串在一起”的關(guān)聯(lián)意識，缺乏對數(shù)學(xué)方法的感悟、理解與掌握。這就需要教師運(yùn)用大單元整合理念，通過整體構(gòu)建與結(jié)構(gòu)化合攏發(fā)現(xiàn)算理算法的聯(lián)系點(diǎn)與一致性，演繹運(yùn)算一致性的精彩。大單元整合從整體視野出發(fā)，重在體現(xiàn)完整教學(xué)過程的課程細(xì)胞，通過相對完整的單元總設(shè)計(jì)與學(xué)習(xí)，完成前后知識的銜接、勾連與遷移，達(dá)到舉一反三或舉三反一的目的。如何進(jìn)行關(guān)聯(lián)性開發(fā)，如何通過整體學(xué)習(xí)將“零散割裂”的算理算法貫通在一起，如何實(shí)現(xiàn)由碎片化學(xué)習(xí)到整體性學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變，無不需要大單元整合理念的深度滲透。下面僅以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)除法”單元教學(xué)為例進(jìn)行探析。

一、梳理教材尋找支點(diǎn)

葉圣陶“教材只是例子”的說法同樣適合于數(shù)學(xué)教學(xué)。如果教師一味地“唯教材是從”“單薄”式解讀教材，那么，教學(xué)的封閉、課堂教學(xué)的費(fèi)時(shí)低效也就不足為怪；如果教師缺乏大單元整合意識，那么，“點(diǎn)”與“點(diǎn)”之間就容易出現(xiàn)“斷層”，算理與算法就不容易貫通。因此，基于大單元整合理念梳理教材尋找支點(diǎn)不可或缺。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的支點(diǎn)，指向邏輯關(guān)聯(lián)，指向本質(zhì)勾連，指向運(yùn)算一致性。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)除法”單元是繼之前的整數(shù)除法、小數(shù)的意義和性質(zhì)的學(xué)習(xí)之后而安排的，前后應(yīng)該是一個(gè)循序漸進(jìn)的系統(tǒng)過程。五個(gè)例題基本涵蓋了小數(shù)除法的各種類型。其中“小數(shù)除以整數(shù)”，完全可以按照整數(shù)除法的相應(yīng)規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，提醒學(xué)生注意小數(shù)點(diǎn)位置的處理即可?！耙粋€(gè)數(shù)除以小數(shù)”，仍然可以遷移整數(shù)除法中的算法與算理，將“商不變的性質(zhì)”進(jìn)行成功遷移。“商的近似數(shù)”要求學(xué)生會用“四舍五入法”截取近似值?！把h(huán)小數(shù)”則需要學(xué)生通過有限小數(shù)與無限小數(shù)的對比理解，引入“循環(huán)節(jié)”的概念。最后的“用計(jì)算器探索規(guī)律與解決問題”，則在學(xué)生的歸納、理解與解決真實(shí)問題方面下功夫。整數(shù)除法與小數(shù)除法最關(guān)鍵的區(qū)別在于小數(shù)點(diǎn)，因而根據(jù)小數(shù)點(diǎn)處理方法的不同，基于大單元整合理念，我們可將五個(gè)例題整合為兩個(gè)序列：除數(shù)是整數(shù)和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法。前者可以直接遷移整數(shù)除法的算理與算法，后者是前者的變式。無論是整數(shù)除法，還是小數(shù)除法，其算理是相同的，那就是：一定要平均分，計(jì)數(shù)單位分到多么細(xì)微的地步，還是要把余數(shù)的計(jì)數(shù)單位變小合并到下一個(gè)數(shù)位繼續(xù)平均分?？梢?，“厘清小數(shù)除法的算理，是貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法的支點(diǎn)”[2]。新組合后的兩個(gè)序列如下（見圖1）。

這樣兩個(gè)序列的實(shí)質(zhì)是用算理貫穿算法，其背后的理念支撐是大單元學(xué)習(xí)。如果前期學(xué)生對整數(shù)除法中“將計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分”這一概念掌握得不好，那么，小數(shù)除法練習(xí)中易錯點(diǎn)的出現(xiàn)也就不足為怪。因此，滲透大單元整合理念，理解小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性，是高效學(xué)習(xí)小數(shù)除法的前提。

二、結(jié)合學(xué)情找準(zhǔn)切入點(diǎn)

新的課程理念與課改強(qiáng)調(diào)以生為本?！氨尽卑ㄋ袑W(xué)生的具體學(xué)情。就小數(shù)除法的學(xué)習(xí)而言，包括教材實(shí)際是否基于學(xué)生實(shí)情，是否基于學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)等。

（一）去繁存簡，算式導(dǎo)入

悉心分析人教版教材中的“跑步的情境”，我們有一些新的思考?！芭懿降那榫场敝赶颉扒着c米”的單位換算，并未指向除法的算理與算法。我們舍棄這個(gè)情境，直接用兩份前測問卷，對學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)情進(jìn)行診斷。

1.子涵用44.8元買了8個(gè)筆記本，那么，每個(gè)筆記本的價(jià)格是多少？請寫出算式、過程及理由。2.算出下面算式的商并寫出過程及理由：44.8÷8=（）。

隨后，我們抽取五一班與五二班的學(xué)生進(jìn)行前測計(jì)，發(fā)現(xiàn)平均正確率超過了97%，其中一個(gè)班達(dá)到了100%。這說明學(xué)生對于簡單的小數(shù)除法已經(jīng)掌握，實(shí)現(xiàn)了由抽象到形象計(jì)算的轉(zhuǎn)變。既然如此，“跑步情境”所起到的作用微乎其微，完全可以舍棄，可以直接從運(yùn)算的一致性進(jìn)行導(dǎo)入。

（二）透析起點(diǎn)，構(gòu)想策略

教師不能滿足于前測一與前測二中“100%”正確率的驚喜。畢竟，能夠正確計(jì)算44.8÷8的算法，并不意味著就掌握了所有小數(shù)除法的算理與算法。學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)、前知識結(jié)構(gòu)、算理與算法的貫通等究竟處在一個(gè)什么樣的層次上，還需進(jìn)一步的前測與透析。我們用算式“16÷5”進(jìn)行第三次前測，要求學(xué)生表述算理與算法。在此基礎(chǔ)上通過細(xì)化進(jìn)行等級分析（見表1）。

由上觀之，大部分學(xué)生計(jì)算正確，但無法完整表達(dá)算理與算法。僅靠量感與口算，無法為運(yùn)算一致性的掌握而助力。另外，獨(dú)立完整表述算理與算法，對于五年級的學(xué)生有一定的困難。于是，基于大單元整合理念而進(jìn)行整體性遷移與內(nèi)化，為學(xué)生搭建支架，最終鋪就運(yùn)算一致性之路，就成為學(xué)習(xí)小數(shù)除法的一個(gè)基本視點(diǎn)。

三、教學(xué)實(shí)踐過程

前測結(jié)果已經(jīng)很明晰，針對實(shí)際學(xué)情采取較強(qiáng)針對性的措施成為關(guān)鍵環(huán)節(jié)。教師應(yīng)基于大單元整合理念，重構(gòu)教學(xué)框架，把整體性思想滲透到教學(xué)的每一個(gè)細(xì)微處。

（一）口算引入，感受認(rèn)知沖突

二年級學(xué)生學(xué)習(xí)整除除法時(shí)，除不盡時(shí)用余數(shù)。現(xiàn)在五年級了，受其影響，不少學(xué)生還是用余數(shù)表示。既然如此，教師很有必要引領(lǐng)學(xué)生將余數(shù)形式轉(zhuǎn)變?yōu)樾?shù)形式，實(shí)現(xiàn)知識上的遷移。復(fù)習(xí)二年級的知識，這已經(jīng)不是“大單元”，而是“跨單元”“跨年級”。教師應(yīng)實(shí)現(xiàn)由單薄斷層到有機(jī)聯(lián)系的過渡，從運(yùn)算一致性上重構(gòu)教學(xué)框架。

比如，口算16÷5，9÷4。根據(jù)二年級所學(xué)知識，學(xué)生得出結(jié)論：“3……1”與“2……1”。教師質(zhì)疑：“五年級了，我們還要用余數(shù)表示嗎？我們已經(jīng)學(xué)過小數(shù)，那么，能否把這個(gè)‘1’通過小數(shù)進(jìn)行細(xì)分，能否在一個(gè)更小的單位上平均分呢？”

由整數(shù)除法引入，將整數(shù)、小數(shù)融在一起，做到了上掛下聯(lián)，前后關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生質(zhì)疑余數(shù)“1”，進(jìn)而過渡到小數(shù)除法，顯得自然而然，做到了運(yùn)算一致性。上述口算題看似簡單，實(shí)則是整數(shù)除法到小數(shù)除法的過渡。教師應(yīng)該基于大單元整合理念，引領(lǐng)學(xué)生由此及彼進(jìn)行知識勾連、前后關(guān)聯(lián)和整體把握。

（二）多元表征，體會算理理解

如何巧妙處理余數(shù)“1”，仍然需要大單元整合理念。1÷5究竟是0.2還是0.02，需要貫通整數(shù)除法以及小數(shù)除法的算理。我們的做法是通過多元表征，融會貫通，讓學(xué)生體會算理，體會運(yùn)算一致性，做到知識的遷移與應(yīng)用。

學(xué)生用豎式計(jì)算出商后，教師及時(shí)發(fā)問：請大家觀察豎式，與過去學(xué)習(xí)的整數(shù)除法比較一下有什么不同？是不是余數(shù)變大了？由“1”變?yōu)椤?0”了？因?yàn)橛辛诵?shù)點(diǎn)的加入，這個(gè)“10”所代表的意義就不一樣了？你是如何理解的？請把自己的想法畫出來（見圖2）。

經(jīng)過仔細(xì)觀察，教師與其他同學(xué)理解這個(gè)同學(xué)的想法：10個(gè)0.1除以5，結(jié)果是2個(gè)0.1，如此，哪里應(yīng)該點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，2應(yīng)該寫在什么位置上，2個(gè)0.1意味著什么，自然就一目了然了。

可以發(fā)現(xiàn)，上述過程隱含著可遷移的思路：將小數(shù)問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)問題進(jìn)行思考與解決，即將未知轉(zhuǎn)化為已知。而這，正是運(yùn)算一致性的具體體現(xiàn)。其中的前提是：小數(shù)除法與整數(shù)除法的算理是一樣的，都離不開除法“平均分（不斷細(xì)分）”這樣的本質(zhì)。尤其值得提倡的是引領(lǐng)學(xué)生“畫出自己的想法”這一環(huán)節(jié)，彰顯著我們對學(xué)生的信任———師生能夠從學(xué)生喜歡的方式中發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題。這給我們一個(gè)提醒：鼓勵學(xué)生經(jīng)常性地進(jìn)行多元表征，必能讓學(xué)生的思維好好伸展。

（三）遷移推理，感受運(yùn)算本質(zhì)

學(xué)生理解了把幾個(gè)一轉(zhuǎn)化成幾十個(gè)十分之一，那么，碰到更多“數(shù)要細(xì)分”并且“平均”分時(shí)怎么辦？能否舉一反三，掌握能夠貫通所有小數(shù)除法的普遍的算理呢？于是，進(jìn)一步遷移推理就成為鞏固小數(shù)除法學(xué)習(xí)中的應(yīng)然。

引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真觀察豎式（見圖3），針對其中的“10”與“20”，教師提出質(zhì)疑：“這里的10與20表示什么呢？”顯然，學(xué)生能夠很快得出結(jié)論：“是因?yàn)?.1不夠分了，所以要變成新的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)分。”所謂“變成新的計(jì)數(shù)單位”就是再次添0。以此類推，0.01、0.001等的出現(xiàn)就是必然的，直到解決問題。教師趁機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)性合攏：“整數(shù)除法的本質(zhì)是什么？不就是計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分的過程嗎？整數(shù)除法與小數(shù)除法兩者的本質(zhì)是一樣的，只不過小數(shù)除法增加了小數(shù)點(diǎn)的位置與如何添0的問題?！?/p>

這樣的遷移推理基于本單元而超越于本單元，體現(xiàn)出整數(shù)、小數(shù)除法運(yùn)算的一致性，算理、算法融為一體，并且做到了以理驅(qū)法，完成碎片化學(xué)習(xí)到結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的過渡。針對那些對整數(shù)除法掌握不扎實(shí)，同時(shí)小數(shù)除法練習(xí)中經(jīng)常點(diǎn)錯小數(shù)點(diǎn)、漏0或者多0的學(xué)困生，這樣的遷移推理尤為重要。教師應(yīng)該多多關(guān)注學(xué)困點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生在有意義的遷移中體會運(yùn)算一致性的作用，一點(diǎn)一滴地提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

（四）對比梳理，凸顯算理一致

利用“商不變的性質(zhì)”，學(xué)生在小數(shù)除法與整數(shù)除法中很容易地進(jìn)行轉(zhuǎn)換。既然“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外）后商不變”，那么，碰到稍難或者不能立即“看出眉目”的題型，學(xué)生完全可以通用這一性質(zhì)，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題（將小數(shù)除法轉(zhuǎn)為整數(shù)除法問題）進(jìn)行對比梳理。而這，同樣離不開大單元整合意識。

1.計(jì)算并觀察1.6÷0.5和16÷5的商，學(xué)生積累了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：除數(shù)是小數(shù)的除法，利用“商不變的性質(zhì)”轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的形式，可以輕松解決。

2.搜集并展示部分學(xué)生完成的幾組算式（包括錯題），引領(lǐng)所有學(xué)生對比觀察，從中發(fā)現(xiàn)算理及算法，進(jìn)一步理解“商不變的性質(zhì)”（見圖4）。

三個(gè)對比算式的梳理中，從9÷0.4到90÷4，就是運(yùn)用了商不變的性質(zhì)。顯然，上述過程中從9÷0.4到90÷0.4就與“商不變的性質(zhì)”形成矛盾。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，后者沒有做到“同時(shí)”二字。由此，學(xué)生進(jìn)一步理解了除法的基本性質(zhì)，理解了運(yùn)算一致性的優(yōu)勢。對比梳理中，不同章節(jié)的知識點(diǎn)在一個(gè)更整體的角度上得到了整合，知識樹漸漸形成，大單元整合的意義得到了充分的體現(xiàn)。

可見，引領(lǐng)學(xué)生始終以理驅(qū)法，體會運(yùn)算一致性，能夠“促使學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，培養(yǎng)推理意識”，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的遷移意識、單元整合意識及整體思想[3]。在一個(gè)更大的視野中將知識要素進(jìn)行整合，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在機(jī)理與普遍規(guī)律，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算一致性，學(xué)生視數(shù)學(xué)如“猛虎”的現(xiàn)象將不復(fù)存在。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王玉彬，姚穎.探索運(yùn)算本質(zhì)構(gòu)建運(yùn)算聯(lián)系[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（5）.

[2] 侯燕妍.以理驅(qū)法，體會運(yùn)算一致性[J].教學(xué)月刊（小學(xué)版），2023（1-2）.

[3] 馮玉新.注重“一致”整體施教貫通“理法”促進(jìn)學(xué)習(xí)[J]. 福建教育，2023（1）.

編輯/趙卓然