瞬間相遇，美好永存

摘"要：圓的切線(xiàn)問(wèn)題，是數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，考查的是數(shù)形結(jié)合思想，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，突破口就是要求出切點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)方程，然后在此基礎(chǔ)上利用已知條件解決其他問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般涉及的有關(guān)圓和直線(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度和運(yùn)算都較為復(fù)雜，因此需要我們?cè)谡莆胀ㄐ酝ǚǖ幕A(chǔ)上，靈活掌握一些其他的方法和策略，從而可以快速有效地提高解題效率.下面就該部分內(nèi)容常見(jiàn)題型以及求解策略加以剖析.

關(guān)鍵詞：圓的切線(xiàn)；數(shù)形結(jié)合；切線(xiàn)長(zhǎng)

1"圓的切線(xiàn)方程

解決有關(guān)圓的切線(xiàn)問(wèn)題是一類(lèi)常見(jiàn)題型，可以首先判斷切線(xiàn)的斜率是否存在，如果不能判斷，則必須對(duì)斜率進(jìn)行討論，然后根據(jù)設(shè)出的直線(xiàn)方程，利用直線(xiàn)與圓的相切得到圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，來(lái)進(jìn)行分析問(wèn)題、解決問(wèn)題即可.

例1"已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0.

（1）求圓心C的坐標(biāo)及半徑r的大小.

（2）已知直線(xiàn)l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線(xiàn)l的方程.

解析：（1）圓心C的坐標(biāo)為（-1，2），半徑r=4+16-122=2.

（2）①若直線(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，要與圓C相切，顯然斜率存在.

設(shè)l：y=kx，所以圓心C到直線(xiàn)l的距離d=｜k+2｜k2+1=2.

整理，得k2-4k-2=0，解得k=2±6.

所以直線(xiàn)l的方程為y=（2+6）x或y=2-6x.

②若直線(xiàn)l不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為xa+ya=1，即x+y-a=0.

所以圓心C到直線(xiàn)l的距離d=｜1-a｜2=2，解得a=-1或a=3.

綜上，直線(xiàn)l的方程為y=（2+6）x或y=（2-6）x或x+y+1=0或x+y-3=0.

點(diǎn)評(píng)：解決有關(guān)圓的切線(xiàn)方程問(wèn)題時(shí)，在判斷切線(xiàn)的斜率是否存在的前提下，我們可以利用幾何法，就像上面的這種解題策略，不過(guò)有的時(shí)候我們也可以利用代數(shù)的方法進(jìn)行求解，即將切線(xiàn)和圓的方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根的判別式求得斜率，然后再根據(jù)題意解決其他問(wèn)題.

2"圓的切線(xiàn)長(zhǎng)

關(guān)于圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，是最近幾年高考的熱點(diǎn)，主要以小題形式出現(xiàn)，這些問(wèn)題經(jīng)常要結(jié)合題目中的已知條件，圓和直線(xiàn)之間的幾何特征，進(jìn)行列式求解.解決這類(lèi)問(wèn)題要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸思想，這樣會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速解決問(wèn)題.

例2"已知直線(xiàn)l：ax-y+3=0是圓C：x2+y2+2x-4y-4=0的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)P（a，-2）作圓C的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，則｜PQ｜="""".

解析：由x2+y2+2x-4y-4=0，得（x+1）2+（y-2）2=9.

所以圓C的圓心為C（-1，2），半徑為3.

因?yàn)橹本€(xiàn)l：ax-y+3=0是圓C：x2+y2+2x-4y-4=0的對(duì)稱(chēng)軸，所以l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2）.由-a-2+3=0，得a=1，所以P（1，-2）.

因?yàn)閳AC的半徑為3，所以｜PQ｜=|PC|2-32=11，故答案為11.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于求圓的切線(xiàn)長(zhǎng)問(wèn)題，可以考慮利用圓的一般方程求出圓心和半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

3"圓的切點(diǎn)弦及方程

圓的切點(diǎn)弦問(wèn)題是學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)弦切線(xiàn)的基礎(chǔ)，都是考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，此類(lèi)問(wèn)題主要是在切點(diǎn)弦方程的基礎(chǔ)上，結(jié)合三角形性質(zhì)列出有關(guān)長(zhǎng)度或者面積的等式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題或者復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，然后求解最值或者其他問(wèn)題.

例3"已知點(diǎn)A是直線(xiàn)l：2x+y+4=0上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓C：（x-2）2+（y-1）2=1的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N，則|MN|的最小值為（""）.

A. 2199

B. 4199

C. 8199

D. 16199

解析：易知當(dāng)|MN|最小時(shí)，MN不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

此時(shí)S四邊形AMCN=2S△AMC=2×12×｜AM｜×｜MC｜=｜AM｜①，

S四邊形AMCN=S△AMN+S△CMN=12×｜AC｜×｜MN｜②.

由①②，得|AM|=12×|AC|×|MN|，即|MN|=2|AM||AC|=2|AC|2-1|AC|=21-1|AC|2.

所以當(dāng)|AC|最小時(shí)，｜MN｜最小.

因?yàn)辄c(diǎn)A是直線(xiàn)l：2x+y+4=0上任意一點(diǎn).

所以當(dāng)AC⊥l時(shí)，|AC|取得最小值，且|AC|min=|4+1+4|5=95=955，

所以|MN|min=21-1（|AC|min）2=21-581=4199.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題中的圓的切點(diǎn)弦問(wèn)題，可以從圓的切線(xiàn)出發(fā)，列出四邊形面積為兩個(gè)三角形面積之和的等式，然后得到弦長(zhǎng)的關(guān)系式，利用數(shù)形結(jié)合思想，得到垂直時(shí)取得最小值，然后進(jìn)行求解即可.

4"由圓的切線(xiàn)求參數(shù)

圓的切線(xiàn)求參數(shù)問(wèn)題，經(jīng)常使用待定系數(shù)法，根據(jù)題目找出切線(xiàn)的斜率，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組是否有解的問(wèn)題，此處也是將來(lái)學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的基礎(chǔ)，所有這樣的問(wèn)題基本就是根據(jù)所給出的曲線(xiàn)方程的特點(diǎn)，列出有關(guān)含參的方程，利用方程思想進(jìn)行解決.

例4"圓C的圓心在x軸正半軸上，與y軸相切，且被直線(xiàn)x-y=0截得的弦長(zhǎng)為22，直線(xiàn)l：cosθ·x+sinθ·y+1=0與圓C相切，則直線(xiàn)l的斜率是"""".

解析：設(shè)圓C的方程（x-a）2+y2=a2，agt;0，則圓心到直線(xiàn)x-y=0的距離為|a-0|12+12=a2.

所以2a2- a22=22，解得a=2，所以圓C的方程為（x-2）2+y2=4.

則圓心C（2，0）到直線(xiàn)l的距離d=｜2cosθ+1｜c(diǎn)os2θ+sin2θ=2，則cosθ=12或cosθ=-32（舍去），所以sinθ=±32.

故直線(xiàn)l的斜率k=-cosθsinθ=±33.故答案為±33.

點(diǎn)評(píng)：本題需要根據(jù)所給條件求出圓的方程，再利用圓心到直線(xiàn)的距離求出cosθ，然后根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，求得傾斜角的正切值，即直線(xiàn)的斜率.

解決有關(guān)圓的切線(xiàn)問(wèn)題，一定要在理解切線(xiàn)與圓的性質(zhì)的前提下，利用數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，積極探究圖形中的幾何特征和某些角度或者線(xiàn)段長(zhǎng)度的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)槭乔芯€(xiàn)問(wèn)題，故最常用的就是垂直關(guān)系.另外每解決一個(gè)題目，我們都要積極進(jìn)行反思總結(jié)，通過(guò)訓(xùn)練不斷總結(jié)解題途徑，啟迪智慧，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，豐富解題方法，不斷提高解題效率.