“內(nèi)循環(huán)”式解析幾何問題的路徑分析

摘"要：本文以2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第21題為例，通過對(duì)命題進(jìn)行多元表征，利用表征方式之間的轉(zhuǎn)換去建構(gòu)“內(nèi)循環(huán)”式的新型結(jié)構(gòu)不良題解題思維，探索解決具有較高開放度題目的解決策略，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法，提升學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)通性通法的深入理解和應(yīng)用，為培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)提供一定思路.

關(guān)鍵詞：解析幾何；多元表征；數(shù)學(xué)本質(zhì)

1"緣起：2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第21題

教育部考試中心研制的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》［1］和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明》［2］從高考的核心功能、考查內(nèi)容、考查要求三個(gè)方面回答“為什么考、考什么、怎么考”的考試本源性問題，從而給出“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”這一教育根本問題在高考領(lǐng)域的答案.引導(dǎo)教學(xué)注重培養(yǎng)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，增強(qiáng)試題開放性，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題，引導(dǎo)教學(xué)注重培育學(xué)生的創(chuàng)新精神.

高考數(shù)學(xué)命題要求深化基礎(chǔ)考察，突出主干知識(shí)，創(chuàng)新試題設(shè)計(jì).同時(shí)會(huì)出現(xiàn)越來越多頗具開放性、創(chuàng)新性和靈活性的試題.而結(jié)構(gòu)不良題正是有力載體之一，有效地增強(qiáng)了試題的開放性與創(chuàng)新性，考查學(xué)生創(chuàng)新思維能力，考察力度逐年增大.

如全國(guó)新高考Ⅱ卷第21題.

設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程.

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1gt;x2gt;0，y1gt;0.過P且斜率為-3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點(diǎn)M.

請(qǐng)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：

①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

給出3個(gè)條件，要求學(xué)生選取2個(gè)作為已知條件，證明另外一個(gè)成立，給學(xué)生提供了選擇的自由度和發(fā)揮空間，有利于對(duì)學(xué)生思維水平的考查.本題出現(xiàn)后，筆者通過對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生面臨的問題主要集中在如下幾個(gè)方面.

（1）在第21題的位置出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良題型，且是解析幾何大題，對(duì)心理造成一定壓力.

（2）不是常見的結(jié)構(gòu)不良題型，屬于新型的、“內(nèi)循環(huán)式”的結(jié)構(gòu)不良題.

（3）對(duì)解析幾何題目無法進(jìn)行有效分析與計(jì)算，缺乏邏輯性，找不到突破口.

面對(duì)這樣一道題，不禁會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問：面對(duì)形式多變的新高考，是否會(huì)在每年都出現(xiàn)各種新型題目，同時(shí)在面對(duì)新型的題目時(shí)，如何教會(huì)學(xué)生以不變應(yīng)萬變？

2"分析：由這道題引發(fā)的對(duì)幾個(gè)概念的相關(guān)思考

2.1"多元表征相關(guān)理論

在建構(gòu)主義流行的時(shí)期，面對(duì)較為復(fù)雜和高級(jí)的結(jié)構(gòu)不良問題，斯皮羅等人提出過利用多元表征的理念去解決此類問題，即對(duì)同一個(gè)對(duì)象利用不同角度的形式來進(jìn)行表征，可以是命題表征、言語表征、符號(hào)表征、圖象表征等，通過對(duì)各個(gè)維度的剖析去分析問題.

雖然信息之間可能有不同的表征方式，但是不同表征方式之間相互有著千絲萬縷的聯(lián)系，可以通過構(gòu)建它們之間的關(guān)系（如圖1），從不同角度分析問題、理解問題，從而增加問題解決的層次感.

對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行多元化表征的過程其實(shí)是在多種表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程，是經(jīng)過思考并進(jìn)行解題過程的一種高級(jí)思維活動(dòng).完整的解題過程，需要從“題目條件”“表征要素”“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”“問題結(jié)論”四層面對(duì)問題建立“交叉結(jié)構(gòu)形”知識(shí)體系，從多個(gè)維度展示各表征類型之間的聯(lián)系（如圖2）.

解決問題的最終目的就是將“題目條件”和“問題結(jié)論”通過表征分析，構(gòu)建邏輯關(guān)聯(lián).對(duì)知識(shí)的表征和轉(zhuǎn)化的熟練度就取決于學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和熟練使用程度，也是表征及其轉(zhuǎn)換過程中最重要的一步.在經(jīng)歷外在表征與內(nèi)在表征的加工中，可以潛移默化增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力和對(duì)問題的應(yīng)用能力.

因此，問題的解決過程可以劃分為三階段：對(duì)命題問題進(jìn)行表征、借助思維導(dǎo)圖構(gòu)建問題解決路徑、反思小結(jié).

2.2"新型結(jié)構(gòu)不良題概念解析

除了常見的條件選擇類的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)不良題型之外，新型結(jié)構(gòu)不良題型也開始較高頻率地出現(xiàn)在高考試卷中.所謂新型的結(jié)構(gòu)不良題型，指在問題處提供三個(gè)選項(xiàng)，每個(gè)選項(xiàng)可以獨(dú)立看作一個(gè)條件，學(xué)生可以選擇任意兩個(gè)選項(xiàng)作為已知條件，第三個(gè)選項(xiàng)作為問題進(jìn)行解答，這種類型的結(jié)構(gòu)不良題筆者取名為“內(nèi)循環(huán)”式的結(jié)構(gòu)不良題.

3"探索：以多元表征解決新型結(jié)構(gòu)不良問題的實(shí)踐策略

該題作為新型的“內(nèi)循環(huán)式”結(jié)構(gòu)不良問題，進(jìn)一步可以細(xì)分成題干部分和三個(gè)選項(xiàng)組成的問題部分，本質(zhì)是三道結(jié)構(gòu)良好試題.

對(duì)于題干部分和問題選項(xiàng)部分都要進(jìn)行一次表征，同時(shí)對(duì)組合后的結(jié)構(gòu)良好試題也要進(jìn)行進(jìn)一步表征分析.該題考查的是直線與雙曲線的問題，可從符號(hào)表征和圖形表征兩個(gè)角度進(jìn)行重點(diǎn)表征，同時(shí)對(duì)于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行進(jìn)一步轉(zhuǎn)化.

3.1"對(duì)題干的多元化表征

對(duì)于題干部分，可以對(duì)命題題干的顯性信息進(jìn)行分解，利用數(shù)學(xué)符號(hào)、圖象并結(jié)合數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)表征（見表1）.

3.2"對(duì)問題的多元表征

面對(duì)三種組合方式，學(xué)生腦中會(huì)浮現(xiàn)以下幾個(gè)問題.

（1）是否存在哪種組合方式解題更簡(jiǎn)單.

（2）需要運(yùn)用哪些知識(shí).

（3）是否有多種解題途徑.

（4）哪種解題途徑更快捷.

為了解決以上問題，能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀表達(dá)，要先解決每個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的問題表征（見表2）.

其次，在第一步對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行表征后的基礎(chǔ)上進(jìn)行選項(xiàng)組合，構(gòu)成完整的問題表述，再對(duì)問題進(jìn)行表征，從中抽象出最直接的數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心問題和主線內(nèi)容（見表3）.

3.3"構(gòu)建問題解決路徑

對(duì)選項(xiàng)構(gòu)造出的三個(gè)問題進(jìn)行了多元表征后，就已經(jīng)對(duì)題目信息進(jìn)行了直觀表達(dá)，下面對(duì)構(gòu)成的每個(gè)問題，利用思維導(dǎo)圖的工具性去進(jìn)行解體思維輸出.我們可以聯(lián)想到設(shè)直線PQ入手，常規(guī)的聯(lián)立直線與雙曲線，由韋達(dá)定理得出關(guān)系，探索M的軌跡（如圖3）.

由此結(jié)論出發(fā)，結(jié)合構(gòu)造出的問題，增強(qiáng)表征連接度，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，可由以下思路突破.

（1）若選擇①②為條件，③為問題，構(gòu)建解題思維導(dǎo)圖如圖4.

（2）（2）若選擇①③為條件，②為問題，構(gòu)建解題思維導(dǎo)圖如圖5.

（3）若選擇②③為條件，①為問題，構(gòu)建解題思維導(dǎo)圖如圖6.

4"思考與建議

內(nèi)循環(huán)式的新型結(jié)構(gòu)不良題型，雖然是結(jié)構(gòu)不良類的亞類題目，但它在新高考卷中的出現(xiàn)本身就是一種突破.在2021年的高考理科甲卷中，在第18題的位置以數(shù)列為載體出現(xiàn)，但總體難度不大.而在2022年的新高考Ⅱ卷中，則直接放在了第21題.一方面在次壓軸題的位置以解析幾何題為載體的出現(xiàn)，本身對(duì)于考生的心理上就造成了壓力.但另外一方面，內(nèi)循環(huán)問題本身開放性也具有一定的局限性，面對(duì)內(nèi)循環(huán)問題時(shí)要注重對(duì)題目題干和選項(xiàng)問題進(jìn)行多元表征，從多個(gè)維度進(jìn)行分析.

無論題型怎么變化，都是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)問題的洞察力，從而真正考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此在后續(xù)的教學(xué)過程中，應(yīng)該更加注重以下兩點(diǎn).

4.1重視基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維品質(zhì)

“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是針對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)提出的，數(shù)學(xué)活動(dòng)是人類對(duì)待外部世界的一種特殊的方式，是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)踐過程.［3］在教學(xué)過程中應(yīng)重視學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，有效的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有利于思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成，對(duì)于同類問題的遷移性會(huì)大大加強(qiáng).

推導(dǎo)與生成，面對(duì)“二次結(jié)構(gòu)”可以選擇二次平方法、構(gòu)造對(duì)偶式等方法去解決，再如對(duì)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中，可以讓學(xué)生從直觀認(rèn)識(shí)出發(fā)，設(shè)計(jì)合適的課堂活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念的抽象和應(yīng)用過程，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維品質(zhì).

4.2強(qiáng)化整體分析，注重解題邏輯

教育部教育考試院研制的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》明確了適合高考評(píng)價(jià)規(guī)律的三個(gè)關(guān)鍵能力群：以認(rèn)識(shí)世界為核心的知識(shí)獲取能力群、以解決實(shí)際問題為核心的實(shí)踐操作能力群和涵蓋了各種關(guān)鍵思維能力的思維認(rèn)知能力群.［4］對(duì)于更加重視通法通解、強(qiáng)化本源性方法、淡化特殊技巧的新高考試卷而言，解析幾何的計(jì)算量是不可回避的一個(gè)話題，但也有考前各種結(jié)論“秒殺”的言論.但指望記住結(jié)論來解題是不切實(shí)際的，也不符合新課標(biāo)的要求.相比于受限于題型的結(jié)論而言，解題邏輯才是真正值得我們挖掘和掌握的解題利器.但從另一個(gè)角度，我們是否要完全否定結(jié)論呢？這也沒必要以偏概全，畢竟結(jié)論的生成是有嚴(yán)密的論證過程的，只要教師在推導(dǎo)結(jié)論的生成過程中，注重邏輯性和本源性，那么在面臨問題時(shí)，遇到了熟知的結(jié)論也的確能夠帶來一絲靈光.這種以能力為重的新高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，可以避免學(xué)生死學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)死數(shù)學(xué)的局面，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與運(yùn)用，讓通過大量刷題的學(xué)生無法再獲得高分，促使教學(xué)一線的教師與學(xué)生提升思辨意識(shí)與創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)

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