基于學(xué)生認(rèn)知邏輯的初中數(shù)學(xué)“勾股定理”教學(xué)應(yīng)用研究

摘 要：學(xué)生認(rèn)知邏輯作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，在“勾股定理”教學(xué)中具有突出價(jià)值。首先對(duì)學(xué)生認(rèn)知邏輯，特別是初中生的認(rèn)知邏輯進(jìn)行分析，然后從輔助學(xué)生構(gòu)建表象、深化學(xué)生認(rèn)知理解、鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)驗(yàn)證猜想、促進(jìn)學(xué)生由一般到具體的邏輯推理回歸等方面著手，研究基于學(xué)生認(rèn)知邏輯的初中數(shù)學(xué)“勾股定理”教學(xué)策略，希望能為初中“勾股定理”教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：學(xué)生認(rèn)知邏輯；初中數(shù)學(xué)；勾股定理

作者簡(jiǎn)介：夏兆陽(yáng)（1975—），男，江蘇省徐州市百川學(xué)校。

勾股定理是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)。在蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)中，“勾股定理”章節(jié)的主要內(nèi)容為勾股定理的概述、逆定理和簡(jiǎn)單應(yīng)用。這一章節(jié)對(duì)學(xué)生的認(rèn)知邏輯有較高要求，因此，研究基于學(xué)生認(rèn)知邏輯的“勾股定理”教學(xué)具有非常重要的意義。

一、學(xué)生認(rèn)知邏輯概述

學(xué)生認(rèn)知邏輯是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成的認(rèn)識(shí)事物的方法，表現(xiàn)為特定的認(rèn)知順序和規(guī)律，也反映出學(xué)生特定階段的學(xué)習(xí)需求［1］。從關(guān)注重點(diǎn)來(lái)看，學(xué)生認(rèn)知邏輯聚焦于學(xué)生在學(xué)習(xí)期間的思維方式和推理模式，特別是學(xué)生理解、掌握知識(shí)的過(guò)程。從特征表現(xiàn)來(lái)看，學(xué)生認(rèn)知邏輯具有由小及大、由近及遠(yuǎn)、由特殊到一般、由具體到抽象的特點(diǎn)，并且會(huì)隨著時(shí)間的推移逐步成熟、完善。

在初中階段，學(xué)生處于個(gè)體身心發(fā)展的第二高峰期，生理發(fā)展為其認(rèn)知發(fā)展提供了物質(zhì)前提，他們的有意想象能力、記憶力、思維能力快速發(fā)展，認(rèn)知邏輯結(jié)構(gòu)體系基本形成［2］。在這一階段，學(xué)生思維活動(dòng)的基本特點(diǎn)是抽象邏輯思維逐步占據(jù)主導(dǎo)地位，屬于經(jīng)驗(yàn)型的邏輯思維階段，但仍然依賴感性經(jīng)驗(yàn)的直接支持，辯證邏輯思維和創(chuàng)造邏輯思維具有較大的發(fā)展空間。具體表現(xiàn)為學(xué)生能夠初步運(yùn)用邏輯推理和抽象概念來(lái)解決問(wèn)題，思維的方向性、目的性更加明確，但尚不足以在大量理論的指導(dǎo)下分析、整合各種事實(shí)材料。

二、基于學(xué)生認(rèn)知邏輯的初中數(shù)學(xué)“勾股定理”教學(xué)策略

（一）設(shè)置前置補(bǔ)償，輔助學(xué)生構(gòu)建表象

勾股定理本身具有較為清晰的表述對(duì)象和元素關(guān)系，有利于學(xué)生理解和記憶。相較于具有一般抽象意義的“a2+b2=c2”，學(xué)生更容易理解“勾三股四弦五”這樣的具體描述［3］。根據(jù)學(xué)生認(rèn)知邏輯“由特殊到一般”的特點(diǎn)，教師可以設(shè)置前置補(bǔ)償，幫助學(xué)生構(gòu)建關(guān)于勾股定理的表象。勾股定理的表象是感性反映的高級(jí)形式，常表現(xiàn)為客觀層面的概念、組成命題、逆命題、模型以及各種幾何圖形等。借助前置補(bǔ)償，學(xué)生可以在頭腦中形成對(duì)勾股定理的大致印象，為后續(xù)解題實(shí)踐奠定基礎(chǔ)。在設(shè)置前置補(bǔ)償時(shí)，教師應(yīng)立足數(shù)學(xué)定理“從事實(shí)中歸納出來(lái)”的特點(diǎn)，從解決具體問(wèn)題著手，設(shè)計(jì)練習(xí)題，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，如以下例題。

【例題】根據(jù)圖1，可知S△ABC=（ ），S1=（ ），S大正方形=（ ）。

學(xué)生可以獨(dú)立或合作解答前置補(bǔ)償題，從中初步了解勾股定理的表象。接著，教師可以立足于學(xué)生的情感體驗(yàn)，設(shè)置“數(shù)方格”的自主學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生數(shù)一數(shù)直角三角形兩條直角邊a和b組成的正方形與斜邊c組成的正方形所占的小方格數(shù)量，引導(dǎo)他們從圖形角度思考并尋找一般規(guī)律：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。通過(guò)趣味數(shù)數(shù)，多數(shù)學(xué)生能輕松算出直角三角形三條邊a、b、c分別組成的正方形面積S1、S2、S3，并得出S3等于S2與S1的和。在學(xué)生了解一般規(guī)律后，教師可以設(shè)計(jì)前置合作聯(lián)系模塊，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，借助割補(bǔ)法進(jìn)一步推導(dǎo)等量關(guān)系，即邊長(zhǎng)為a+b的大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為c的小正方形的面積加上四個(gè)直角三角形△ABC的面積。隨后，教師可以將方格圖中的背景線擦除，要求學(xué)生在無(wú)法直接獲得邊長(zhǎng)a、b和面積S2、S1的情況下，根據(jù)前提條件“Sa+b=Sc+4SRt△ABC”，發(fā)散思維，借助自身想象力聯(lián)系a、b、c三個(gè)特殊的數(shù)值與三角形形狀，由特殊跨越到一般，構(gòu)建直角三角形三邊關(guān)系的表象。

（二）設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，深化學(xué)生認(rèn)知理解

經(jīng)過(guò)前置練習(xí)和語(yǔ)言引導(dǎo)后，多數(shù)學(xué)生都能對(duì)勾股定理的表象形成基本認(rèn)識(shí)，可以接受基于“由特殊到一般”認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)指導(dǎo)，了解勾股定理的結(jié)論。但部分學(xué)生仍停留在“知其然而不知其所以然”的層面，具體表現(xiàn)為未經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題、結(jié)論及解題思路被發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)缺乏真正的理解［4］。問(wèn)題鏈?zhǔn)潜舜岁P(guān)聯(lián)且有序的問(wèn)題串，其整合了一組有中心、有序列、有層級(jí)、有聯(lián)系、有獨(dú)立性的問(wèn)題。問(wèn)題鏈可以將“勾股定理”教學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生思考和探究問(wèn)題的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入認(rèn)識(shí)勾股定理。因此，教師可以圍繞發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的思維邏輯，設(shè)計(jì)以勾股定理為中心的問(wèn)題鏈，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，使其不僅“知其然”，還“知其所以然”。問(wèn)題鏈如下：

①在任意△ABC中，三邊a、b、c間有何數(shù)量關(guān)系？

②在Rt△ABC中，除了|a-b|lt;clt;a+b，三邊a、b、c間的數(shù)量關(guān)系還有哪些？

③能否用4個(gè)全等三角形拼成正方形，通過(guò)面積關(guān)系證明直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方？

提出問(wèn)題②后，教師應(yīng)提示學(xué)生考慮直角三角形的特殊性質(zhì)，帶領(lǐng)學(xué)生回顧直角三角形的特性，這有助于他們理解直角三角形三邊間的特殊關(guān)系［5］。當(dāng)學(xué)生陷入思維瓶頸時(shí)，教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，從一次方轉(zhuǎn)移到二次方情形，即a2+b2-2ablt;c2lt;a2+b2+2ab。在展示上述不等式后，教師可以要求學(xué)生用一個(gè)等式表示a、b、c之間的關(guān)系并闡述理由。比如，某學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，通過(guò)邏輯推理得出a2+b2=c2，并補(bǔ)充理由：因?yàn)閍2+b2-2ablt;c2lt;a2+b2+2ab呈對(duì)稱性，所以c2的理想狀態(tài)為中點(diǎn)位置，等于兩端a2+b2-2ab、a2+b2+2ab的平均數(shù)。

在這一問(wèn)題鏈引導(dǎo)中，學(xué)生將經(jīng)歷自主探究、合作討論、歸納類比、推理論證等過(guò)程，提高邏輯推理能力，逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)勾股定理的深入理解。

（三）打造邏輯探究階梯，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)驗(yàn)證猜想

在學(xué)生通過(guò)自學(xué)與解題逐步加深對(duì)勾股定理的理解的過(guò)程中，教師可以借助數(shù)學(xué)課件制作軟件——Sketchpad幾何畫(huà)板，打造邏輯探究階梯，充分發(fā)揮幾何畫(huà)板作圖便捷、動(dòng)態(tài)演示的優(yōu)勢(shì)，鼓勵(lì)學(xué)生驗(yàn)證猜想［6］。打造邏輯探究階梯的第一步，教師可以演示Rt△ABC三邊a、b、c分別組成3個(gè)正方形的動(dòng)畫(huà)。其中，正方形CBFG的邊長(zhǎng)為a，正方形KACH的邊長(zhǎng)為b，正方形ABDE的邊長(zhǎng)為c，面積分別5.98 cm2、1.74 cm2和7.72 cm2。在演示過(guò)程中，教師可以逐步指導(dǎo)學(xué)生觀察和測(cè)量，設(shè)定正方形的面積并標(biāo)注三邊a、b、c的長(zhǎng)。通過(guò)觀察動(dòng)畫(huà)，學(xué)生能夠直觀得出結(jié)論：正方形ABDE（面積為c2）的面積等于正方形KACH（面積為b2）與正方形CBFG（面積為a2）之和，由此推導(dǎo)出Rt△ABC的直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。

打造邏輯探究階梯基礎(chǔ)后，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫(huà)板構(gòu)建由特殊到一般的邏輯階梯。在這一階段，教師可以演示4個(gè)全等直角三角形Rt△ADH、Rt△AEB、Rt△DGC、Rt△BCF圍成一個(gè)大正方形HGEF和一個(gè)小正方形ABCD的過(guò)程，其中大正方形HGEF的邊長(zhǎng)為a+b，小正方形ABCD的邊長(zhǎng)為c。借助幾何畫(huà)板，教師可以要求學(xué)生計(jì)算大正方形HGEF的面積，并發(fā)現(xiàn)它等于小正方形ABCD的面積與4個(gè)直角三角形的面積之和。

在幾何畫(huà)板演示的過(guò)程中，學(xué)生可以從特殊情形出發(fā)，通過(guò)面積分析和拼湊驗(yàn)證勾股定理的等量關(guān)系，搭建由特殊到一般的邏輯階梯。這一探索過(guò)程能幫助學(xué)生經(jīng)歷驗(yàn)證勾股定理猜想的過(guò)程，掌握拼湊法、分割法的技巧，鍛煉空間想象力和邏輯推理能力。

（四）整理常見(jiàn)易錯(cuò)題型，促進(jìn)學(xué)生由一般到具體應(yīng)用的邏輯推理回歸

“勾股定理”教學(xué)的重點(diǎn)是理解直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，掌握將直角三角形的特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的技巧。在初中階段，勾股定理的主要應(yīng)用是通過(guò)已知直角三角形的任意兩條邊來(lái)求解第三邊，而在實(shí)際應(yīng)用中往往需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形處理，導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)誤頻出［7］?；诖?，教師可以結(jié)合初中生在辯證邏輯思維和創(chuàng)造性邏輯思維方面的不足，從辯證對(duì)比的視角整理關(guān)于勾股定理的常見(jiàn)易錯(cuò)題型，如求邊長(zhǎng)、求方程、求梯子下滑問(wèn)題等。整理錯(cuò)題后，教師可以將學(xué)生分成四人小組，要求各組合作討論解題，分析錯(cuò)誤原因并總結(jié)規(guī)避路徑，以提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。易錯(cuò)題型具體如下。

（1）求邊長(zhǎng)的易錯(cuò)題型：假設(shè)一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為9和15，那么第三條邊長(zhǎng)是多少？

在解答此問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué)生容易忽略分類討論，直接默認(rèn)15是斜邊，僅考慮一種情況。為避免類似錯(cuò)誤，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在小組內(nèi)分享交流解題錯(cuò)誤的原因，提出個(gè)性化建議。例如，可以通過(guò)畫(huà)圖討論直角邊和斜邊的關(guān)系，優(yōu)先考慮多種可能的情況。

（2）求方程的易錯(cuò)題型：有一個(gè)長(zhǎng)方體池塘，池塘的底面是正方形，邊長(zhǎng)是10 m，池塘正中有一 根水草，水草長(zhǎng)度超出水面1 m。如果將這根水草拉向池塘一邊終點(diǎn)，水草頂端恰好到達(dá)池塘邊的水面，設(shè)水草的高度為x，則列方程可得（ ）。

求方程的重點(diǎn)在于分析數(shù)量關(guān)系、設(shè)置未知數(shù)，并利用勾股定理列出正確的方程。在解答過(guò)程中，部分學(xué)生缺乏模型思維，難以構(gòu)建直角三角形并表示三邊的數(shù)量關(guān)系；部分學(xué)生難以將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形，無(wú)法找到幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系；部分學(xué)生不知道如何分析水草高度和水面高度的關(guān)系，無(wú)法得出池塘中心到邊緣的距離，難以找到方程的等量關(guān)系。為解決這些問(wèn)題，教師可以通過(guò)展示水草長(zhǎng)度和池塘深度關(guān)系的動(dòng)畫(huà)（保持水面平行于池塘底面），幫助學(xué)生直觀理解變量和不變量的關(guān)系，掌握利用勾股定理列方程的方法。

（3）梯子下滑問(wèn)題的易錯(cuò)題型：一根梯子NM長(zhǎng)5 m，頂端N靠在墻NO上，梯子下端M與墻角G的距離為3 m，在梯子下滑后停留在HF位置，測(cè)得底端HG的長(zhǎng)度為1.8 m，則梯子頂端N沿墻下滑了多長(zhǎng)距離？

在解答過(guò)程中，許多學(xué)生將梯子頂端的下滑距離誤認(rèn)為是底端的移動(dòng)距離，忽略了題中隱含的條件，缺乏對(duì)圖形的多角度理解。為規(guī)避類似錯(cuò)誤，教師可以小組合作學(xué)習(xí)的形式，引導(dǎo)各小組分析已知條件，論述兩個(gè)直角三角形中已知的邊長(zhǎng)，討論如何求解邊長(zhǎng)與線段NF的關(guān)系。然后，將NF分解為兩條線段長(zhǎng)度的差，找到梯子長(zhǎng)度這一不變量，根據(jù)勾股定理列方程求解。

通過(guò)對(duì)易錯(cuò)題型的整理與師生、生生之間的討論分析，學(xué)生可以逐漸搭建起勾股定理在幾何圖形與數(shù)量關(guān)系間的橋梁，完成由一般到具體應(yīng)用的邏輯認(rèn)知轉(zhuǎn)化。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，學(xué)生的認(rèn)知邏輯具有由一般到具體的特點(diǎn)，初中生的認(rèn)知邏輯結(jié)構(gòu)已基本形成，認(rèn)知活動(dòng)的自覺(jué)性顯著增強(qiáng)，認(rèn)知與個(gè)性得到協(xié)調(diào)發(fā)展，但在辯證邏輯思維和創(chuàng)造性邏輯思維方面仍存在不足。根據(jù)初中生的認(rèn)知邏輯特點(diǎn)，教師可以制訂適合的初中數(shù)學(xué)“勾股定理”教學(xué)策略，以滿足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求，為提升教學(xué)效率提供有力保障。

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