工程教育認(rèn)證下“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)改革

［摘 要］ “概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是理工和經(jīng)管類各專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，課程中的方法在解決實際問題時應(yīng)用廣泛。但是該課程理論性強、學(xué)習(xí)難度大，課程教學(xué)中通常存在課時少、實踐少、學(xué)用分離等教學(xué)痛點，不符合工程教育認(rèn)證理念。分析了防災(zāi)科技學(xué)院地質(zhì)工程專業(yè)工程教育認(rèn)證對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的要求，以及大學(xué)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)存在的問題，結(jié)合地質(zhì)工程專業(yè)發(fā)展規(guī)劃和應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)，探討如何進行數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革，以達到工程教育認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)。

［關(guān)鍵詞］ 工程教育認(rèn)證；概率論與數(shù)理統(tǒng)計；教學(xué)設(shè)計；教學(xué)改革

［基金項目］ 2023年度防災(zāi)科技學(xué)院教學(xué)研究與教學(xué)改革項目“工程教育認(rèn)證體系下大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與實踐——以地質(zhì)工程專業(yè)為例”（JY2023B20）；2023年度防災(zāi)科技學(xué)院一流課程建設(shè)項目“‘概率論與數(shù)理統(tǒng)計’一流課程建設(shè)項目”（ylkc202348）

［作者簡介］ 張艷芳（1979—），女，山西陽泉人，碩士，防災(zāi)科技學(xué)院數(shù)學(xué)教研室副教授，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和統(tǒng)計模型應(yīng)用研究。

［中圖分類號］ TP393 ［文獻標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）32-0090-04 ［收稿日期］ 2023-07-10

引言

工程教育認(rèn)證是國際通行的工程教育質(zhì)量保證制度，是工程師制度改革工作的基礎(chǔ)和重要組成部分。大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程為高等工程教育奠定了應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)。工程教育專業(yè)認(rèn)證的通用標(biāo)準(zhǔn)中列出了12條畢業(yè)要求，大學(xué)數(shù)學(xué)類課程至少可以支撐以下兩項畢業(yè)要求：（1）基本數(shù)學(xué)知識。能夠?qū)?shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程基礎(chǔ)和專業(yè)知識用于解決復(fù)雜工程問題。（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)分析問題。能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程科學(xué)的基本原理，識別、表達并通過文獻研究分析復(fù)雜工程問題，以獲得有效結(jié)論。但當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)課程存在“學(xué)用分離”的教學(xué)痛點，不能為專業(yè)提供全部的支撐。因此，各工程專業(yè)立足于工程教育認(rèn)證理念，開展了廣泛的教學(xué)改革研究［1-3］。這些改革從課堂教學(xué)設(shè)計、教學(xué)模式、質(zhì)量評估等多方面進行了實踐，并取得了一定成果。工程教育認(rèn)證理念下大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)改革起步相對較晚，但已引起了國內(nèi)高校教師的重視，公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課教師對不同的數(shù)學(xué)課開展了相應(yīng)的教學(xué)改革。這些改革中有針對大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)體系和教學(xué)方法的改革［4-5］。關(guān)于工程教育認(rèn)證下“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)改革的研究相對較多，其中王國強等［6］結(jié)合高等工程教育專業(yè)認(rèn)證對數(shù)學(xué)的基本要求，進行了“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)改革與實踐；周廷慰［7］在工程教育認(rèn)證的大背景下，研究了在“高等數(shù)學(xué)”課程的改革與實踐中，通過調(diào)整“高等數(shù)學(xué)”課程知識點的廣度與深度，使得課程內(nèi)容滿足工程教育認(rèn)證的需求；張爽等［8］以函數(shù)極值的內(nèi)容為例，結(jié)合教學(xué)過程中課前預(yù)習(xí)、課中學(xué)習(xí)、課后檢驗和課外拓展等四個主要環(huán)節(jié)進行教學(xué)設(shè)計，旨在促進“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)質(zhì)量的提高；還有學(xué)者針對工程教育認(rèn)證背景下“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)模式和教學(xué)目標(biāo)的改革進行了研究［9］；部分學(xué)者開展了“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)的改革研究［10］，“離散數(shù)學(xué)”是計算機專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，為了滿足離散數(shù)學(xué)在高等工程教育專業(yè)認(rèn)證中的支撐目標(biāo)，通過分析專業(yè)認(rèn)證下離散數(shù)學(xué)需要滿足的支撐點，指出“離散數(shù)學(xué)”課程目前存在的問題，從課程設(shè)計、教學(xué)方法和考核方式等三方面進行討論，指出改革方案；張蕾等［11］針對普通高校計算機專業(yè)的“線性代數(shù)”課程進行了探索與建設(shè)，以專業(yè)知識為載體，以工程認(rèn)證為導(dǎo)向，扎實提高學(xué)生全方位的能力與素質(zhì)；黃煜可等［12］以北京郵電大學(xué)的概率系列課程為例，探討如何優(yōu)化面向工科學(xué)生的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)設(shè)計，以便更好地配合相關(guān)專業(yè)教學(xué)改革和工程教育專業(yè)認(rèn)證，實現(xiàn)培養(yǎng)優(yōu)秀工程人才的目標(biāo)，提出了“一體兩翼”、教學(xué)內(nèi)容模塊化的教學(xué)設(shè)計整體思路；朱洪強等［13］分析了南京郵電大學(xué)開設(shè)的“概率統(tǒng)計”課程情況，根據(jù)專業(yè)需要，構(gòu)建了新的課程框架，最后提出了“概率統(tǒng)計”課程的教學(xué)方法改革內(nèi)容，包括教學(xué)內(nèi)容要與實際問題結(jié)合、注意學(xué)生能力的培養(yǎng)和一種新的授課形式；鄧海晨等［14］展示了面向網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)改革思路和成果。

以下以我校地質(zhì)工程專業(yè)工程教育認(rèn)證對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的要求為例，分析概率統(tǒng)計課堂教學(xué)存在的問題，結(jié)合本校地質(zhì)工程專業(yè)發(fā)展規(guī)劃和應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)，探討如何進行數(shù)學(xué)類課程教學(xué)改革，以達到工程教育認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)。

大學(xué)數(shù)學(xué)課程在對地質(zhì)工程專業(yè)的畢業(yè)生要求中主要體現(xiàn)在以下兩點：（1）掌握從事地質(zhì)工程領(lǐng)域相關(guān)工作所需的數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程基礎(chǔ)和專業(yè)知識，并將其用于分析和解決地質(zhì)工程領(lǐng)域的復(fù)雜工程問題。（2）能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)知識和工程科學(xué)基本原理，識別、表達并通過文獻研究分析地質(zhì)工程領(lǐng)域的復(fù)雜工程問題，以獲得有效結(jié)論。這里總結(jié)為兩方面，一方面是工程中所需要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，另一方面是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決復(fù)雜工程問題。

一、概率統(tǒng)計課堂存在的問題

（一）課程內(nèi)容多，理論抽象繁雜，學(xué)生難以理解

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程包括五章概率論內(nèi)容和四章數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容，概率論部分理論性強；數(shù)理統(tǒng)計部分方法性強，且公式煩瑣。作為后續(xù)專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，學(xué)生難以建立課程內(nèi)容與專業(yè)課之間的聯(lián)系。課程內(nèi)容存在很多抽象的概念和定理的證明，學(xué)起來有一定難度。

（二）傳統(tǒng)教學(xué)方式導(dǎo)致學(xué)生參與度不夠

傳統(tǒng)的教學(xué)模式是板書+多媒體課件教學(xué)。教學(xué)過程中以教師講授為主，教師不了解學(xué)生的需求，多媒體展示速度較快，且教師和學(xué)生交流少，不能及時了解學(xué)生掌握知識的情況，學(xué)生在課堂跟不上教師的節(jié)奏，導(dǎo)致學(xué)生感到課堂乏味，被動接受知識，不能有效提高教學(xué)效果。

（三）課程以學(xué)習(xí)理論知識為主，缺乏數(shù)學(xué)實驗和軟件應(yīng)用

學(xué)生對課程的認(rèn)識還停留在課本題目計算上，實際應(yīng)用能力較差。在教學(xué)內(nèi)容中，概率論是基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是在概率論基礎(chǔ)上的推斷應(yīng)用。因此數(shù)理統(tǒng)計部分更注重實際問題的解決，教學(xué)過程中涉及大量繁雜的公式和煩瑣的計算，如果課程不設(shè)實驗課，學(xué)生學(xué)完課程就只會做題，不會軟件求解。

（四）課程思政內(nèi)容不深，導(dǎo)致育人效果不顯

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程內(nèi)容豐富，與實際生活聯(lián)系緊密，蘊含著豐富的思政元素。傳統(tǒng)的授課更注重知識目標(biāo)，輕能力目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)，且課時緊張，教師在教學(xué)過程中未能充分挖掘思政元素，立德樹人的任務(wù)完成得不充分。

（五）考核方式不完善

教學(xué)評價手段單一，平時成績主要集中在出勤、作業(yè)、小測驗等，忽略了過程性考核和多元評價，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高。

考慮到概率統(tǒng)計課程對地質(zhì)工程專業(yè)的要求，結(jié)合當(dāng)前概率統(tǒng)計教學(xué)中存在的以上問題，概率統(tǒng)計課程團隊進行了相關(guān)教學(xué)改革。具體用以下例子說明。

二、概率統(tǒng)計課程教學(xué)設(shè)計改革

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一。定理提出了大量隨機變量之和的近似分布為正態(tài)分布。它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且解釋了為什么很多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布這一現(xiàn)象。這部分內(nèi)容的特點是理論性太強、定理抽象，通過過去的授課經(jīng)驗可以知道學(xué)生一方面會覺得直接給出定理很突兀，不理解為什么大量的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布；另一方面對定理的來龍去脈，以及其在整個課程中的地位和作用不清楚，學(xué)習(xí)完后只會仿照教師的解題步驟機械做題。下面從以下幾個步驟設(shè)計這節(jié)課。

（一）由引例引出問題

引例：設(shè)各個零件的重量都是隨機變量，他們相互獨立且服從相同的分布，其數(shù)學(xué)期望為0.5 kg，均方差為0.1 kg，問5 000個零件的總質(zhì)量超過2 510 kg的概率是多少？

引導(dǎo)學(xué)生分析該問題的關(guān)鍵是大量隨機變量和的分布是怎樣的。

（二）實物演示高爾頓版實驗

自上端放入一小球，任其自由下落，在下落過程中，當(dāng)小球碰到釘子時，從左邊落下與從右邊落下的機會相等，碰到下一排釘子時又是如此，最后落入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，則此球落入哪一個格子，預(yù)先難以確定；但是如果放入大量小球，則其最后呈現(xiàn)的曲線幾乎總是一樣的。觀察這個實物演示，提出問題：為什么大量小球落入格子所呈現(xiàn)的曲線幾乎是一樣的呢？

（三）軟件操作展示不同分布隨機變量之和的密度曲線圖

分別給出多個獨立同二項分布、獨立同泊松分布、獨立同均勻分布和獨立同指數(shù)分布的隨機變量圖形。圖形展示既可以讓學(xué)生直觀地看到多個獨立隨機變量之和的密度曲線越來越接近正態(tài)分布，也可以為學(xué)生演示軟件的使用。

這時引導(dǎo)學(xué)生思考剛才的高爾頓版實驗，小球落下的輪廓曲線也呈現(xiàn)出正態(tài)分布的密度曲線，進一步從直觀上讓學(xué)生有了多個獨立隨機變量之和的近似分布為正態(tài)分布這樣的印象，此時給出定理內(nèi)容就相對自然，學(xué)生容易接受，且印象深刻。這部分不但用圖形展示了多個獨立隨機變量之和近似服從正態(tài)分布，也體現(xiàn)了軟件求解，引導(dǎo)學(xué)生在課后應(yīng)用軟件求解概率統(tǒng)計中的問題。

（四）獨立同分布的中心極限定理

由以上分析給出獨立同分布中心極限定理的內(nèi)容。講解定理并強調(diào)定理的條件及結(jié)論。給學(xué)生兩分鐘時間，讓學(xué)生與同桌互相討論并對同桌說出定理的條件和結(jié)論，為定理應(yīng)用做好準(zhǔn)備。作為獨立同分布中心極限定理的特殊情形，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的內(nèi)容，應(yīng)用獨立同分布中心極限定理求解引例，演示定理如何使用。

（五）棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

在獨立同分布的中心極限定理中，假設(shè)X1，X2，…，Xn是獨立并均服從（0-1）分布，可以得到棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的內(nèi)容。因此棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理可以看作獨立同分布中心極限定理的特殊情形。通過這種方式給出棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，既可以引導(dǎo)學(xué)生思考，鞏固其剛學(xué)的獨立同分布的中心極限定理，又可以給出新定理。

（六）融入課程思政

獨立同分布中心極限定理只要求隨機變量相互獨立且同分布，對隨機變量服從哪種分布沒有要求，但最終這些隨機變量和的分布卻都近似于正態(tài)分布，這體現(xiàn)了從量變到質(zhì)變的辯證法。中心極限定理是經(jīng)過兩百多年的時間，很多統(tǒng)計學(xué)家和數(shù)學(xué)家總結(jié)、證明和完善的，體現(xiàn)了做任何事情都要不斷探索和堅持。

通過以上教學(xué)設(shè)計，學(xué)生對理論性較強的中心極限定理的理解相對容易，印象深刻。課程設(shè)計以學(xué)生為中心，培養(yǎng)學(xué)生能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，以及應(yīng)用軟件分析問題的能力。

結(jié)語

本文通過分析了工程教育認(rèn)證對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的要求以及大學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)課堂教學(xué)存在的問題，結(jié)合本校地質(zhì)工程專業(yè)發(fā)展規(guī)劃和應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)，探討如何進行數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革，以達到工程教育認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)。以中心極限定理為例展現(xiàn)了概率統(tǒng)計課程的教學(xué)設(shè)計。在今后的教學(xué)中以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心，通過信息化教學(xué)手段充分調(diào)動學(xué)生的積極性，使其參與到課堂中。將案例教學(xué)法、討論法、演示教學(xué)法融入課堂，做好專業(yè)支撐。

參考文獻

［1］唐剛，李志彪，鄧小珍，等.基于工程教育認(rèn)證的“機械設(shè)計制造及其自動化”專業(yè)人才培養(yǎng)研究［C］//中國國際科技促進會國際院士聯(lián)合體工作委員會，南洋科學(xué)院.教育科學(xué)發(fā)展科研學(xué)術(shù)國際論壇論文集（二）.南昌工程學(xué)院機械工程學(xué)院，2022：3.

［2］HAWA D R. Ethics instruction in engineering education： A （mini） meta-analysis［J］. Journal of Engineering Education，2001， 90（2）：223-229.

［3］吳子平，肖健.工程教育認(rèn)證背景下課程思政教學(xué)探索與實踐：以粉末冶金技術(shù)課程為例［J］.高教學(xué)刊，2022，8（35）：106-109.

［4］章培軍，王震，惠小健，等.工程教育認(rèn)證背景下數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革［J］.當(dāng)代教育實踐與教學(xué)研究，2020（12）：36-37.

［5］王樹忠，于祿，石宇靜.基于工程教育認(rèn)證的數(shù)學(xué)教學(xué)模式的探索［J］.吉林廣播電視大學(xué)學(xué)報，2020（4）：66-67+70.

［6］王國強，鄭中團，張居麗.基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索與實踐［C］//Advanced science and industry research center.proceedings of 2018 3rd international conference on education and management science（ICEMS 2018）.上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計學(xué)院，2018：5.

［7］周廷慰.工程教育專業(yè)認(rèn)證體系下的“高等數(shù)學(xué)”課程改革與實踐［J］.佳木斯大學(xué)社會科學(xué)學(xué)報，2022，40（5）：230-233.

［8］張爽，張敬.工程教育專業(yè)認(rèn)證背景下高等數(shù)學(xué)課程中函數(shù)極值的教學(xué)設(shè)計［J］.科技風(fēng)，2022（16）：108-110.

［9］李文波，洪佩璇.工程教育專業(yè)認(rèn)證背景下《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)目標(biāo)與要求研究：以惠州學(xué)院電子信息工程專業(yè)為例［J］.惠州學(xué)院學(xué)報，2021，41（3）：124-128.

［10］葛蕓，冷璐，王星.面向工程教育專業(yè)認(rèn)證的離散數(shù)學(xué)混合式教學(xué)模式研究［J］.高教學(xué)刊，2022，8（22）：121-124.

［11］張蕾，魏立斐.工程教育認(rèn)證背景下計算機專業(yè)“線性代數(shù)”教學(xué)探索［J］.科教導(dǎo)刊（中旬刊），2020（8）：118-119.

［12］黃煜可，閔祥偉，胡細寶，等.基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的概率系列課程“一體兩翼”的教學(xué)設(shè)計［J］.北京郵電大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2022，24（5）：92-101.

［13］朱洪強，王小芳.概率統(tǒng)計課程的教學(xué)內(nèi)容改革與研究：基于工程專業(yè)認(rèn)證背景的思考［J］.學(xué)周刊，2016（34）：16-17.

［14］鄧海晨，黃煜可.基于工程教育認(rèn)證的概率統(tǒng)計課程教學(xué)改革［J］.新教育時代電子雜志（教師版），2021（30）：107-108.

Teaching Reform of Probability Theory and Mathematical Statistics under Engineering

Education Certification

ZHANG Yan-fang， HUO Zhen-xiang， WANG Fu-chang， ZHAO Yi-bin

（Mathematics Teaching and Research Section， Institute of Disaster Prevention， Sanhe，

Hebei 065201， China）

Abstract： Probability and Mathematical Statistics is a basic mathematics course for all majors in science， technology， economics， and management. The methods in the course are widely used in solving practical problems. However， Probability and Mathematical Statistics is highly theoretical and difficult to learn， and the course usually suffers from the teaching pains of few teaching hours， little practice， and separation of learning and use， which is not in line with the concept of engineering education accreditation. This paper analyses the requirements of Probability and Mathematical Statistics for the engineering education certification of geological engineering in our university and the problems of traditional mathematics classroom teaching in the university and discusses how to carry out the teaching reform of mathematics courses to meet the standard of engineering education certification in the light of the development plan of geological engineering and the cultivation goal of applied talents in universities.

Key words： engineering education accreditation; Probability and Mathematical Statistics; teaching design; teaching reform