條理性：讓數(shù)學(xué)板書彰顯學(xué)習(xí)思路

【摘" "要】有條理的數(shù)學(xué)板書是一種有價值的教學(xué)資源，具體是指在板書過程中，將數(shù)學(xué)核心知識的生成過程和主要特征有層次地呈現(xiàn)出來，凸顯學(xué)習(xí)思路，使學(xué)生上過課后能夠一目了然。具體而言，教師可通過“一材多變，比較明理；數(shù)形結(jié)合，突破難點；呈現(xiàn)流程，厘清關(guān)系；融入操作，建立觀念；善于歸納，構(gòu)建模型”等策略，讓數(shù)學(xué)板書充滿條理性，進而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)板書；條理性；學(xué)習(xí)思路；教學(xué)輔助

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）要求學(xué)生“發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神”?？梢姡瑮l理性是數(shù)學(xué)學(xué)科不可或缺的本質(zhì)屬性。有條理的數(shù)學(xué)板書是一種富有價值的教學(xué)資源，它能夠引導(dǎo)學(xué)生參與知識的再生成過程。若將其以圖片形式保存下來，還能便于學(xué)生在課后隨時查閱。有條理的數(shù)學(xué)板書是指，在板書過程中，將數(shù)學(xué)核心知識的生成過程和主要特征有層次地呈現(xiàn)出來，凸顯學(xué)習(xí)思路，使學(xué)生上過課后能夠一目了然。那么，如何使數(shù)學(xué)板書具有條理性呢？

一、一材多變，比較明理

浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)教研員斯苗兒老師指出，數(shù)學(xué)素材應(yīng)力求簡潔，要源于學(xué)生現(xiàn)實，并努力做到一材多變，引導(dǎo)學(xué)生在簡潔與變化中發(fā)現(xiàn)知識的本質(zhì)。素材變化時幅度要小，做到循序漸進，富有條理，能夠讓學(xué)生在比較中明晰數(shù)學(xué)知識生成的道理。

例如，在人教版教材四年級下冊“四則混合運算的順序”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，教師呈現(xiàn)三道相同的算式96÷12+4×2。先讓學(xué)生說說第一道算式的運算順序，有學(xué)生提出，先算除法，再算乘法，最后算加法。另有學(xué)生表示，除法和乘法可以同時計算，最后算加法。教師順勢強調(diào)兩種算法均可行，并同步呈現(xiàn)計算過程。計算完成后，與學(xué)生進行交流，并提煉出不含括號的算式的運算順序：在不含括號的算式里，要先算乘除法，再算加減法。在第二道算式中，教師在原有算式的基礎(chǔ)上添加一個小括號，使其變?yōu)?6÷（12+4）×2，引導(dǎo)學(xué)生探討運算順序，同時呈現(xiàn)規(guī)范的計算過程。在與學(xué)生交流的過程中，提煉出含有小括號的算式的運算順序：在含有小括號的算式里，要先算小括號里面的，再算小括號外面的。緊接著，在第三道算式中，教師在小括號的基礎(chǔ)上又添加了一個中括號。在學(xué)生表達運算順序后，繼續(xù)展示規(guī)范的計算過程，順勢提煉出含有小括號和中括號的算式的運算順序：在既有中括號又有小括號的算式里，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算中括號外面的。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生探討這三個算式答案不同的原因，即加上括號后運算順序發(fā)生了變化，借此提煉出括號的作用：改變運算順序和運算結(jié)果。

在教學(xué)結(jié)束階段，教師先呈現(xiàn)兩道完全相同的算式405+123-23÷5，再呈現(xiàn)兩道算式的運算順序。第一道算式要求先算減法，再算除法，最后算加法，第二道算式要求先算減法，再算加法，最后算除法。讓學(xué)生先獨立思考，再添加小括號、中括號，并進行計算。經(jīng)過思考交流，學(xué)生得出結(jié)論：第一道算式只要添加一個小括號就能達到要求，而第二道算式要先加小括號再加中括號才能達到要求。具體板書如圖1所示。

這個數(shù)學(xué)板書體現(xiàn)了兩個層次的一材多變。第一層次著重于根據(jù)算式提煉運算順序，感悟括號的作用；第二層次則著重于依據(jù)運算順序添加括號，進而再次感受括號的強大力量——具備改變運算順序和運算結(jié)果的能力。通過這兩個層次的一

材多變，引導(dǎo)學(xué)生在潛移默化中深入理解四則運算的運算順序。

二、數(shù)形結(jié)合，突破難點

數(shù)形結(jié)合，即通過直觀的示意圖詮釋深奧的數(shù)學(xué)道理或方法，使學(xué)生能夠根據(jù)示意圖簡潔明了地理解數(shù)學(xué)道理，掌握解決問題的有效策略，進而突破教學(xué)難點。運用數(shù)形結(jié)合，教師需具備數(shù)形結(jié)合的意識，以及將數(shù)學(xué)道理或方法有條理地轉(zhuǎn)化成直觀示意圖的能力，精心設(shè)計板書，使板書彰顯條理性。

例如，對于人教版教材四年級下冊中的“租船問題”，考慮到調(diào)整方案為學(xué)生理解的難點，教師遂采用數(shù)形結(jié)合的方法進行教學(xué)。教師呈現(xiàn)主題圖，讓學(xué)生充分解讀信息，并提出問題：如何租船最省錢？引導(dǎo)學(xué)生先弄清楚是大船便宜還是小船便宜。接著，讓學(xué)生分別計算租用大船和小船每人所需的費用，明白大船更加經(jīng)濟實惠，所以首先應(yīng)租用大船。學(xué)生將總?cè)藬?shù)除以大船人數(shù)，立刻得出需要5條大船，剩余2人租1條小船。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生用圓圈表示出5條大船和1條小船，據(jù)此發(fā)現(xiàn)小船有2個空位，不省錢。此時，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何調(diào)整方案能夠節(jié)省費用？學(xué)生提出可將大船的條數(shù)降為4條，剩余8人剛好坐滿2條小船，即（6+2）÷4=2（條）（如圖2）。接著用算式驗證，4條大船和2條小船共計可乘坐32人，滿座無空位，最省錢。最后，讓學(xué)生探討在何種情況下需要調(diào)整租船方案，引導(dǎo)學(xué)生認識到在有余數(shù)的情況下需要調(diào)整方案，要盡量滿座，避免空位。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生總結(jié)租船的技巧，學(xué)生便能迅速提煉出關(guān)鍵點，即先確定哪種船便宜，盡量租用便宜的船，確保船滿座，如有空位則需調(diào)整。

上述板書通過數(shù)形結(jié)合，將租船問題的難點“調(diào)整方案”借助示意圖清晰、直觀地表示出來，使學(xué)生一目了然，明晰調(diào)整思路，順利突破教學(xué)難點。

三、呈現(xiàn)流程，厘清關(guān)系

數(shù)學(xué)知識的生成會經(jīng)歷一系列流程。如果在板書中能夠呈現(xiàn)一幅生動形象的知識生成流程圖，就能使學(xué)生對知識的形成及應(yīng)用過程產(chǎn)生深刻印象，從而使他們的學(xué)習(xí)思路更加清晰，知識之間的關(guān)系更加緊密。在設(shè)計流程圖時，教師應(yīng)立足學(xué)生視角，力求所設(shè)計出的流程圖符合學(xué)生的認知規(guī)律。

例如，在人教版教材四年級下冊《小數(shù)的性質(zhì)》的教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生理解2.50元和2.5元的含義，并發(fā)現(xiàn)它們數(shù)值相等。接著，讓學(xué)生探討8.00元和8元的含義，同樣得出它們數(shù)值相等。然后提問：“0.1米、0.10米、0.100米是否相等？”順勢引導(dǎo)學(xué)生回顧0.1米的含義。學(xué)生表示將1米平均分成10份，表示這樣的1份就是0.1米，用分數(shù)表示就是1/10米。又因為把1米平均分成10份，1份就是1分米，因此0.1米=1/10米=1分米。在此基礎(chǔ)上，進一步分析0.10米和0.100米的含義，分別得到0.10米=10/100米=10厘米，以及0.100米=100/1000米=100毫米。通過觀察1分米、10厘米、100毫米的大小關(guān)系，學(xué)生認識到它們數(shù)值相等，進而得出結(jié)論：因為1分米=10厘米=100毫米，所以0.1米=0.10米=0.100米。

接下來，教師呈現(xiàn)兩個正方形，第一個正方形被平均分成10份，取其中的3份，就是0.3，即3個0.1；第二個正方形被平均分成100份，取其中的30份，就是0.30，即30個0.01。通過課件演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)0.3=0.30。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從左往右觀察板書中的等式，發(fā)現(xiàn)小數(shù)的末尾添上0，小數(shù)的大小不變。順勢提醒學(xué)生：準確說是小數(shù)的末尾，即小數(shù)部分的最后。再引導(dǎo)學(xué)生從右往左觀察，發(fā)現(xiàn)小數(shù)的末尾去掉0，小數(shù)的大小也不變。順勢進行總結(jié)：小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變，這叫作小數(shù)的性質(zhì)（如圖3）。

最后，教師呈現(xiàn)0.70、105.0900兩個小數(shù)，讓學(xué)生判斷小數(shù)中哪些0去掉后大小不變。學(xué)生發(fā)現(xiàn)0.70末尾的0可以去掉，105.0900末尾的兩個0也可以去掉。進而提煉出結(jié)論：只有將小數(shù)末尾的0去掉，小數(shù)的大小才不變，而小數(shù)中間或前面的0都不能去掉。使學(xué)生明確：像這樣去掉小數(shù)末尾的0，小數(shù)的大小不變的操作，在數(shù)學(xué)上叫作化簡?；喌哪康氖侨サ舳嘤嗟??；喦昂螅?shù)的大小不變，但意義變了，計數(shù)單位也相應(yīng)發(fā)生改變。教師再呈現(xiàn)另一組小數(shù)，要求學(xué)生把它們改寫成三位小數(shù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：0.2改為0.200，4.08改為4.080，即在小數(shù)的數(shù)位不足三位時，應(yīng)在小數(shù)末尾添0；3改為3.000，即整數(shù)化成小數(shù)，應(yīng)先在整數(shù)右下角添加小數(shù)點，再添上相應(yīng)個數(shù)的0。進而提煉出結(jié)論：將數(shù)改寫為指定位數(shù)的小數(shù)，稱為改寫。改寫前后，大小不變，意義和計數(shù)單位隨之改變。由此，使學(xué)生明白小數(shù)的性質(zhì)可用于化簡和改寫小數(shù)。

在上述教學(xué)過程中，學(xué)生通過推理發(fā)現(xiàn)小數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合實例理解其應(yīng)用，明確化簡和改寫前后小數(shù)的大小不變，但意義發(fā)生改變。板書設(shè)計清晰地展示出知識的生成與應(yīng)用過程，使小數(shù)的性質(zhì)和化簡、改寫之間的關(guān)系能夠一目了然。

四、融入操作，建立觀念

2022年版課標指出，應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動過程，幫助學(xué)生感悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗。如空間觀念，它相對比較抽象，學(xué)生需借助直觀學(xué)具或動手操作才能建立。因此，一線教師要努力挖掘新知中的操作因素，讓學(xué)生在有序操作中自然而然感悟并建立空間觀念。

例如，在人教版教材四年級下冊“三角形的認識”的教學(xué)中，教師先讓學(xué)生在本子上畫一個三角形，在三個頂點分別標上字母A、B、C，讀作三角形ABC。再引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形ABC有幾條邊、幾個角、幾個頂點。接著，利用課件讓學(xué)生判斷一組圖形是不是三角形，進而引導(dǎo)學(xué)生說說什么是三角形，在交流的基礎(chǔ)上歸納：由三條線段圍成的圖形叫作三角形。最后，讓學(xué)生深入理解“圍成”的含義，即每相鄰的兩條線段的端點相連，也就是首尾相連，引導(dǎo)學(xué)生說說頂點A、B、C分別和哪條線段相對。在交流的基礎(chǔ)上，使學(xué)生明白頂點A和線段BC相對，頂點B和線段AC相對，頂點C和線段AB相對。

接下來，教師先利用課件演示平行四邊形畫高的過程，再讓學(xué)生說說三角形如何畫高。借助已有知識經(jīng)驗，學(xué)生能夠從頂點A出發(fā)畫出對邊的高，教師需向?qū)W生強調(diào)畫高的方法和畫垂直線段的方法相同（如圖4）。在學(xué)生初步掌握畫高方法后，指導(dǎo)他們理解三角形高和底的概念，并讓學(xué)生自己表述：高是頂點和垂足之間的距離。接著引導(dǎo)學(xué)生從頂點B和頂點C出發(fā)畫出第二條和第三條高，并強調(diào)三條高相交于一點，底和高要相對應(yīng)。此外，和學(xué)生共同提煉出畫高的三個步驟：第一步，找頂點和對邊；第二步，畫垂直線段；第三步，標符號，寫上高。

在上述教學(xué)過程中，學(xué)生和教師通過共同操作，建立起三角形的概念，形成底和高相對應(yīng)的認識，提升空間觀念。如此，借助動手操作和板書輔助建立的知識結(jié)構(gòu)，對學(xué)生來說會更加深刻。

五、善于歸納，構(gòu)建模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過程。數(shù)學(xué)中的歸納，指從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論的思維方法，屬于不完全推理，是引導(dǎo)學(xué)生參與并學(xué)會數(shù)學(xué)建模的重要手段。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)規(guī)律都需要經(jīng)歷歸納的過程。學(xué)生經(jīng)歷了歸納過程，也就經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。

例如，在人教版教材四年級下冊“四邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)中，教師首先讓學(xué)生回顧三角形的內(nèi)角和為180o，接著呈現(xiàn)一個正方形和一個長方形，并提問：它們的內(nèi)角和是多少度？學(xué)生回答：它們有4個直角，即90o×4=360 o。然后呈現(xiàn)平行四邊形和梯形，并提問：它們的內(nèi)角和是多少度？有學(xué)生表示可以把它們分成兩個三角形進行計算。教師追問：如何分割？學(xué)生回答：將一個頂點和相對的頂點連線，就能得到兩個三角形，它們的內(nèi)角就是180 o×2=360 o。教師再呈現(xiàn)一個一般四邊形，和學(xué)生一起將它分成兩個三角形，內(nèi)角和是180 o×2=360 o。師生共同總結(jié)：四邊形可以分成兩個三角形，四邊形的內(nèi)角和就是360 o。在探討四邊形的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)呈現(xiàn)一個五邊形，讓學(xué)生探討可以將其分成幾個三角形，具體應(yīng)如何分割。在交流、討論的過程中，學(xué)生明白要從一個頂點出發(fā)有序分割，做到頂點與頂點相連。而五邊形可以分成3個三角形，內(nèi)角和就是180 o×3=540 o。最后，教師呈現(xiàn)一個六邊形，學(xué)生也能夠從一個頂點出發(fā)，有序連接對應(yīng)的頂點，將其分成4個三角形，得到其內(nèi)角和為180 o×4=720 o。在此基礎(chǔ)上，教師將幾邊形中的邊數(shù)圈起來，再將幾個三角形的個數(shù)圈起來，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：邊數(shù)-2=分成的三角形個數(shù)。進而得出n邊形可以分成（n-2）個三角形，n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°（如圖5）。此時，順勢讓學(xué)生計算12邊形的內(nèi)角和，學(xué)生能馬上得出結(jié)果。

在上述教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了兩次歸納推理的過程，第一次涉及四邊形的內(nèi)角和，第二次涉及多邊形的內(nèi)角和。通過兩次歸納推理，并有序呈現(xiàn)板書，學(xué)生建立起兩個清晰的數(shù)學(xué)模型，對n邊形的內(nèi)角和，以及（n-2）的產(chǎn)生過程產(chǎn)生了深刻印象。

總之，條理性使數(shù)學(xué)板書彰顯了清晰的學(xué)習(xí)思路。有條理的板書是教師智慧的體現(xiàn)，板書有序與否直接影響教學(xué)過程的條理性和學(xué)生學(xué)習(xí)思路的清晰度，進而影響課堂教學(xué)效率。有條理的板書也是一種有效的教學(xué)資源，便于學(xué)生在需要時查閱，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻：

［1］斯苗兒，俞正強.“浙江省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)建議”案例解讀（小學(xué)數(shù)學(xué)）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.

［2］斯苗兒.好課多麿：斯苗兒“現(xiàn)場改課”理念與實踐［M］.北京：人民教育出版社，2021.