經(jīng)歷“數(shù)學地圖”建構(gòu)過程：讓“生生對話”與思維進階相伴

【摘" "要】數(shù)學地圖是基于學習地圖理念，將學生在數(shù)學學習中的思考，以“對話”的形式加以呈現(xiàn)，使學生思考過程可見的一種全新學習路徑。目前，學生在數(shù)學學習中的思維空間建構(gòu)呈現(xiàn)出“短頻快”的特點，導致其思維語言抽象“難具象”，思維動力趨于“同步調(diào)”?！皵?shù)學地圖”建構(gòu)引導學生在知識域地圖“百家爭鳴”、實驗室地圖“百人交鋒”、項目場地圖“百員競技”中，建構(gòu)思維空間、抽象思維語言、催生思維動力，讓“生生對話”與思維進階相伴。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學地圖；生生對話；思維進階

思維對話關(guān)注人的生命在場，關(guān)注學生思維的敞亮和思想的解放，使得學生在課堂中能獲得真正的峰值體驗。［1］思維是人腦借助已有的知識、語言、表象或動作對客觀現(xiàn)實的本質(zhì)屬性、內(nèi)部規(guī)律間接和概括的反映［2］。在日趨強調(diào)數(shù)學思維培養(yǎng)的當下，倘若教師仍然以結(jié)果為導向，主觀地為學生提供助力思維發(fā)展的載體，將導致學生在數(shù)學學習中的思維空間建構(gòu)呈現(xiàn)出“短頻快”的特點，以至于思維語言抽象“難具象”，思維動力趨于“同步調(diào)”。由此，筆者提倡建構(gòu)“數(shù)學地圖”引領(lǐng)學生的數(shù)學學習。

對話是交流溝通的重要方式，對話的目的與本質(zhì)是不同思維碰撞。建構(gòu)“數(shù)學地圖”作為一種個性化學習方式，旨在基于學生自身的學習經(jīng)驗，將數(shù)學內(nèi)容與生活實際緊密相連，并通過數(shù)學語言、數(shù)學情境或數(shù)學模型進行敘述、描繪和記錄學生思維經(jīng)歷過程的痕跡。本文以建構(gòu)“數(shù)學地圖”為實施路徑，引導學生經(jīng)歷思維的峰值體驗，進而發(fā)展核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學學科在育人方面的獨特價值。具體操作路徑如圖1所示。

一、明晰與默會——知識域“百家爭鳴”，思維長程發(fā)展

德國著名存在主義哲學家雅斯貝爾斯認為：教學不是理性知識的堆砌，而是靈魂的覺醒。［3］因此，數(shù)學教學不僅要傳授數(shù)學知識，更應(yīng)致力于將數(shù)學“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為學生“火熱的思考”。知識域地圖的對話過程，實質(zhì)上是一個逐步揭開知識的神秘面紗、激發(fā)學生靈魂覺醒的旅程。以知識域地圖“百家爭鳴”為學習路徑，引導學生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展和發(fā)現(xiàn)的過程，能夠?qū)崿F(xiàn)其數(shù)學“思維空間”的長程發(fā)展式建構(gòu)。

（一）知識發(fā)生之“抒己見”

數(shù)學是一門源遠流長的學科，它伴隨著人類文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生，至少已有四五千年的歷史。每一個數(shù)學知識的誕生，都承載著一段豐富的歷史。只有讓學生充分經(jīng)歷知識的形成過程，他們才能自主建構(gòu)完整的思維空間，形成可遷移的經(jīng)驗，從而進行深層次的學習。教師借助知識域地圖這一學習載體，以“百家爭鳴”的形式，鼓勵學生各抒己見，積極表達自己在經(jīng)歷知識發(fā)生過程中的所見所聞所感，展現(xiàn)自己的學習感悟。

例如，在“負數(shù)的認識”的教學中，教師可以引導學生以“探尋負數(shù)的歷史淵源”為主題展開學習。部分學生通過查閱相關(guān)資料了解到負數(shù)的概念可追溯至公元前2000年左右的古巴比倫文明。另有學生查閱到更早的歷史記載，提出負數(shù)的使用實例在戰(zhàn)國時期的《法經(jīng)》中就已出現(xiàn)，從而推斷中國是世界上最早使用負數(shù)的國家之一。還有學生提出疑問：為什么需要引入負數(shù)這一概念？在此基礎(chǔ)上，教師引導學生繪制“地圖”，讓他們運用語言或圖表等方式整理并呈現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)生過程，從而充分經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，初步建構(gòu)起個人的思維空間。

（二）知識發(fā)展之“常辯論”

辯論作為一種深入的思想“交鋒”方式，不僅能鍛煉學生的語言表達能力，還能充分展示學生的思維內(nèi)涵，從而全面展現(xiàn)學生的表達、思維與思想水平，以加深他們對知識發(fā)展過程的思考與理解。教師借助知識域地圖這一學習載體，以“百家爭鳴”的形式，鼓勵學生積極參與辯論活動，并通過學生間的分享、討論與質(zhì)疑以及師生之間的詢問與交談等互動形式，深入了解學生在數(shù)學知識發(fā)展過程中的所思所感所悟。

例如，在“多邊形的內(nèi)角和”的教學中，教師提問：“多邊形的內(nèi)角和與什么有關(guān)？”讓學生圍繞這一問題展開辯論，并引導學生將各自的思考用自己喜歡的方式記錄在地圖上，以此基礎(chǔ)展開深入的辯論活動。由此，學生通過列表觀察與推理，發(fā)現(xiàn)了多邊形內(nèi)角和的計算方法，并通過對比不同多邊形的分割線數(shù)量與三角形數(shù)量之間的關(guān)系，得出了計算多邊形內(nèi)角和的一般公式。這一過程不僅鍛煉了學生的推理意識，還促進了其對數(shù)學知識發(fā)展過程的深入理解。

（三）知識發(fā)現(xiàn)之“智融通”

知識域地圖“百家爭鳴”關(guān)注學生數(shù)學眼光的發(fā)展，引導他們用“數(shù)的眼光”和“形的眼光”觀察現(xiàn)實世界，進而發(fā)展其核心素養(yǎng)。在“百家爭鳴”中，學生與教師共同促進知識發(fā)現(xiàn)的進階，各抒己見，暢所欲言，以實現(xiàn)智慧的融通與共享。

在學習“行程問題”后，學生繪制了如下“數(shù)學地圖”（如圖2）。該地圖展現(xiàn)了學生在數(shù)學學習中的成長軌跡，以及他們對“行程問題”相關(guān)知識的結(jié)構(gòu)化理解。在這一過程中，教師引導學生經(jīng)歷人類探索、徘徊與發(fā)現(xiàn)的歷程，使他們在“再創(chuàng)造”的過程中獲得深刻的峰值體驗，從而實現(xiàn)對數(shù)學知識的深入理解和應(yīng)用。

二、再現(xiàn)與創(chuàng)造——實驗室“百人交鋒”，思維立體轉(zhuǎn)化

數(shù)學實驗作為一種獨特的學習方式，它通過實物類及技術(shù)類工具的運用，有效促進學生理解數(shù)學、發(fā)現(xiàn)數(shù)學及驗證數(shù)學。在數(shù)學學習中，引導學生從經(jīng)驗出發(fā)，運用分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹等思維方法［4］，能夠深化他們對數(shù)學概念、原理、定理及規(guī)則的理解。實驗室地圖“百人交鋒”的對話過程，以數(shù)學問題解決為基礎(chǔ)，依托數(shù)學實驗進行闡釋、質(zhì)疑與應(yīng)答，以實現(xiàn)抽象思維語言的轉(zhuǎn)化與提升。

（一）操作闡釋之“做中學”

《兒童怎樣學習數(shù)學——皮亞杰研究的教育含義》一書指出了在學生動手實踐過程中滲透數(shù)學思維的重要性。實驗室地圖不僅引導學生使用符號、語言等表征方式，還強調(diào)其操作性。與物理、化學實驗相比，數(shù)學實驗的操作性具有其獨特的特性。因此，實驗室地圖“百人交鋒”尤為注重引導學生在做中學，即讓學生在數(shù)學思維活動的參與下，對實驗素材進行數(shù)學化操作，從中感悟出數(shù)學思想方法，并對操作進行集體闡釋，將其成果以數(shù)學地圖的形式展現(xiàn)。這一過程將學生外在動手操作和內(nèi)在數(shù)學思考有機結(jié)合在一起，有助于其深層次地理解數(shù)學的本質(zhì)。

在“平均分”的教學中，面對“怎樣平均分”這一核心問題，同伴間的互相闡釋雖然對學生有一定的幫助，但空洞的語言往往難以使思維過程可視化，更無法深入揭示平均分的內(nèi)在含義。由此，“探秘胡蘿卜”的實驗應(yīng)運而生。這一實驗先引導學生實際操作把9個胡蘿卜平均分給3只小白兔的過程，并將這一實驗過程詳細記錄下來。隨后，讓學生進一步改變胡蘿卜的數(shù)量，經(jīng)過多次實驗，得出多種平均分的方法：可以一個一個分、多個多個分、按口訣分，也可以按個數(shù)分和按份數(shù)分。這一過程不僅鍛煉了學生的動手能力，還使其在操作活動中深刻理解了平均分的概念。

（二）游戲質(zhì)疑之“思中學”

在小學數(shù)學教學中，作為數(shù)學實驗的一種形式，益智游戲能夠突破傳統(tǒng)教學方法的束縛，更加符合學生認知特點。教師應(yīng)選取合適的游戲素材，在其中融入數(shù)學元素，設(shè)計富有創(chuàng)意的數(shù)學實驗，并鼓勵學生在實驗過程中敏銳觀察、大膽探索、互相質(zhì)疑，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。學生通過游戲，擺脫了原有知識經(jīng)驗及思維定式的禁錮，能夠?qū)⒁延行畔⑦M行重新組合，形成新的認知結(jié)構(gòu)。同時，還能根據(jù)自己的實踐體驗，利用地圖重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學知識，進一步加深對數(shù)學知識的理解與應(yīng)用。

在教學“烙餅問題”之后，教師設(shè)計了“有趣的紙杯游戲”這一數(shù)學實驗。教師設(shè)定游戲規(guī)則：有4個紙杯（杯口全部朝下），每次翻動相同數(shù)量的紙杯，探究至少需要翻動幾次才能保證杯口全部朝上。在游戲過程中，學生質(zhì)疑：翻的過程混亂、翻動的次數(shù)記不清楚等。針對這些問題，學生嘗試使用不同的方法記錄翻動過程，如用0和1表示、用↑和↓表示、用√和×表示等。通過這一游戲，學生不僅學會了運用數(shù)學的思維方式去觀察和分析生活問題，還增強了應(yīng)用數(shù)學的意識。同時，在數(shù)學活動中體會到數(shù)學與自然及社會的密切聯(lián)系，了解了數(shù)學的價值，增強了對數(shù)學的理解和學好數(shù)學的信心。

（三）畫板應(yīng)答之“創(chuàng)中學”

在小學階段的思維訓練中，培養(yǎng)學生的推理意識至關(guān)重要。而隨著學生進入初中階段，證明題的大量出現(xiàn)會對其推理能力提出更高的要求。因此，在小學階段借助各種工具幫助學生培養(yǎng)推理意識與興趣顯得尤為重要。網(wǎng)絡(luò)畫板作為一種現(xiàn)代教學工具，能夠?qū)碗s內(nèi)容層次化、靜態(tài)圖形動態(tài)化，從而揭示它們內(nèi)在的數(shù)學內(nèi)涵并挖掘問題的本質(zhì)，這有助于學生更好地經(jīng)歷數(shù)學推理的過程，提升推理能力。

三、行動與改進——項目場“百員競技”，思維進階生長

巴克教育研究所提出，項目化學習是學生通過一段時間對真實、有吸引力和復雜問題（課題）的深入研究與應(yīng)對，從而掌握知識技能的一種教育方式。通過項目化學習的推進，學生得以基于真實問題創(chuàng)造性地展開“做”和“學”的活動，在探究與應(yīng)用知識的過程中深化對知識的理解與運用，實現(xiàn)“做中學”與“學中用”的有機結(jié)合。項目場地圖對話旨在引導學生經(jīng)歷個人或團隊數(shù)學問題解決的全過程，以學科項目化的形式，使學生在尋問、探問、釋問與解問的學習過程中，持續(xù)催生數(shù)學思維動力，從而促進學生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

（一）問題征集之“真疑惑”

項目化學習特別強調(diào)驅(qū)動性問題的質(zhì)量，問題可以源自生活中的真實現(xiàn)象與事件，也可以源自學生對問題情境與數(shù)學問題的困惑。因此，實施項目場“數(shù)學地圖”的首要任務(wù)是征集與篩選數(shù)學問題。教師需組織學生基于對生活現(xiàn)象的反思發(fā)現(xiàn)探究問題，或根據(jù)教材學習內(nèi)容提出探究問題。隨后，對這些問題進行分類、整理與概括，提煉出學生普遍存在困惑且樂于探究的真實問題，確保學生能夠聚焦于問題，保持高昂的學習熱情與探究動力。

在教學“負數(shù)的認識”時，教師通過問題征集令在班級中征集到眾多問題，如“什么是負數(shù)？負數(shù)出現(xiàn)在哪里？負數(shù)有什么用？”“為什么要學習負數(shù)？”“負數(shù)和學過的數(shù)有什么聯(lián)系？負數(shù)有怎樣的發(fā)展歷史？負數(shù)是怎么演變來的？”等。這些問題既指向負數(shù)的現(xiàn)實意義，又指向負數(shù)的應(yīng)用價值。當教師選擇其中的問題作為小組研究的主題時，學生的探究興趣高漲，并會因自己的問題被選中了而感到自豪。

（二）項目探究之“真行動”

“知是行之始，行是知之成”。項目探究是一個持續(xù)性的過程，要求學生經(jīng)歷方案設(shè)計、信息收集、行動跟進、決策調(diào)整等過程。在此過程中，學生的數(shù)學思維始終處于活躍狀態(tài)，他們需要篩選與梳理信息、分析與應(yīng)用信息，并通過實踐操作驗證思考過程。同時，學生還需借助合作學習、交流對話完善個人或小組的探究結(jié)果，經(jīng)歷“否定之否定”的螺旋上升過程。這樣，學生才能全身心地投入到“真疑惑”的問題解決過程中，與生活建立聯(lián)系，與數(shù)學建立聯(lián)結(jié)，并從不同的數(shù)學思維角度分析問題、解決問題。

例如，在“神秘的負數(shù)”項目化學習中，學生先后經(jīng)歷了項目方案策劃、信息搜集與整理、問題分析與解決、學習成果創(chuàng)作指南的研制與修訂、活動評價標準的設(shè)計與完善、數(shù)學地圖的繪制等過程。在課外，學生根據(jù)項目方案指導，通過查閱資料、上網(wǎng)搜索、咨詢家長、觀察生活等方式搜集與負數(shù)有關(guān)的信息和知識。在課內(nèi)，學生圍繞驅(qū)動問題，借助搜集到的信息舉例說明，闡述對負數(shù)的理解，并繪制數(shù)學地圖。最后，以“百問百答”的方式，在反復協(xié)商與修改作品評價標準的過程中，將個性化想法付諸行動，轉(zhuǎn)化為學習成果，提升問題解決能力、批判性思維能力和決策力等高階思維能力。

（三）成果發(fā)布之“真改進”

項目場地圖強調(diào)學習經(jīng)歷與學習結(jié)果的呈現(xiàn)與表達。因此，在項目探究過程中，教師應(yīng)借助量規(guī)來修正、豐富和完善學習結(jié)果。教師應(yīng)給予學生指導性意見與建議，幫助學生擬定指向知識維度、技能維度、成果質(zhì)量維度、團隊協(xié)作維度等方面的量規(guī)。隨后，通過全班討論、代表推薦、主題舉薦等形式制定量規(guī)。最后，組織學生對數(shù)學地圖進行達標式、點對點的修正與完善，確保作品質(zhì)量。這一反思改進過程不僅能提高學生的方案推廣與解釋水平，還能真正提升學生的數(shù)學表達和邏輯思維水平。

在成果發(fā)布階段，課堂上呈現(xiàn)“百員競技、百花齊放”的熱烈氛圍。學生爭相上臺展示并解說自己的數(shù)學地圖或成果作品的特色、由來與創(chuàng)作歷程。臺下學生則根據(jù)創(chuàng)作主題、知識內(nèi)容、表達形式和創(chuàng)新表現(xiàn)等方面進行互動點評。課后，學生根據(jù)教師與同伴的課堂點評，再對照評價標準逐條進行修改，進一步完善作品。這一過程不僅鍛煉了學生的表達能力與批判性思維，還促進了學生對數(shù)學知識的深入理解與應(yīng)用。

數(shù)學地圖作為一種個性化的學習方式，既承載著學生數(shù)學思考的全過程，又能促進學生個體與數(shù)學學科的深入對話。在此過程中，知識域地圖、實驗室地圖和項目場地圖等多元形式，不僅有效地展現(xiàn)了知識的形成、發(fā)展與應(yīng)用過程。還充分展現(xiàn)了學生獨立思考、合作探究與知識再創(chuàng)造的過程。實踐表明，學生設(shè)計、繪制、修正地圖的過程就是學生實現(xiàn)數(shù)學化的過程。這一數(shù)學思維發(fā)展的峰值體驗直接作用于學生核心素養(yǎng)的培育，發(fā)展了學生洞察生活的數(shù)學眼光，提升了學生積極參與數(shù)學推理的意識，并強化了學生用兒童的語言表達數(shù)學理解的表征方式。

參考文獻：

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［4］曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2006.

*本文系浙江省教育科學規(guī)劃2023年重點課題“數(shù)學地圖：小學生思維對話峰值體驗‘經(jīng)歷伴隨’路徑探索”（課題編號：2023SB036）的研究成果。