活用教材習題，推動思維進階

陳云菊 顧曉東

摘? 要：教材習題是學生鞏固知識技能、發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的重要載體，教師應根據(jù)教學目標和學情需要，二次開發(fā)教材習題內(nèi)容，引領學生深入開展數(shù)學探索，有根有據(jù)、有條有理地進行數(shù)學思考，系統(tǒng)內(nèi)化數(shù)學知識，推動數(shù)學思維進階。

關鍵詞：教材習題;拓展;思維進階

《數(shù)學課程標準（2011版）》對教材的使用提出了如下建議：“教師要善于結(jié)合實際教學的需要，靈活地和有創(chuàng)造性地使用教材，對教材的內(nèi)容、編排順序、教學方法等方面進行適當?shù)娜∩峄蛘{(diào)整。”全新的課程標準蘊含了全新的理念：教師是“用”教材而非“教”教材，教師可以根據(jù)教學目標和學情需要，充分調(diào)動自己的經(jīng)驗和智慧，恰當、靈活地進行課程內(nèi)容的調(diào)整組合、補充延伸，引領學生積極主動地進行數(shù)學探索，有根有據(jù)、有條有理地進行數(shù)學思考，系統(tǒng)內(nèi)化數(shù)學知識，發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)。

下面以蘇教版數(shù)學三年級下冊的教材習題拓展教學為例，談談通過對教材習題內(nèi)容的適當調(diào)整和增補，更深層次地、創(chuàng)造性地挖掘教材習題蘊含的發(fā)展性價值，全方位推動學生數(shù)學思維進階的實踐和思考。

[?]一、瞻前顧后求通聯(lián)，讓思維向更遠處發(fā)散

小學數(shù)學教材中往往會設計一些呈顯性關聯(lián)的習題，這類習題所涉及的相關聯(lián)的知識由于外在相似點較明顯，學生易于發(fā)現(xiàn)和掌握。教師教學時，若能把握教材的設計意圖，聯(lián)系前后教材中有關聯(lián)知識的習題，有意識地引導學生發(fā)現(xiàn)這種關聯(lián)性，就會有效激活學生的認知經(jīng)驗，使學生更透徹地理解知識，構(gòu)建合理的知識框架，從而達到觸類旁通的效果。

如蘇教版數(shù)學三年級下冊練習五的第2題是這樣的：

17×4+20? 31+5×30? 175÷7-2

17+4×20? （31+5）×30? 175÷（7-2）

在教學時，組織學生自主計算后，引導學生比較每組中兩題的異同點。學生發(fā)現(xiàn)：每組兩題數(shù)字相同，運算符號相同，但運算符號的位置變化或小括號的使用使運算順序發(fā)生改變，結(jié)果也就不同。至此，這道題的基本使命似乎已完成。但練習五第7題的設置讓我們意識到編者的意圖不僅僅如此：

不計算，在○里填“>”或“<”。

40×5+3○40×（5+3）

162-24÷6○（162-24）÷6

137-75-25○137-（75-25）

因而，我們可以針對練習五的第2題再次拋出一問：如果不通過計算，你能用其他方法比較出上下兩題哪個得數(shù)大嗎？富有挑戰(zhàn)性的問題成功激起了學生的探究熱情，經(jīng)過小組再討論，學生又發(fā)現(xiàn)：從乘法、除法意義和變化規(guī)律上去理解每一個算式，很容易就能比較出每組兩題得數(shù)的大小。以第一組兩題為例：17×4+20可以看作比17個4相加的和再多20;而17+4×20可以看作比20個4相加的和再多17，17個4相加的和明顯小于20個4相加的和，而另外分別加上的兩個數(shù)大小差不多。這樣一比較，就知道17×4+20<17+4×20。同理，根據(jù)之前所學“被除數(shù)、除數(shù)、商”之間的關系，學生已經(jīng)知道“被除數(shù)不變，除數(shù)越大，商越小;相反，除數(shù)越小，商越大”的變化規(guī)律，所以第三組兩題不用計算，很容易就看出175÷7-2<175÷（7-2）。

有了以上兩組題比較大小的經(jīng)驗，再來看練習五第7題，看似復雜的兩步計算式題的大小比較，在學生眼中儼然演化成簡單的部分與整體之間關系的比對，難以消化的新題型迎刃而解?？梢姡严嗨苹蛳嗤ǖ臄?shù)學習題整合聯(lián)結(jié)重新設計，通過問題引領、對話交流，引導學生對比分析，溝通其區(qū)別與聯(lián)系，追溯其知識根源，有助于學生在反思中逐步明晰知識的本質(zhì)，在整體感知和比較中豐富和發(fā)展數(shù)感，學生思維的維度將更加廣闊，思維方法將更加靈活。

[?]二、順應學情求延展，讓思維向更寬處拓展

教學不僅僅是“教”，更是“導”。如果整個教學過程全靠教師的方法影響、同化學生，學生的思維過程就會缺乏廣度和深度，也就談不上對知識的深刻理解。教師應順學而導，給予學生充足的探究時空，充分思考和表達觀點的機會，促進學生思維沖突，自我尋求解決之道。

蘇教版數(shù)學三年級下冊教材《有趣的乘法》里有這樣一組題：

直接寫出下面各題的得數(shù)，并比較每組兩道題，說說有什么發(fā)現(xiàn)，和同學交流。

24×26=? ? 44×46=? ? 74×76=

25×25=? ? 45×45=? ? 75×75=

學生在經(jīng)過觀察計算、比較交流后發(fā)現(xiàn)：每組題都是形似（a-1）×（a+1）與a×a的乘法算式，而每組第一題的乘積都比第二題少1。本來得出這樣的結(jié)論，就已經(jīng)達到教學要求，可以到此為止了。但有學生發(fā)現(xiàn)，每組第一題的兩個乘數(shù)的和與第二題的兩個乘數(shù)的和相等，如24+26=50，25+25=50;44+46=90，45+45=90。教師抓住這個契機，適時引導：以中間一組算式為例，還有哪些兩位數(shù)加兩位數(shù)也等于90？它們的乘積又是多少呢？這里面會不會也藏有什么規(guī)律呢？問題激起了學生的興趣，他們馬上列舉出一些情況：43×47=2021，42×48=2016，41×49=2009，40×50=2000，39×51=1989……進而探討發(fā)現(xiàn)：兩個乘數(shù)的和不變，兩個乘數(shù)相差越大，所得的乘積越小;反之，兩個乘數(shù)相差越小，所得的乘積越大。在第二組中，44與46兩個乘數(shù)相差2，45與45兩個乘數(shù)相差0，顯然45×45>44×46，這和我們開始計算得出的結(jié)果是一致的。

學生的發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗證正確，他們頓時躍躍欲試。此時教師再次給出挑戰(zhàn)性任務：根據(jù)這個有趣的發(fā)現(xiàn)，用3、4、5、6這4個數(shù)字組成兩個兩位數(shù)，要使乘積最大，應該怎樣組合？在小組合作探究中，學生的思路漸漸清晰：要使兩個數(shù)的乘積最大，首先要使這兩個數(shù)盡量大。因此這兩個乘數(shù)的十位選擇6和5，剩下的4和3放在個位。這時就會出現(xiàn)兩種情況：64×53或63×54。64與53的和是117，63與54的和也是117，到底哪種組合乘積更大呢？這時學生主動運用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，指出63與54的差較小，它們的乘積最大。

在上述教學活動中，教師順應學情，用一題帶多題，逐層深入、拓展，引導學生自主發(fā)現(xiàn)、驗證和總結(jié)規(guī)律，并應用規(guī)律去解決更復雜、更抽象的問題。在這個過程中，學生的思維是發(fā)散而變通的，教師要做的就是順著學路調(diào)整教學，適時有效設問，適度點撥拓展，讓學生無疑而生疑，有疑而思辨，解疑而提升。

[?]三、有心栽花求滲透，讓思維向更深處探尋

無論是建立數(shù)學概念，探究數(shù)學規(guī)律，還是解決數(shù)學問題，都需要數(shù)學思想方法的指引和運用。教師應充分挖掘教材習題中所包含的數(shù)學思想，在教學設計時，有意識地將它們滲透到具體內(nèi)容中去;在課堂教學中，有選擇地用數(shù)學思想方法去揭示知識的實質(zhì)，定能有效提高學生的思維品質(zhì)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。

蘇教版數(shù)學三年級下冊第50頁設計了一個“動手做”內(nèi)容——框數(shù)游戲：

教師設計了框數(shù)游戲的實踐活動。首先，學生根據(jù)要求每次用長方形框出不同的3個數(shù)，很快算出了它們的和。例如：16+17+18=51，29+30+31=90。在觀察和比較中，學生很快有了發(fā)現(xiàn)：一是任意框出的三個數(shù)相鄰之間都相差1。此時教師并不滿足于學生現(xiàn)有思維發(fā)展水平，而是有意滲透了代數(shù)思想方法：如果中間一個數(shù)用圖形★來表示，你準備怎樣表示另外兩個數(shù)？三個數(shù)的和又怎樣表示？學生討論后一致認為：用★-1和★+1來表示跟★相鄰的兩個數(shù)非常合理，進一步也就能得出“用★×3表示三個數(shù)的和”。在這一拓展的過程中，代數(shù)的初步思想在學生頭腦中有了粗淺的萌芽。

在后續(xù)應用練習中，學生進一步認識到“橫著框出三個數(shù)，它們的和正好是中間數(shù)的3倍”這一結(jié)論，于是教師及時反向拓展：你能框出和是30的三個數(shù)嗎？學生在嘗試運用剛得出的新經(jīng)驗去逆向思考、驗證、解決問題的過程中，加深理解了“移多補少”這一平均數(shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，更進一步體驗了從具體到抽象，再化抽象為直觀的數(shù)學認知過程。為了進一步升華，教師還讓學生選擇豎著框三個數(shù)以及橫豎結(jié)合框5個數(shù)等框數(shù)游戲，學生在越來越熟練的操作中，不僅體會到數(shù)抽象成符號的簡約與便捷，由此滲透的符號意識和方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法，還有助于學生抽象推理、反思交流等核心素養(yǎng)的提升。

數(shù)學知識的探究過程，也是數(shù)學思想方法的發(fā)生過程，教師要充分利用教材習題，有心栽花求滲透，做到縱橫捭闔，讓學生在自如的探究中充分展開高階思維活動，這樣既有利于學生對知識的掌握和運用，更有利于學生思維向更深處漫溯。

葉圣陶先生曾說：“教材無非是個例子?！苯處熓褂媒滩?，尤其是對教材習題設計、調(diào)整和增補是一種極富主動性、創(chuàng)造性的工作，如果能既不脫離教材提供的習題，又能根據(jù)教學實際進行靈活挖掘和適當整合，創(chuàng)造性地嘗試多種構(gòu)思，合理地引導教學過程，就會讓教材習題效用最大化。這樣有意義的教學活動，才能讓學生的思維過程更深刻，思維方法更靈活，思維品質(zhì)更上一個臺階。同時，教師的專業(yè)素養(yǎng)也將在實踐、調(diào)整與反思中得到提升和完善。