挖掘隱含條件拓展解題思路

尤金元

摘? 要：小學(xué)數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，題目中的已知條件是學(xué)生解題的依據(jù)。但有些隱含條件在題目中含而不露，需要學(xué)生結(jié)合自己的認(rèn)知、生活經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和繪圖等方法，主動(dòng)挖掘。一旦獲取這些“隱含條件”，解題則變得輕松而快速。本文從理論聯(lián)系實(shí)際，談?wù)勗鯓油诰蝾}目中的隱含條件，拓展解題思路，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：隱含條件;小學(xué)數(shù)學(xué);解題思路

數(shù)據(jù)、情節(jié)和數(shù)量關(guān)系是解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的必備條件?！皵?shù)據(jù)”是列式所需的材料;“情節(jié)”是待解決問(wèn)題的事實(shí)內(nèi)容;“數(shù)量關(guān)系”是列式參考的依據(jù)。在一些數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題中，“列式”所需的部分?jǐn)?shù)據(jù)隱藏在“情節(jié)”里面，構(gòu)成隱含條件。遇到這種情況，學(xué)生往往會(huì)覺(jué)得毫無(wú)頭緒，無(wú)從下手。只有通過(guò)仔細(xì)審題、深入探析，借助各種直觀的方法如繪圖、實(shí)踐操作或數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等，挖掘出題目中的隱含條件，才能找出解題的思路和方法 [1]。

[?]一、利用常識(shí)性?xún)?nèi)容，挖掘隱含條件

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)源于生活并為生活服務(wù)。小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多與生活常識(shí)相關(guān)的題目，這種題需要結(jié)合生活規(guī)律和常識(shí)，挖掘出題中含而不露的隱含條件。

（一）挖掘年月日所隱含的條件

在學(xué)過(guò)“年、月、日”這部分內(nèi)容后，數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)將時(shí)間這個(gè)條件隱藏于問(wèn)題的事實(shí)情節(jié)里。如：

例1：空調(diào)廠家原計(jì)劃一年生產(chǎn)2.5萬(wàn)臺(tái)空調(diào)，結(jié)果提前2個(gè)月，完成了原計(jì)劃的1.4倍。事實(shí)上每個(gè)月生產(chǎn)多少萬(wàn)臺(tái)空調(diào)？

例2：某小型服裝加工廠三月上旬生產(chǎn)了1160件服裝，中旬生產(chǎn)了1196件服裝，下旬每天生產(chǎn)124件服裝。這個(gè)服裝店三月份平均每天生產(chǎn)多少件服裝？

例1，從已知的條件“原計(jì)劃一年生產(chǎn)2.5萬(wàn)臺(tái)空調(diào)”和“結(jié)果提前2個(gè)月，完成了原計(jì)劃的1.4倍”，可求出生產(chǎn)的空調(diào)是2.5×1.4=3.5（萬(wàn)臺(tái)）。而題中需要解決的問(wèn)題是“實(shí)際每個(gè)月生產(chǎn)多少萬(wàn)臺(tái)空調(diào)”，在這個(gè)問(wèn)題中，我們需要挖掘的條件是：一年有12個(gè)月。題目里給出提前兩個(gè)月完成的顯性條件，隱藏了實(shí)際十個(gè)月完成3.5萬(wàn)臺(tái)的隱性條件。隱性條件一旦挖掘出來(lái)，求實(shí)際每月的生產(chǎn)量就輕而易舉了，列式為：2.5×1.4÷（12-2）=0.35（萬(wàn)臺(tái)）。

例2，需要解決的問(wèn)題是“服裝店三月份平均每天生產(chǎn)多少件服裝”，需要知道的條件是：這個(gè)服裝廠三月份一共生產(chǎn)了多少件服裝和三月份一共有多少天。其中，三月份有多少天則是這道題需要挖掘的隱含條件。根據(jù)月份來(lái)算，三月大，有31天。題目里給出“三月上旬生產(chǎn)了1160件服裝，中旬生產(chǎn)了1196件服裝，下旬每天生產(chǎn)124件服裝”，下旬生產(chǎn)服裝的總數(shù)需要用每天生產(chǎn)的量乘三月下旬的天數(shù)。三月是大月，下旬為11天。那么，下旬共生產(chǎn)的服裝數(shù)量是124×11=1364（件）。再用三月份所生產(chǎn)的服裝的總數(shù)除以三月份的總天數(shù)，可求得平均每天生產(chǎn)的服裝數(shù)量。列式為：（1160+1196+124×11）÷31=120（件）。

（二）挖掘生活常識(shí)所隱含的條件

數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中常有一些學(xué)生比較熟悉的、生活常識(shí)性的隱含條件。

例3：華僑酒店的地下停車(chē)場(chǎng)，一共停有24輛電瓶車(chē)和汽車(chē)，合計(jì)有60個(gè)車(chē)輪。求電瓶車(chē)和汽車(chē)分別有多少輛？

根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，可以挖掘出每輛電瓶車(chē)有2個(gè)車(chē)輪，每輛汽車(chē)有4個(gè)車(chē)輪的隱含條件。根據(jù)這個(gè)隱含條件，可以通過(guò)假設(shè)的方法找到解決問(wèn)題的方法。如果24輛車(chē)都是電瓶車(chē)，則有2×24=48個(gè)輪子，算下來(lái)比題目中的已知條件“合計(jì)有60個(gè)車(chē)輪”少60-48=12個(gè)車(chē)輪，如果一輛電瓶車(chē)換成一輛汽車(chē)，需要添加2個(gè)車(chē)輪，這樣可換12÷2=6輛汽車(chē)。由此可知，汽車(chē)有（60-2×24）÷（4-2）=6（輛）;電瓶車(chē)有24-6=18（輛）。換種思維方式，也可以假設(shè)24輛車(chē)都是汽車(chē)，按照上面相同的思路，電瓶車(chē)有（4×24-60）÷（4-2）=18（輛），汽車(chē)有24-18=6（輛）。

[?]二、利用公式或性質(zhì)等內(nèi)容，挖掘隱含條件

當(dāng)一些公式或性質(zhì)等內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)以后，數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的題目中常會(huì)將一些條件隱藏在這些公式或性質(zhì)里。

例4：已知圖1中陰影部分是正方形，其面積為3平方米，求圓的面積。

正常情況下，想求出圓的面積，必須要有圓的半徑這個(gè)條件。這道題可以挖掘出“圖中正方形的邊長(zhǎng)就是圓的半徑”這個(gè)隱含條件。題目已知正方形的面積為3平方米，由此可知正方形的邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)是3平方米。同理，圓的半徑乘半徑（既r2）也是3平方米。由此可知圓的面積為3.14×3=9.42（平方米）。

例5：如圖2所示，大正方形的面積比小正方形的面積大800平方米，圖中大圓的面積比小圓的面積大多少平方米？

想要求出兩個(gè)圓的面積差，按常理需要知道兩個(gè)圓的半徑，但是題目中兩個(gè)圓的半徑是未知的。假設(shè)“R”表示大圓的半徑，“r”表示小圓的半徑，大圓面積則為πR2，小圓面積為πr2，兩圓面積差為πR2-πr2=π（R2-r2）。已知，大正方形面積比小正方形面積大800平方米，而4R2是大正方形面積，4r2是小正方形面積，因此4R2-4r2=4（R2-r2）=800，即R2-r2=200（平方米）。由此可得，π（R2-r2）=3.14×200=628（平方米）。

[?]三、模擬實(shí)驗(yàn)，挖掘隱含條件

在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可以采用模擬實(shí)驗(yàn)的方法呈現(xiàn)敘述情節(jié)，挖掘出題目中的隱含條件，從而找出解決問(wèn)題的思路和方法。

例6：將一塊40分米長(zhǎng)的長(zhǎng)方體實(shí)心材料，平均分割成5份，其表面積共增加320平方分米。求分割后每塊材料的體積。

這道題可以采用模擬實(shí)驗(yàn)的方法：先將紅薯切成一個(gè)長(zhǎng)方體，替代題目中的實(shí)心材料，再將長(zhǎng)方體的紅薯平均切成5份，題目中所隱含的條件則一目了然。切4次可得5份，每切一次，增加2個(gè)橫截面。因此，切4次增加2×4=8個(gè)橫截面。題目已知“表面積共增加320平方分米”，可求得這塊材料的橫截面面積是320÷8=40（平方分米）。這道題需要解決的問(wèn)題是“分割后每塊材料的體積”，即用這塊材料的橫截面面積乘每塊材料的長(zhǎng)，列式為：（320÷8）×（40÷5）=320（立方分米）。

例7：一塊長(zhǎng)方體的材料，若高減少2分米，正好成為正方體，此時(shí)的表面積比原來(lái)少48平方分米。求原材料的體積是多少？

同理，將紅薯切成長(zhǎng)方體。根據(jù)已知條件“高減少2分米，正好成為正方體”可知，長(zhǎng)方體的底面是正方形，四個(gè)側(cè)面相等。若將高切掉2分米，則少了4個(gè)2分米高的側(cè)面，題中已知“切掉后的材料的表面積比原來(lái)少48平方分米”，因此每一個(gè)側(cè)面減少48÷4=12（平方分米）。由此可求得原材料的長(zhǎng)和寬，長(zhǎng)為12÷2=6（分米），高為6+2=8（分米），原材料的體積為：6×6×（6+2）=288（立方分米）。

例8：一堆水管，最底層放置20根，每往上一層，少放1根，最上面一層為12根，求這堆水管的根數(shù)。

這道題可以利用堆放圓形吸管來(lái)模擬實(shí)驗(yàn)，最底層放置20根吸管，倒數(shù)第二層放置19根……以此類(lèi)推，最上層放置12根。根據(jù)吸管放置實(shí)驗(yàn)，最終堆放出橫截面為梯形的圖形，所以吸管的根數(shù)=（頂層數(shù)量+底層數(shù)量）×層數(shù)÷2，頂層和底層的數(shù)量是已知條件，而層數(shù)就是我們有待挖掘的隱含條件。根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，層數(shù)=底層數(shù)量-頂層數(shù)量+1，即20-12+1=9（層），水管的根數(shù)也就顯而易見(jiàn)了，即（12+20）×9÷2=144（根）。

[?]四、繪制線段圖，挖掘隱含條件

在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題中，我們可繪制線段示意圖，呈現(xiàn)敘述情節(jié)，清晰地展現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，挖掘出隱含條件，從而找出解決問(wèn)題的思路和方法。

例9：李紅和弟弟兩人同時(shí)從家里出發(fā)去少年宮上課，李紅每分鐘走90米，弟弟每分鐘走60米。李紅走到少年宮門(mén)口的時(shí)候發(fā)現(xiàn)忘記帶書(shū)本了，馬上由原路返回至家中取書(shū)，在距離少年宮180米的地方和弟弟相遇，求李紅家到少年宮的距離。

這道題適合利用繪制線段圖，挖掘隱含條件：由“李紅到達(dá)少年宮后又返回，和弟弟在距離少年宮180米處相遇”得知，姐弟兩人一共行走了兩個(gè)全程。李紅比弟弟多行走了兩個(gè)180米，即180×2=360（米），而李紅的速度比弟弟的速度快90-60=30（米/分），則李紅比弟弟多走360米所花的時(shí)間就是姐弟二人所走的時(shí)間，360÷30=12（分）。因此，李紅家到少年宮的距離是（90+60）×12÷2=900（米）。

總之，數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中隱含條件的獲取，能使解題變得更加容易。因此，教師在日常教學(xué)中要特別注重隱含條件的挖掘和分析，引導(dǎo)學(xué)生更好地理解題目，洞察題目所表達(dá)的深意，從而找到解題思路和方法，在提升解題能力的同時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展 [2]。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 朱鈺榮. 高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘[J]. 中國(guó)高新區(qū)，2017（22）：91.

[2]? 張彥娥. 小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解答能力的培養(yǎng)[J]. 速讀（中旬），2014（7）：111-111.