承續(xù)已有知識(shí)，促進(jìn)算理遷移

【摘" "要】聚焦“計(jì)數(shù)單位的細(xì)分”這一概念，研究團(tuán)隊(duì)探索并優(yōu)化了一條基于算理一致性的“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑，引導(dǎo)學(xué)生：通過(guò)承續(xù)已有知識(shí)，感受除數(shù)是一位數(shù)的除法中計(jì)數(shù)單位的細(xì)分；借助類比遷移，體會(huì)除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法算理上的一致性；依托鞏固訓(xùn)練，強(qiáng)化對(duì)計(jì)數(shù)單位細(xì)分及算理一致性的理解。該學(xué)習(xí)路徑突出計(jì)數(shù)單位細(xì)分對(duì)整數(shù)除法的作用，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)遷移。

【關(guān)鍵詞】除法；計(jì)數(shù)單位；單位細(xì)分；學(xué)習(xí)路徑

一、問(wèn)題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出：數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法。學(xué)生經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，有助于其形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。除數(shù)是兩位數(shù)的除法是小學(xué)階段整數(shù)除法學(xué)習(xí)的最后階段，也為小數(shù)除法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，在除法學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用。然而，在現(xiàn)行教材的教學(xué)中，教師尚未貫通“除數(shù)是一位數(shù)的除法”“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”以及“除數(shù)是整百數(shù)的除法”的算理，學(xué)生也并未體會(huì)到三者在本質(zhì)上均是對(duì)計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，導(dǎo)致知識(shí)的整體性被破壞［1］。盡管已有研究嘗試從計(jì)數(shù)單位的角度解釋除數(shù)是一位數(shù)的除法的算理［2］，但仍未打破“除數(shù)是一位數(shù)的除法”“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”與“除數(shù)是整百數(shù)的除法”三種除法之間的壁壘，實(shí)現(xiàn)算理的一致性。因此，如何基于現(xiàn)有教材，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)路徑來(lái)貫通“除數(shù)是一位數(shù)的除法”“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”與“除數(shù)是整百數(shù)的除法”算理的一致性，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)高通路遷移，是目前亟待解決的問(wèn)題。

本研究將聚焦“計(jì)數(shù)單位的細(xì)分”這一概念，從“除數(shù)是一位數(shù)的除法”出發(fā)，借助學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探索一條基于算理一致性且學(xué)生易于理解的“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑，以此實(shí)現(xiàn)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”與“除數(shù)是整百數(shù)的除法”在算理上的一致性。研究主要圍繞以下兩個(gè)子問(wèn)題展開(kāi)。（1）如何通過(guò)除法的意義（平均分）來(lái)理解除數(shù)是一位數(shù)的除法的算理實(shí)際上是“計(jì)數(shù)單位的細(xì)分”？（2）如何設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)遷移路徑，將除數(shù)是一位數(shù)的除法的算理遷移至除數(shù)是整十?dāng)?shù)、整百數(shù)的除法中，從而使學(xué)生能夠深刻感受到算理的一致性？

基于此，筆者選取杭州市YHSY小學(xué)四年級(jí)的兩個(gè)平行班（分別記為甲班和乙班）共58名學(xué)生作為研究對(duì)象，按照研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行教學(xué)。通過(guò)比較兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，檢驗(yàn)優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)效果。學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的具體流程如圖1所示。

二、路徑優(yōu)化

根據(jù)學(xué)習(xí)路徑的優(yōu)化流程，結(jié)合“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建如圖2所示的優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑。

（一）復(fù)習(xí)舊知，感受算理，解決難點(diǎn)，體會(huì)除數(shù)是一位數(shù)的除法就是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分

教師以“分帳篷”為問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)筆算回顧三年級(jí)學(xué)過(guò)的除數(shù)是一位數(shù)的除法，解釋452÷4的算法。這一任務(wù)旨在喚醒學(xué)生已有的算法經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生解釋筆算過(guò)程提供支架。三年級(jí)學(xué)生對(duì)除法的意義——平均分，已經(jīng)有了較深入的理解，但在本節(jié)課中，由于平均分的對(duì)象是計(jì)數(shù)單位，其抽象性增加了學(xué)生理解上的難度。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境來(lái)解釋豎式計(jì)算過(guò)程，幫助學(xué)生初步理解用橫式表達(dá)豎式中平均分的過(guò)程。

【教學(xué)片段1】

師：誰(shuí)能來(lái)說(shuō)說(shuō)豎式452÷4（如圖3）每一步分別表示什么意思？

生：第一步是將400個(gè)帳篷平均分給4個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)分到100個(gè)帳篷。

師：400個(gè)帳篷也可以看成4個(gè)幾除以4？

生：4個(gè)百。

師：用算式表示的話就是——

生：4個(gè)百除以4。

師：它的結(jié)果表示什么？

生：每個(gè)社區(qū)分到1個(gè)百。

（師生合作板書，一步步解釋完整的計(jì)數(shù)單位細(xì)分過(guò)程，如圖4）

隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“先分什么，后分什么”，并要求學(xué)生將大捆、小捆和幾根小棒平均分到4個(gè)框中（如圖5）。教師再次總結(jié)，將直觀分小棒圖的過(guò)程與橫式聯(lián)系起來(lái)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位細(xì)分的理解。

綜上所述，通過(guò)任務(wù)1，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方式，對(duì)除法意義的理解從平均分過(guò)渡到計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，逐步感受到除數(shù)是一位數(shù)的除法的算理是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分。

（二）遷移算理，學(xué)習(xí)新知，聚焦重點(diǎn)，從除數(shù)是一位數(shù)走向除數(shù)是整十?dāng)?shù)

在任務(wù)2-1中，教師首先鼓勵(lì)學(xué)生嘗試筆算255÷20，隨后要求學(xué)生參照除數(shù)是一位數(shù)的除法的筆算過(guò)程，通過(guò)物體的均分初步判斷他們筆算過(guò)程的正確性，從而增強(qiáng)對(duì)計(jì)數(shù)單位細(xì)分過(guò)程的理解。考慮到算理理解的難度，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生類比除數(shù)是一位數(shù)的除法分小棒圖的過(guò)程，再次運(yùn)用小棒圖解釋除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法筆算過(guò)程每一步的含義，思考先分什么小棒，對(duì)應(yīng)分什么單位，從而建立起小棒、橫式和豎式之間的聯(lián)系，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)算理的理解。

【教學(xué)片段2】

師：我看到有好幾個(gè)同學(xué)是這樣寫的（如圖6），你們看懂了嗎？

生：25個(gè)十平均分成20份，每份可以分到1個(gè)十，還余5個(gè)十。

師：下一步他在分什么呢？

生：他在分55個(gè)一，因?yàn)榍耙淮渭?xì)分還剩50個(gè)帳篷，再加上還沒(méi)分的5個(gè)帳篷，一共有55個(gè)帳篷沒(méi)有分。將這55個(gè)帳篷平均分給20個(gè)防疫站，每個(gè)防疫站能分到2個(gè)帳篷，還剩下15個(gè)帳篷。

師：先分25個(gè)十，平均分成20份，每份可以分到1個(gè)十，還余5個(gè)十。接著，將5個(gè)十拆分為50個(gè)一，和5個(gè)一合起來(lái)是55個(gè)一。然后，將55個(gè)一平均分成20份，每份分到2個(gè)一，還剩下15個(gè)一。

師：我們也可以通過(guò)分小棒的方法來(lái)梳理255÷20的計(jì)算過(guò)程。

生：先分2大捆，平均每份0大捆，還余2大捆。

師：這2大捆就是2個(gè)百，它們?cè)撛趺捶帜兀?/p>

生：把這2大捆拆成20個(gè)小捆，共有25個(gè)小捆，每份分到1小捆，還剩下5小捆。

師：這25個(gè)小捆就是25個(gè)十，那剩下來(lái)的5個(gè)十又該怎么分呢？

生：再拆，拆成50個(gè)一，共55個(gè)一，也就是55根小棒。

（教師板書，將橫式與分小棒的過(guò)程一一對(duì)應(yīng)，如圖7所示）

接下來(lái)，教師引導(dǎo)學(xué)生比較筆算255÷20與452÷4計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過(guò)程（如圖8），以完善學(xué)生對(duì)從最高位開(kāi)始細(xì)分計(jì)數(shù)單位的理解，從而明白無(wú)論除數(shù)是一位數(shù)還是整十?dāng)?shù)的除法，都是從最高位開(kāi)始細(xì)分計(jì)數(shù)單位的。

【教學(xué)片段3】

師：同學(xué)們，我們?cè)诮鉀Q255÷20這個(gè)問(wèn)題時(shí)，是不是借鑒原來(lái)452÷4的經(jīng)驗(yàn)？請(qǐng)你們觀察一下左右兩邊的板書（如圖8），你有什么發(fā)現(xiàn)？它們有什么相同的地方？

生：它們都是從最多的那個(gè)開(kāi)始分的。

師：最多是什么意思？

生：都是先分大捆，再分小捆，最后分根。

師：你們所說(shuō)的大捆其實(shí)就是1個(gè)百，小捆就是1個(gè)十，小根就是1個(gè)一。

師：這是我們數(shù)學(xué)里原來(lái)學(xué)過(guò)的什么？

生：計(jì)數(shù)單位。

師：那么，我們剛剛從大到小分小棒的過(guò)程，其實(shí)也是一步步分計(jì)數(shù)單位的過(guò)程，而像這樣分的過(guò)程就叫作計(jì)數(shù)單位的細(xì)分。

由此，從除數(shù)是一位數(shù)的除法過(guò)渡到除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，對(duì)算理進(jìn)行了總結(jié)，但學(xué)生在算理的理解上仍然存在困難。因此，教師需要通過(guò)布置兩道選擇題（如圖9），引導(dǎo)學(xué)生辨析豎式中的橫式，并布置相應(yīng)的計(jì)算題來(lái)鞏固學(xué)生對(duì)算理的理解，為他們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中應(yīng)用算理奠定基礎(chǔ)。

綜上所述，通過(guò)任務(wù)2的層層推進(jìn)，學(xué)生首先從算法入手，初步感受計(jì)數(shù)單位細(xì)分在豎式中的應(yīng)用；然后轉(zhuǎn)向橫式，對(duì)算理有初步的理解；最后通過(guò)擺小棒，與橫式、豎式互譯，鞏固對(duì)計(jì)數(shù)單位細(xì)分的理解，從而加深對(duì)算理的理解。接下來(lái)，任務(wù)3將幫助學(xué)生應(yīng)用算理提升運(yùn)算能力，并通過(guò)變式練習(xí)來(lái)完善對(duì)算理的理解。

（三）拓展應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)貫通，打通堵點(diǎn)，從除數(shù)是整十?dāng)?shù)走向除數(shù)是整百數(shù)

為了加深學(xué)生對(duì)算理的理解，教師設(shè)計(jì)了任務(wù)3-1。在這一任務(wù)中，學(xué)生將面對(duì)除數(shù)是整十?dāng)?shù)，被除數(shù)是四位數(shù)和五位數(shù)的除法問(wèn)題（如圖10）。教師先向?qū)W生介紹編題的要求，即先編一編，再算一算，待學(xué)生完成后，隨機(jī)抽取學(xué)生解釋計(jì)算每一步的含義。通過(guò)這樣的練習(xí)，學(xué)生不僅能夠應(yīng)用除法算理進(jìn)行計(jì)算，還能提升除法的運(yùn)算能力。

隨著學(xué)生對(duì)算理的進(jìn)一步鞏固，教師設(shè)計(jì)了任務(wù)3-2，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)算理一致性的認(rèn)識(shí)。在這一任務(wù)中，學(xué)生將類比除數(shù)是一位數(shù)以及兩位數(shù)除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自主探究并筆算除數(shù)是整百數(shù)的除法（如圖11第②組），促進(jìn)學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中再次感受算理的一致性。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩組編題的計(jì)算過(guò)程（如圖11），并總結(jié)升華整數(shù)除法的算理。通過(guò)這一系列的練習(xí)，學(xué)生將深刻理解到無(wú)論除數(shù)是一位數(shù)、整十?dāng)?shù)還是整百數(shù)，其除法算理都是對(duì)計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，從而幫助學(xué)生全面理解各種除法算理的一致性。

綜上所述，學(xué)生通過(guò)除數(shù)是一位數(shù)的除法，喚醒了算法上的經(jīng)驗(yàn)，初步體驗(yàn)了計(jì)數(shù)單位的細(xì)分過(guò)程；隨后通過(guò)遷移新知，感受到除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法在算理上的一致性；最終通過(guò)鞏固訓(xùn)練，強(qiáng)化了對(duì)計(jì)數(shù)單位細(xì)分及算理一致性的理解。

三、效果檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑的實(shí)施效果，本研究設(shè)計(jì)了三種類型的后測(cè)題，共包括七個(gè)具體問(wèn)題，以檢測(cè)學(xué)生對(duì)算理一致性的理解水平［4］。后測(cè)問(wèn)卷的Cronbach's α系數(shù)為0.93，顯示出較高的信度。后測(cè)主要從“算理理解、算理遷移、創(chuàng)新應(yīng)用”三水平進(jìn)行檢測(cè)。各水平任務(wù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：學(xué)生能正確回答被除數(shù)由哪些計(jì)數(shù)單位構(gòu)成，說(shuō)明達(dá)到“算理理解”水平，得1分，回答錯(cuò)誤或者沒(méi)有回答計(jì)0分，共2題。學(xué)生能使用橫式記錄筆算過(guò)程，并得出正確結(jié)果，說(shuō)明達(dá)到“算理遷移”水平，得2分，僅能列出橫式或采用包含除計(jì)算正確結(jié)果計(jì)1分，計(jì)算錯(cuò)誤或未作答計(jì)0分，共1題。學(xué)生能將除數(shù)是整十除法的算理遷移至除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法，使用橫式記錄筆算過(guò)程，并得出正確結(jié)果，說(shuō)明達(dá)到“創(chuàng)新應(yīng)用”水平，得2分，僅列出豎式計(jì)1分，計(jì)算錯(cuò)誤或未作答計(jì)0分，共4題。

基于此，對(duì)甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的后測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析，得出他們?cè)诟魉饺蝿?wù)上的平均得分情況（如表1）。后測(cè)結(jié)果顯示，乙班學(xué)生在三個(gè)水平上的得分率均高于甲班學(xué)生，且在“算理理解”的表現(xiàn)上，兩個(gè)班的學(xué)生之間存在顯著差異。

乙班學(xué)生的問(wèn)卷答題情況如表2所示。從表中可以看出，學(xué)生不僅能夠理解算理，還能清晰地表述除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過(guò)程（如25號(hào)學(xué)生）。同時(shí)能夠根據(jù)算理的一致性，在計(jì)算除數(shù)是整百數(shù)的除法的過(guò)程中一步步細(xì)分計(jì)數(shù)單位（如1號(hào)學(xué)生）。此外，還有學(xué)生能遷移估算算法，結(jié)合除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法和除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法算理的一致性，清晰地解釋除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法的計(jì)算過(guò)程（如13號(hào)學(xué)生）。

綜上所述，優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑A2在幫助學(xué)生理解除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法的算理、遷移算理，以及感受整數(shù)除法算理的一致性方面表現(xiàn)出顯著的效果。

參考文獻(xiàn)：

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*本文系浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升研究”（課題編號(hào)：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目“建設(shè)高質(zhì)量教育體系背景下義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升路徑研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2023GH005）的研究成果。鞏子坤為本文通訊作者。