《實變函數與泛函分析》課程改革

簡思綦

摘要：本文探討了《實變函數與泛函分析》課程內容改革，一是采用一維化方法從一維實數空間的測度論開始學習，二是采用測度的可數可加性？圯葉戈洛夫定理？圯有界收斂定理的學習路徑學習測度論，可測函數和積分論的性質。此教學方案突出課程核心內容，減輕了課程難度，適合數學類和相關專業(yè)學生學習。

關鍵詞：一維化方法；測度論；學習路徑

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）15-0068-02

一、引言

隨著大學教育跟國際接軌，在筆者所在首都經濟貿易大學，高年級數學課程越來越受到重視?！秾嵶兒瘮蹬c泛函分析》（簡稱實變課程）課程不僅是數學、統計類學生的必修課，也在經濟、管理類學生中受到歡迎。隨著學生范圍的擴大，有必要針對學生背景改革實變課程的教學內容和方法。

二、《實變函數與泛函分析》課程教學改革建議

實變課程的主要內容是通過n維歐式空間（簡記為n維空間）上Lebesgue意義下測度、可測函數、積分論基本理論的學習，理解抽象測度論和n維空間結構相互結合。n維空間上測度論是后繼課程《測度論》和《隨機過程》的基礎，也是現代數學的基石。由于測度論的抽象性，我們都是通過學習n維空間上測度論過渡到抽象測度論。n維空間上測度論包括許多抽象測度論的內容，給出了抽象測度論具體實現的空間，也是對實數結構更加深入的認識。采用教材[1]得到啟發(fā)，筆者認為可以在兩個大方面改善課程教學，第一個方面是在n維空間測度論學習中首先學習一維實數空間、R的測度論，從R的測度論出發(fā)再深入學習n維空間的測度論，第二個方面是在完成測度論學習后，采用抽象測度論的方法把測度、可測函數和積分論的性質聯系在一起，具體學習路徑是：

測度的可數可加性？圯葉戈洛夫定理？圯有界收斂定理？圯Fatou引理？圯Lebesgue控制收斂定理。

我們從實變課程中測度、可測函數和積分論來討論以上兩個方面。

（一）學習n維空間測度論的新方法第一步，R實數空間。

我們知道測度論的學習一般分為兩個階段，第一階段《實變》課程學習n維空間上Lebesgue測度論，第二階段《測度論》課程學習抽象測度論。國內數學教材比如[2]，是直接學習n維歐式空間測度理論。傳統數學系學生已經對n維空間的拓撲結構有比較深入的了解，此方法不無不可。而對財經類院校學生，對于n維空間不太熟悉，那么直接學習n維歐式空間測度理論有相當難度。筆者翻閱了眾多教材，發(fā)現書[1]從n=1，即實數軸R上的測度論講起，非常方便數學基礎相對薄弱的學生直接學習實變課程。我們敘述學習R上測度論的優(yōu)點：

1.R上容易證明以下命題。

命題1（[1]Propostion1 P31）：R上區(qū)間的外測度是其長度。

2.R上容易證明以下命題。

命題2（[1]Propostion8 P38）：R上每個區(qū)間是可測的。

在抽象測度論方面，我們引入Caratheodory條件定義可測集。測度就是外測度在可測集上的限制?？蓽y集滿足？滓-代數性質，且測度具有可數可加性，上、下連續(xù)性。關鍵在R上我們可以比較容易地證明每個區(qū)間都是可測的，避免n維空間上結果的技術細節(jié)，從而通過區(qū)間生成Borel可測集和Lebesgue可測集。

3.R的拓撲結構簡單，我們有如下命題。

命題3（[1]Propostion9 P17）：R的非空開集是可數個開區(qū)間的并集，非空閉集是可數個閉區(qū)間的并集。

R上拓撲結構是開、閉區(qū)間概念的直接推廣，直接引入了拓撲概念。我們可以用開集、閉集逼近可測集，便于理解拓撲與測度的關系（[1]P40）。

學習n維空間測度論的新方法第二步，n維空間。

在具體學完R上測度后，我們對抽象測度論有一定理解，只需拓展以上三個命題就可以理解n維空間上Lebesgue測度論，大大減輕了學習難度。

命題1 （[1]例P62）：n維空間上矩體的外測度是其體積。

命題2 （[1]定理2.9 P74）：n維空間上每個開矩體是可測的。

命題3 n維空間上每個開集是可數個開矩體的并集。

命題1在書[2]中并沒有給出詳細證明，其具體證明細節(jié)把命題1的證明推廣到多維。命題2比命題2的證明復雜。

（二）對于R上的可測函數類，我們可以比較簡單地證明Littlewood三原則（[1]P64）。①每個可測集幾乎是有限個區(qū)間的并集（[1]Theorem12 P41）。②每個可測函數幾乎是連續(xù)的，即魯津定理（[1]P66）。③函數列點態(tài)收斂幾乎是一致收斂，即葉戈洛夫定理（[1]P64）。其中葉戈洛夫定理的證明用到了Lebesgue測度的連續(xù)性，即測度可數可加性的一個推論，聯系了測度和可測函數的性質（[1]Remark P78）。

（三）對于R上的可測函數的Lebesgue積分。我們利用葉戈洛夫定理證明有界收斂定理，聯系了可測函數和積分的性質（[1]Remark P78），進而證明Fatou引理，單調收斂定理，Lebesgue控制收斂定理。

以上（二），（三）部分參考學習路徑，屬于抽象測度論的內容，其結果可以平行地推廣到Rn空間中。

三、結束語

綜上所述，以上《實變函數與泛函分析》課程關于一維化方法和測度、可測函數、積分論學習路徑的建議是適應課程面向大眾化的改革方案，突出核心內容，極大減輕了教學內容的難度，便于學生學習。根據學生情況，課程還可以增加弱收斂、度量空間、拓撲空間、Banach空間、Hilbert空間等內容。

致謝：本文得到2017年首都經濟貿易大學教育教學改革項目“《實變函數與泛函分析》課程與先修課程《數學分析》和《高等代數》一體化教學研究”的資助，特此表示感謝！

參考文獻：

[1]H.Royden，P.Fitzpatrick.Real Analysi，Fourth Edition[M].機械工業(yè)出版社，2010.

[2]周民強.實變函數論[M].第2版.北京大學出版社，2008.