貫通“理”“法”，實現(xiàn)運算的一致性

【摘" "要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，體會數(shù)的運算本質上的一致性。當前很多教師對如何實現(xiàn)口算除法和筆算除法的運算一致性存在困惑?；诖?，以人教版教材四年級上冊“除數(shù)是整十數(shù)的口算除法”為例，通過教學思考和教學實踐，得出解決路徑：凸顯數(shù)的意義和運算的意義，貫通算理和算法，實現(xiàn)運算的一致性。

【關鍵詞】算理；算法；運算的一致性；口算除法

“數(shù)與運算”主題由數(shù)的認識和數(shù)的運算組成。數(shù)的認識和數(shù)的運算既有各自的特點，又存在密切的關聯(lián)。事實上，從認識整數(shù)開始，數(shù)就與運算相關。1+2是3，每個數(shù)后繼都形成一個新的數(shù)，這本身就包含運算。而隨著數(shù)的范圍從整數(shù)擴展到分數(shù)與小數(shù)，運算從加法延伸到減法、乘法與除法，計算方法日趨復雜，但基本的算理是一致的，都要與數(shù)的意義建立聯(lián)系，且都是對計數(shù)單位進行操作?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）指出，數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，體會數(shù)的運算本質上的一致性?；诖耍匀私贪娼滩乃哪昙壣蟽浴俺龜?shù)是整十數(shù)的口算除法”為例，探討如何貫通算理和算法，實現(xiàn)運算的一致性。

【教學思考】

“除數(shù)是整十數(shù)的口算除法”的教學內容包括整十數(shù)除整十數(shù)的口算和整十數(shù)除幾百幾十數(shù)的口算。此內容的教學建立在多位數(shù)乘一位數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的除法的學習基礎上，同時也是后續(xù)學習除數(shù)是兩位數(shù)筆算除法的重要前提，其口算的教學效果直接影響筆算除法試商和小數(shù)除法、分數(shù)除法的學習。對于整十數(shù)除整十數(shù)、整十數(shù)除幾百幾十數(shù)的口算，其教學重點就是理解被除數(shù)里含有幾個除數(shù)。例如，在口算80÷20的教學中，學生會根據(jù)已有的知識基礎，想到將80看作8個十，將20看作2個十，80÷20就是8個十除以2個十，從而得到商是4；還會根據(jù)已知的4個20是80，得出80÷20=4。

而要“體會數(shù)的運算本質上的一致性”，首先要明確運算一致性的具體體現(xiàn)。根據(jù)專家對2022年版課標的解讀，加減法運算的一致性體現(xiàn)為“相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計數(shù)單位不變”，乘除法運算的一致性體現(xiàn)為“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘除”。這樣，關于運算的一致性，就形成了以下困惑。

（一）困惑：口算除法和筆算除法的運算一致性如何實現(xiàn)？

除法是乘法的逆運算。根據(jù)平均分，可以將除法分為兩種情況：一是“把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少”，通常把這種情況的除法叫作“等分除”；二是“求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)”，通常把這種情況的除法叫作“包含除”。簡言之，即求每份數(shù)的等分除和求份數(shù)的包含除?？谒?0÷20，通常從包含除的角度來理解，把80看作8個十，20看作2個十，將8個十按2個“十”為1份進行平均分，可以分成4份。然而，在筆算除法中，80÷20的運算意義又是從等分除的角度來理解的，即把8個十平均分成20份，不夠分，所以要把8個十看作80個一，這樣每份分得的是4個一，因此商要寫在個位上。這使得學生產生口算除法算理和筆算除法算理不同的錯覺。

（二）對困惑的分析思考

包含除、等分除都是建立在平均分基礎上的除法，分的都是相同計數(shù)單位的個數(shù)。筆算除法通常從等分的角度理解算理，而作為筆算除法基礎的口算除法，也應從等分除的角度理解算理。因此，除法運算的一致性要體現(xiàn)在“均分相同計數(shù)單位個數(shù)”上，當“大”計數(shù)單位不夠等分時，應將它轉換成“小”計數(shù)單位繼續(xù)均分。

（三）困惑的解決路徑

算理是算法的基礎，明了“理”才能掌握“法”。算理源于數(shù)的意義和運算的意義。只有凸顯數(shù)與運算的意義，貫通“理”“法”，才能實現(xiàn)運算的一致性。

在進行“除數(shù)是整十數(shù)的口算除法”教學之前，學生已在三年級下冊學習了“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”。如52÷2的教學需注重運用計數(shù)單位進行思考，引導學生經(jīng)歷將“大”計數(shù)單位轉換為“小”計數(shù)單位的過程，即將第一次等分后余下的1個十轉換成10個一。在此基礎上，“除數(shù)是整十數(shù)的口算除法”的教學應實現(xiàn)遷移應用，弱化包含除，凸顯等分除和計數(shù)單位的轉換。下面以“除數(shù)是整十數(shù)的口算除法”為例，具體展示如何貫通“理”“法”，實現(xiàn)運算的一致性。

【教學實踐】

（一）激活經(jīng)驗，回憶算法

1.教師呈現(xiàn)學習材料（如圖1）。

口算下列各題。

2.學生獨立嘗試。

3.師生交流討論。

重點交流討論：（1）200÷40的商為什么是5，而不是50？（2）在抵消被除數(shù)和除數(shù)末尾的零時有什么竅門？要注意什么？

4.小結：在抵消被除數(shù)和除數(shù)末尾的零時，要抵消相同個數(shù)的零。

（設計意圖：在學習“除數(shù)是整十數(shù)的口算除法”之前，學生對相關知識已有一定的接觸，并能采用“抵消零”的方法進行計算。但學生講不清楚被除數(shù)和除數(shù)末尾相同個數(shù)的零為什么要相互抵消，這是需要教師幫助他們進一步明確的地方。）

（二）從包含除的角度明晰算理

1.教師提問：在計算除法時，為什么要將被除數(shù)和除數(shù)末尾相同個數(shù)的零同時抵消？

2.引導學生經(jīng)歷探索過程。

（1）觀察與列式：引導學生觀察平均分的過程，并用除法算式表示。

把8個一按2個一1份進行平均分，分成了4份（如圖2）。這個平均分的過程用算式怎么表示？（8÷2=4）

同理，把8個十按2個十1份進行平均分，分成了4份。用算式怎么表示？（80÷20=4）

（2）推理與聯(lián)想：若把8個一分別擴大為8個百、8個千，并仍然按2個１份進行平均分，分成4份。用算式分別怎么表示？這種擴大是否可以繼續(xù)進行下去？

（3）比較與思考：對比觀察8÷2=4、80÷20=4、800÷200=4、8000÷2000=4……你們能解釋為什么在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)末尾相同個數(shù)的零可以抵消？從中你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

3.小結與概括。將8個一分別擴大為8個十、8個百、8個千，實質上是計數(shù)單位發(fā)生了變化。整個平均分的過程，就是將8個計數(shù)單位按照2個1份進行平均分，分成4份。抵消零的個數(shù)，實際上是在同步調整計數(shù)單位的大小。在計數(shù)單位同步變化（無論是變大還是變?。┑倪^程中，所得的商（即份數(shù)）保持不變。

（設計意圖：充分利用學生的生活經(jīng)驗，借助動手操作和推理活動，讓學生從包含除的角度感悟“等分相同計數(shù)單位的個數(shù)”這一除法算理。）

（三）從等分除的角度明確算理

1.完善意義。對于80÷20，除了可以看成把8個十按2個十1份平均分，分成4份，還可以看成什么？引導學生回顧：80÷20還可以表示把80平均分成20份，每份是4。這個算式既可以看作求份數(shù)，也可以看作求每份數(shù)。

2.比較分析。對于80÷2，你們會怎么計算？引導學生比較80÷2=40和80÷20=4這兩道題的計算道理有什么不同，得出：80÷2=40，表示把8個十平均分成2份，每份是4個十，即商是40；80÷20=4，表示把80個一平均分成20份，每份是4個一，即商是4。

3.深入討論。在80÷20=4這個算式中，為什么把80看作80個一，而不是8個十？（教師根據(jù)學生交流，用課件動態(tài)演示，如圖3所示）

幫助學生明確：除法即為等分相同計數(shù)單位個數(shù)的運算，當以“十”為單位不夠分時，可以將1個十轉換為10個一（“大”計數(shù)單位轉換為“小”計數(shù)單位）繼續(xù)平均分。

4.聯(lián)結過往學習。教師啟發(fā)學生思考：在此前的除法計算中，你是否遇到過類似的情況？引導學生回顧筆算除法52÷2的計算過程：先均分計數(shù)單位為“十”的個數(shù)，再將余下來的“十”轉換成“一”繼續(xù)平均分。

5.拓展延伸。如果遇到以“一”為單位還不夠分的情況應該怎么辦？教師可直接告訴學生這是以后要學習的小數(shù)除法。

6.總結歸納。除法就是將相同計數(shù)單位的個數(shù)進行等分的運算，當“大”計數(shù)單位不夠分時，可以把“大”計數(shù)單位轉換成“小”計數(shù)單位繼續(xù)平均分。

（設計意圖：強化口算對筆算的輔助作用，討論“80÷2與80÷20”在算理上的差異。重點討論80÷20中的80為什么不看作8個十，而要看作80個一。這既是筆算除法的算理，也揭示了口算除法與筆算除法在算理上的一致性。）

通過教學思考和教學實踐可以看出，2022年版課標中提出的“數(shù)的運算本質上的一致性”的目標是切實可行的。以計數(shù)單位為核心概念，采用結構化的教學方式，可使學生感悟各類運算之間的內在聯(lián)系，體會算理的一致性和可遷移性，進而培養(yǎng)學生以整體的、聯(lián)系的和發(fā)展的視角分析問題，形成科學的思維習慣，促進其數(shù)學核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數(shù)學課程標準修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.