指向模型觀念的初中“解二元一次方程組”教學(xué)設(shè)計(jì)研究

摘 要：模型觀念的培養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大目標(biāo).方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要模型和研究對(duì)象，特別是二元一次方程組，其在生活中應(yīng)用廣泛，是培養(yǎng)學(xué)生模型觀念的重要途徑.當(dāng)前“解二元一次方程組”教學(xué)存在對(duì)部分內(nèi)容重復(fù)講解的情況.通過(guò)問(wèn)題鏈串聯(lián)知識(shí)，可以幫助學(xué)生構(gòu)建模型鏈，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型觀念等核心素養(yǎng).因此，本文基于問(wèn)題鏈的教學(xué)模式，對(duì)指向模型觀念的“解二元一次方程組”教學(xué)進(jìn)行再設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：模型觀念；問(wèn)題鏈；解二元一次方程組；教學(xué)設(shè)計(jì)

“模型”的概念正式提出前，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)在教學(xué)中關(guān)注形成解決問(wèn)題的模式.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中提出的各類(lèi)“術(shù)”就是解決問(wèn)題的通用方法.［1］法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（R.Descartes）也表示會(huì)通過(guò)將解決問(wèn)題變成范例，用以解決其他問(wèn)題，形成了“模型”的雛形.［2］美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（G.Polya）在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解、研究和講授》中也明確提出要根據(jù)問(wèn)題的本質(zhì)總結(jié)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.［3］對(duì)于目前的數(shù)學(xué)教育，曹一鳴教授指出：“模型是一種結(jié)構(gòu)，是一種過(guò)程或行為的定性或定量的表示，通過(guò)模型，可以知道原型的本質(zhì)屬性.”［4］對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，構(gòu)建模型具有對(duì)問(wèn)題本質(zhì)分析的輔助作用，以及問(wèn)題解決的遷移效果.“解二元一次方程組”作為方程模型的重要內(nèi)容，是發(fā)展學(xué)生模型觀念的重要素材.通過(guò)對(duì)“解二元一次方程組”教學(xué)的分析與重構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生模型觀念的發(fā)展.

1 模型觀念的概念與生成條件

在模型的構(gòu)建過(guò)程中，學(xué)生能夠經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程以及模型建立的過(guò)程，從而發(fā)展模型觀念等核心素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）指出：“模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)知.知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑.”［5］模型觀念關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與分析.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)要實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo)：①提升其對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決范式、模型的構(gòu)建；②運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題；③感受模型甚至是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系以及意義.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)問(wèn)題，模型觀念的培養(yǎng)也離不開(kāi)問(wèn)題，充分利用問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)變得尤為重要.在模型形成過(guò)程中，往往不是由一個(gè)問(wèn)題達(dá)成的，而是多個(gè)問(wèn)題串聯(lián)，形成問(wèn)題鏈，使得學(xué)生模型觀念逐步生長(zhǎng)的.基于問(wèn)題鏈的教學(xué)具有以下特征：①問(wèn)題鏈具有主干問(wèn)題，能反映數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的關(guān)鍵問(wèn)題；②問(wèn)題之間是有順序的，知識(shí)間能反映一定的發(fā)展過(guò)程；③問(wèn)題是預(yù)設(shè)的，但教學(xué)中需要隨課堂改變.［6］問(wèn)題鏈的教學(xué)模式，充分利用了主干問(wèn)題及其關(guān)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考，體現(xiàn)了知識(shí)間的思維脈絡(luò)，是模型構(gòu)建的必經(jīng)途徑.［7］

2 指向模型觀念的初中“解二元一次方程組”教學(xué)設(shè)計(jì)的具體流程

2.1 指向模型觀念的教學(xué)流程

基于模型的教學(xué)，首先需要構(gòu)建模型.數(shù)學(xué)模型是結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境，利用數(shù)學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分析、構(gòu)建，并加以驗(yàn)證的.李明振教授構(gòu)建的數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過(guò)程模型被廣泛認(rèn)可，其中包括現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境信息，分析問(wèn)題情境與條件狀態(tài)，建立假設(shè)簡(jiǎn)化問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)求解，對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行解釋分析與檢驗(yàn)，探索理論性結(jié)果對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的適用性.［8］

基于數(shù)學(xué)建模的一般認(rèn)知過(guò)程，關(guān)注指向模型觀念的數(shù)學(xué)教學(xué).其中，模型以問(wèn)題的形式由教師構(gòu)建，即數(shù)學(xué)建模的一般認(rèn)知過(guò)程包括模型的創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)立模型等，是教師在為學(xué)生模型觀念的培養(yǎng)“創(chuàng)設(shè)條件”.數(shù)學(xué)模型的求解、分析的過(guò)程，也是學(xué)生在進(jìn)行具體分析的過(guò)程中“體驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?數(shù)學(xué)模型要進(jìn)行現(xiàn)實(shí)分析與檢驗(yàn)，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，即“應(yīng)用模型”，讓學(xué)生對(duì)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步遷移應(yīng)用與檢驗(yàn).

如圖1所示，基于以模型為基礎(chǔ)的教學(xué)流程以及問(wèn)題鏈的教學(xué)模式，在開(kāi)展指向模型觀念的教學(xué)時(shí)有以下流程.首先，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，通過(guò)分析知識(shí)點(diǎn)，分析得到具有整體結(jié)構(gòu)、問(wèn)題關(guān)聯(lián)的問(wèn)題鏈，從而形成問(wèn)題的模型結(jié)構(gòu).其次，教師對(duì)模型內(nèi)容進(jìn)行深入分析，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)逐步的問(wèn)題引導(dǎo)、問(wèn)題分析，幫助學(xué)生自主構(gòu)建、總結(jié)形成模型.最后，形成了基礎(chǔ)模型后，教師還需對(duì)模型進(jìn)行遷移應(yīng)用，以及檢驗(yàn)，必要時(shí)還可以對(duì)模型的應(yīng)用范圍進(jìn)行擴(kuò)充，以讓學(xué)生感受到構(gòu)建模型的意義與價(jià)值.

2.2 指向模型觀念的“解二元一次方程組”的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

在課標(biāo)“方程與方程組”的學(xué)習(xí)要求中，主要包括一次方程和二次方程兩類(lèi).一次方程包括了一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組（選學(xué)），二次方程主要為一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，在此主要探討的是一次方程的鏈條.在二元一次方程組的解法學(xué)習(xí)中，離不開(kāi)一元一次方程的基礎(chǔ)［5］，也更加需要三元（多元）一次方程組的拓展.可以將上述課標(biāo)所提及的內(nèi)容劃分為3個(gè)水平（見(jiàn)表1），水平0則是在開(kāi)始學(xué)習(xí)二元一次方程組前已經(jīng)具備的知識(shí)基礎(chǔ).

在具體內(nèi)容的教材設(shè)置上，人教版與華師大版在教材內(nèi)容的設(shè)置上較為相似，都形成了“概念—解法—應(yīng)用”的教學(xué)模式.北師大版在一元一次方程、二元一次方程組的應(yīng)用中列舉了具體的典型題型，且在二元一次方程組的學(xué)習(xí)中，加入了二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系，建構(gòu)起二元一次方程組的解的幾何意義，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的思想與操作.

無(wú)論是課標(biāo)還是各版本教材，都關(guān)注了二元一次方程組學(xué)習(xí)的銜接性，強(qiáng)調(diào)問(wèn)題的遞進(jìn)與方程模型的應(yīng)用，這也為開(kāi)展“解二元一次方程組”教學(xué)提供了參考.

2.2.1 “二元一次方程組”的模型構(gòu)建分析

方程是數(shù)學(xué)的重要模型和研究對(duì)象，蘊(yùn)含著眾多數(shù)學(xué)思想與方法，“解方程”的學(xué)習(xí)能有效促進(jìn)學(xué)生模型觀念、運(yùn)算能力的進(jìn)階，但目前教學(xué)中對(duì)于一次方程的解法學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)上較為分散，知識(shí)間缺少聯(lián)系與整合.學(xué)習(xí)解二元一次方程組，不僅能有效鞏固一元一次方程的解法，還能鏈接三元（多元）一次方程.對(duì)于多元一次方程組，人教版《教師教學(xué)用書(shū)》還提供了“用行列式和矩陣解一次方程組舉例”的資料，具體分析了一次方程中的高等數(shù)學(xué)解法.究其本質(zhì)，就是一元一次方程解法的模型化.因此，在教學(xué)中強(qiáng)化“解二元一次方程組”的模型構(gòu)建尤為重要.

2.2.2 “二元一次方程組”的問(wèn)題鏈分析

問(wèn)題鏈通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)串聯(lián)知識(shí)，能夠有效整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對(duì)于一次方程的解法問(wèn)題理解更為深入，從而發(fā)展學(xué)生的模型觀念，同時(shí)進(jìn)一步發(fā)展其運(yùn)算能力、推理能力等核心素養(yǎng).

在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)關(guān)注課標(biāo)、教科書(shū)等內(nèi)容的整體分布.雖然課標(biāo)中沒(méi)有具體說(shuō)明解二元一次方程組所使用的消元法，但在教材與具體教學(xué)中，主要包括代入消元法與加減消元法，強(qiáng)調(diào)解二元一次方程組的本質(zhì)就是消元.但在面對(duì)不同類(lèi)型的題目時(shí)，如何選擇合理的消元方法進(jìn)行求解，需要關(guān)注二元一次方程組中未知數(shù)系數(shù)的復(fù)雜程度以及相互關(guān)系.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是，二元一次方程組不同難度的形成來(lái)源于其系數(shù)的復(fù)雜性，對(duì)不同情況的系數(shù)進(jìn)行分析，形成問(wèn)題鏈，也就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程.

2.3 指向模型觀念的“解二元一次方程組”教學(xué)再設(shè)計(jì)

基于上述分析，結(jié)合問(wèn)題鏈的教學(xué)模式，對(duì)指向模型觀念進(jìn)行“解二元一次方程組”教學(xué)再設(shè)計(jì).具體設(shè)計(jì)流程如下.

2.3.1 教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：

①掌握解二元一次方程組的方法，會(huì)根據(jù)題目類(lèi)型合理選擇代入消元法與加減消元法進(jìn)行求解；

②經(jīng)歷二元一次方程組求解的進(jìn)階過(guò)程，掌握消元、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；

③經(jīng)過(guò)算法模型的建立，進(jìn)一步發(fā)展模型觀念、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：解二元一次方程組的方法、消元的思想.

教學(xué)難點(diǎn)：解二元一次方程組的解法模型.

2.3.2 教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一：?jiǎn)栴}提出，形成初步概念.

問(wèn)題鏈的教學(xué)模式要密切關(guān)注主干問(wèn)題，對(duì)于問(wèn)題的引入也尤為重要.學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解的概念后，對(duì)求解二元一次方程組產(chǎn)生了強(qiáng)烈的興趣和求知欲.因此，如何引導(dǎo)學(xué)生將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為其熟悉的一元一次方程成為教學(xué)中的一大重難點(diǎn).鑒于此，本文設(shè)計(jì)了如下基于問(wèn)題鏈的解二元一次方程組的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，由簡(jiǎn)入深，層層遞進(jìn).

針對(duì)教學(xué)的整體目標(biāo)，可以確定問(wèn)題鏈的主干問(wèn)題，即達(dá)成最終的教學(xué)目標(biāo).將主干問(wèn)題設(shè)置為二元一次方程組的解法.

師：在上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二元一次方程組及其解的概念，但如何對(duì)二元一次方程組進(jìn)行求解呢？能否將一個(gè)二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程進(jìn)行求解呢？

環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}進(jìn)階，知識(shí)鏈?zhǔn)桨l(fā)展.

按照學(xué)生的認(rèn)知水平以及知識(shí)的發(fā)展順序，解二元一次方程組的方法是不斷進(jìn)階的，并且可以由問(wèn)題鏈進(jìn)行串聯(lián)的，每個(gè)問(wèn)題都是由前一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行改變和發(fā)展而來(lái)的，由此可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)前一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入思考，

對(duì)新知識(shí)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，從而加深了學(xué)生的理解.

師：同學(xué)們，你能解下面這個(gè)二元一次方程組嗎？

x＋y=10，

2x＋y=16.

解法構(gòu)建：當(dāng)二元一次方程組中未知數(shù)系數(shù)絕對(duì)值為1時(shí)，在已知方程組的兩個(gè)方程中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠?，將它的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，再將此代數(shù)式代入到另一個(gè)方程，即可轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.

分析：本問(wèn)題是人教版

《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)》

中在“二元一次方程組的概念”數(shù)學(xué)中列出的方程，是一個(gè)典型的代入消元法求解的過(guò)程，也是引入“消元”思想的重要過(guò)程.在此直接引用此問(wèn)題，也是對(duì)前一課時(shí)構(gòu)建的情境進(jìn)行探討，強(qiáng)化課時(shí)之間的銜接.

師：同學(xué)們，剛才我們很順利地用一個(gè)未知數(shù)表示出了另一個(gè)未知數(shù)，且表示的結(jié)果很簡(jiǎn)單，那么我們來(lái)嘗試用剛才的方法計(jì)算下面的二元一次方程組.

3x＋2y=10，

5x＋2y=16.

師：當(dāng)方程組中未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值都不為1時(shí)，用某個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，在計(jì)算時(shí)較為復(fù)雜.那么我們能否用其他方法達(dá)到消元的目的呢？請(qǐng)觀察這兩個(gè)二元一次方程組，它們有什么特點(diǎn)？可以用什么方式來(lái)消元呢？

3x＋2y=10，

5x＋2y=16和3x-2y=10，

5x＋2y=16.

解法構(gòu)建：當(dāng)其中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時(shí)，可以把方程的兩邊分別相加（系數(shù)互為相反數(shù)）或相減（系數(shù)相等）來(lái)消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得二元一次方程組的解.

分析：通過(guò)讓學(xué)生鞏固上一方法，發(fā)現(xiàn)解法較為復(fù)雜，引出要探索新方法的學(xué)習(xí)興趣，再通過(guò)一組相似的方程組，讓學(xué)生可以進(jìn)行對(duì)比觀察與學(xué)習(xí)，從而發(fā)現(xiàn)加減消元法的原理，幫助他們形成系數(shù)相同則相減、系數(shù)互為相反數(shù)則相加的模型觀念.

師：那么，如果沒(méi)有同一未知數(shù)的系數(shù)相同，或互為相反數(shù)呢？還能采用剛才的方法嗎？嘗試用加減消元法解下列方程組.

3x＋2y=10，

5x＋3y=16.

解法構(gòu)建：進(jìn)一步，當(dāng)同一未知數(shù)的系數(shù)不相等，也不互為相反數(shù)時(shí)，需要利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變化和構(gòu)建，即將某一未知數(shù)的系數(shù)變化為兩個(gè)原系數(shù)的最小公倍數(shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為子問(wèn)題，便可以順利解決.

分析：本問(wèn)題是對(duì)加減消元法的進(jìn)一步深入探索，得到一般方程組的解法，由此學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，在復(fù)雜方程組的問(wèn)題解決中大多以采用加減消元法的方式進(jìn)行.

師：如果遇到如下更為復(fù)雜的問(wèn)題，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)含有分?jǐn)?shù)時(shí)，該如何解決呢？

13x＋12y=10，

15x＋13y=16.

解法構(gòu)建：面對(duì)含分母、括號(hào)的問(wèn)題時(shí)，需要將方程組進(jìn)行化簡(jiǎn)，將未知數(shù)系數(shù)變?yōu)檎麛?shù)后，即可

進(jìn)行求解.

分析：對(duì)于更為復(fù)雜的二元一次方程組，則需要先進(jìn)行分別化簡(jiǎn)，再進(jìn)行消元.在知識(shí)結(jié)構(gòu)分析中發(fā)現(xiàn)，按照課標(biāo)要求，學(xué)生應(yīng)達(dá)到本課時(shí)內(nèi)容的前置水平0，即能解一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程.因此，學(xué)生雖已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)方程的化簡(jiǎn)方法，但學(xué)生面對(duì)此內(nèi)容與新知識(shí)相結(jié)合時(shí)，還未形成化簡(jiǎn)的意識(shí)與認(rèn)知.因此，教師在教學(xué)時(shí)要完善學(xué)生的知識(shí)框架.

3 總結(jié)

3.1 重整知識(shí)體系，突破課時(shí)限制

基于問(wèn)題鏈的教學(xué)往往是對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，在課時(shí)內(nèi)形成邏輯結(jié)構(gòu)，但鮮有融入課外知識(shí)的整合.這樣的整合又與單元教學(xué)有所區(qū)別，單元教學(xué)只針對(duì)了單元中有知識(shí)關(guān)聯(lián)的問(wèn)題.因此，可以認(rèn)為問(wèn)題鏈的教學(xué)，也應(yīng)該突破課時(shí)限制.本節(jié)課的二元一次方程組的代入消元、加減消元法在各版本教材中都分為兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué).但事實(shí)上，在解二元一次方程組的過(guò)程中，代入消元法較為復(fù)雜，加減消元法使用更為普遍.教師在教學(xué)時(shí)將二者結(jié)合，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)兩種方法的理解，也可以讓知識(shí)串聯(lián)更加緊密.

3.2 強(qiáng)化知識(shí)鏈條，突出問(wèn)題共同點(diǎn)

問(wèn)題鏈關(guān)注知識(shí)的串聯(lián)，在此設(shè)計(jì)過(guò)程中教師需要關(guān)注對(duì)前置問(wèn)題的追問(wèn)，不斷對(duì)前一問(wèn)題進(jìn)行變式，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考，在每一個(gè)子問(wèn)題的設(shè)置中，只對(duì)上一問(wèn)題的方程組進(jìn)行了略微變形，引導(dǎo)學(xué)生思考上一問(wèn)題的方法是否仍然適用，面對(duì)這一變形應(yīng)如何處理，是否應(yīng)該形成新的方法.［9］同時(shí)，對(duì)問(wèn)題的新的變形，也是在將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前一問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生能夠關(guān)注到問(wèn)題中“變”與“不變”.“變”就是知識(shí)鏈條的發(fā)展，“不變”就是模型本質(zhì)的體現(xiàn).

3.3 關(guān)注總結(jié)步驟，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

課堂最后，教師幫助學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象，總結(jié)出每個(gè)類(lèi)型的問(wèn)題的特點(diǎn)，即面對(duì)二元一次方程組不同類(lèi)型的字母系數(shù)，應(yīng)采用何種方法去解決.學(xué)生通過(guò)構(gòu)建模型，能夠進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)模型的意義，發(fā)展模型觀念，并遷移到學(xué)習(xí)其他知識(shí)的過(guò)程之中，形成總結(jié)歸納、構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

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