拓展高中數(shù)學(xué)解題思維的有效策略研究

摘 要：拓展解題思維作為指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要組成部分，順應(yīng)了課標(biāo)要求，是培養(yǎng)學(xué)生解題能力、促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的關(guān)鍵舉措.基于此，本文從實(shí)際出發(fā)，首先闡述了拓展高中數(shù)學(xué)解題思維的重要性，進(jìn)而分析了學(xué)生解題中容易出現(xiàn)的問(wèn)題，最后針對(duì)性地提出拓展高中數(shù)學(xué)解題思維的有效策略.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題思維；解題能力

解題能力是學(xué)生高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要具備的基本能力，對(duì)于學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯也有著極為關(guān)鍵的作用.但是從實(shí)際教學(xué)情況來(lái)看，部分學(xué)生存在題目理解易錯(cuò)、解題思維狹隘、解題方法單一等問(wèn)題，導(dǎo)致在解題過(guò)程中缺乏有效的方法指導(dǎo)，難以提升自身的解題能力.因此，教師需要通過(guò)多樣的解題方法教學(xué)，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路，幫助學(xué)生養(yǎng)成正確的解題習(xí)慣，進(jìn)而達(dá)到提升解題能力的最終目的.這對(duì)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力發(fā)展也有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1 拓展高中數(shù)學(xué)解題思維的重要性

首先，拓展解題思維能夠顯著提高學(xué)生的解題能力.解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必須具備的基本能力，但是因?yàn)椴糠謱W(xué)生在長(zhǎng)期的習(xí)題練習(xí)與解題過(guò)程中養(yǎng)成了一定的解題習(xí)慣，形成了定勢(shì)思維，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中不能用靈活的思維看待問(wèn)題，不利于解題能力的提升.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）中明確提出：“要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的指導(dǎo).”［1］在解題教學(xué)過(guò)程中，教師可以利用多樣的教學(xué)方法拓展學(xué)生解題思維.首先，能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用能力，有利于提高學(xué)生的解題能力.其次，拓展數(shù)學(xué)解題思維，對(duì)于提高學(xué)生綜合素質(zhì)也有著一定幫助.教師可以對(duì)多種題型進(jìn)行針對(duì)性講解，按照題目要求、題目涉及知識(shí)點(diǎn)等方面進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生能夠總結(jié)出不同題型具備的異同點(diǎn)，有助于提升學(xué)生的解題思維創(chuàng)新能力與思維拓展能力，有利于學(xué)生綜合素質(zhì)的提高.最后，拓展數(shù)學(xué)解題思維能夠促進(jìn)學(xué)生提升獨(dú)立思考的能力，形成系統(tǒng)化、全面化的解題思維方式.教師可以按照由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的基本范式循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，在充分的練習(xí)下幫助學(xué)生構(gòu)建出完整的解題思維體系.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生能夠獨(dú)立思考問(wèn)題內(nèi)容與問(wèn)題要素，對(duì)于培養(yǎng)其獨(dú)立思考能力有著重要作用.

2 學(xué)生解題中容易出現(xiàn)的問(wèn)題分析

2.1 題目理解易錯(cuò)

高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程相較于初中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)涉及的知識(shí)點(diǎn)更多、數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件關(guān)系更復(fù)雜.在這種背景下，許多學(xué)生在解題過(guò)程中都會(huì)不同程度地出現(xiàn)審題不嚴(yán)格、問(wèn)題條件把握不準(zhǔn)確、題目閱讀習(xí)慣不好、題目條件理解能力差等問(wèn)題，導(dǎo)致后續(xù)的解題步驟出現(xiàn)錯(cuò)誤.此外，部分學(xué)生在題目理解時(shí)往往會(huì)忽略題目中的隱藏條件，無(wú)法深入理解題目?jī)?nèi)容，導(dǎo)致解題出錯(cuò).因此，教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中需要幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，使他們能夠在充分把握題目給出條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題，提高解題正確率.

2.2 解題思維狹隘

許多學(xué)生在對(duì)同類型題目進(jìn)行解答時(shí)，往往受限于定勢(shì)思維，認(rèn)為對(duì)這類題目只能用某種方法解答，如果使用這種方法卻出現(xiàn)了解題偏差，學(xué)生通常會(huì)變得急躁.產(chǎn)生這種問(wèn)題的主要原因在于學(xué)生受限于定勢(shì)思維，解題思維過(guò)于狹隘，難以利用變式訓(xùn)練進(jìn)行“舉一反三”.例如，在進(jìn)行函數(shù)題目的解題時(shí)，許多學(xué)生會(huì)忽視原函數(shù)與反函數(shù)之間的單調(diào)性和奇偶性關(guān)系，在解題過(guò)程中“按部就班”地用極為繁瑣的流程解答問(wèn)題.在這種繁瑣的解題過(guò)程中，學(xué)生在某項(xiàng)環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤就會(huì)導(dǎo)致后續(xù)環(huán)節(jié)的崩盤，不利于學(xué)生解題能力的提升.［2］

2.3 解題方法單一

課標(biāo)要求數(shù)學(xué)教學(xué)能夠?qū)⑴囵B(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)作為教學(xué)目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)能夠從“知識(shí)本位”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八仞B(yǎng)本位”.因此，教師在開(kāi)展解題訓(xùn)練的過(guò)程中，不僅要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效講解，幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)鞏固，還需要鍛煉學(xué)生的解題思維，加強(qiáng)解題能力的提升.但是從實(shí)際情況來(lái)說(shuō)，許多學(xué)生過(guò)于依賴某種解題方法，只會(huì)使用這種解題方法解決特定問(wèn)題，解題效率較低，解題質(zhì)量不高.出現(xiàn)這種問(wèn)題的原因主要在于學(xué)生不具備反思能力，無(wú)法對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行回顧和反思，在遇到同樣問(wèn)題時(shí)仍只會(huì)使用單一的解題方法，無(wú)法提高自身的解題能力.

3 拓展高中數(shù)學(xué)解題思維的有效策略

3.1 加強(qiáng)閱讀教學(xué)，強(qiáng)化題目理解

為了解決學(xué)生題目理解不到位、忽略題目隱含條件等問(wèn)題，教師可以利用閱讀教學(xué)方法加強(qiáng)學(xué)生對(duì)題目的理解.在開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)充分圍繞題目?jī)?nèi)容強(qiáng)化閱讀訓(xùn)練，幫助學(xué)生挖掘題目的隱藏條件，使學(xué)生養(yǎng)成良好閱讀題目的習(xí)慣.通過(guò)習(xí)慣的養(yǎng)成潛移默化地提高學(xué)生理解能力與邏輯分析能力.在這種情況下，學(xué)生能夠就題目給出的條件和隱藏條件進(jìn)行題目的多次梳理，拓寬解題思路，進(jìn)而強(qiáng)化題目理解，幫助學(xué)生提高解題正確率.通過(guò)閱讀教學(xué)的有效開(kāi)展，強(qiáng)化學(xué)生題目的理解，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ).

例1 求函數(shù)y=1-log3x的定義域.［3］

在解決該問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)首先帶領(lǐng)學(xué)生理解題意，分析題目給出的已有條件.部分學(xué)生在梳理題目條件時(shí)可能會(huì)忽略題目中函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）這一條件.因此，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行二次分析，幫助學(xué)生掌握題目的隱藏條件，在充分梳理已有條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行答題.考慮到復(fù)合函數(shù)u=log3x的定義域?yàn)閤＞0，而函數(shù)y=1-u的定義域?yàn)閡≤1，因此可得到

log3x≤1，

x＞0.

因此，可得到函數(shù)y=1-log3x的定義域?yàn)椋?，3］.在對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，學(xué)生往往會(huì)忽視題目中的隱藏條件，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.因此，教師可以多次強(qiáng)調(diào)閱讀題目期間需要注意的問(wèn)題，要求學(xué)生能夠在多次訓(xùn)練中強(qiáng)化題目理解，在充分保障答案準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上完成題目.在對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行解答后，教師可為學(xué)生展示如下習(xí)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的二次鞏固.

例2 已知函數(shù)f（x）=x2＋2x（-2≤x≤1且x∈Z），則f（x）的值域?yàn)椋? ）.

A. ［0，3］

B. ｛-1，0，3｝

C. ｛0，1，3｝

D. ［-1，3］

這一問(wèn)題的解題重點(diǎn)在于考查學(xué)生能否在解題過(guò)程中充分掌握x∈Z這一條件，并對(duì)題目給出的所有條件進(jìn)行充分考慮后進(jìn)行解題.總而言之，教師可利用閱讀教學(xué)方法強(qiáng)化學(xué)生的審題習(xí)慣，加強(qiáng)學(xué)生的題目理解，并幫助學(xué)生有意識(shí)地消除自身審題馬虎、忽略隱藏條件的問(wèn)題，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣進(jìn)而提升自身的審題能力與解題能力.

3.2 促進(jìn)變式訓(xùn)練，拓展解題思維

拓寬學(xué)生解題思維的關(guān)鍵點(diǎn)在于幫助學(xué)生突破定勢(shì)思維，加強(qiáng)對(duì)題目的獨(dú)立思考.為了達(dá)到上述目的，教師可以利用定時(shí)訓(xùn)練的方法，幫助學(xué)生強(qiáng)化題目理解形成多元解題思維，在遇到相似題目或拓展習(xí)題時(shí)能在舉一反三中拓展思維.出于上述目的，可以為學(xué)生展示如下題目.

例3 求函數(shù)y=1-log3x的定義域.

例4 求函數(shù)y=log12（x2-3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間.

例5 若2lg（x-2y）=lgx＋lgy，則yx的值為多少？

對(duì)上述三道習(xí)題進(jìn)行分析后可以發(fā)現(xiàn)，在例3的解題過(guò)程中，學(xué)生只需要對(duì)復(fù)合函數(shù)定義域這一條件進(jìn)行充分掌握后，就能通過(guò)雙面夾擊法得出答案.為了拓展學(xué)生解題思維，強(qiáng)化學(xué)生舉一反三的能力，根據(jù)例3進(jìn)行變式得到了例4.在例4中，學(xué)生不僅需要掌握函數(shù)定義域條件，還需要考慮定義域下函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.在這種變式訓(xùn)練中，學(xué)生能夠同時(shí)把握函數(shù)定義域和單調(diào)區(qū)間，實(shí)現(xiàn)對(duì)例3的再次拓展.［4］例5則與例3類似，但是在解題過(guò)程中，學(xué)生也需要充分考慮x-2y＞0這一隱藏條件.

3.3 講述解題思想，創(chuàng)新解題方法

部分學(xué)生在解題過(guò)程中，在面對(duì)大量解題條件時(shí)往往會(huì)無(wú)從下手，解題思路混亂，解題效率不高，解題準(zhǔn)確率較低.出現(xiàn)這些問(wèn)題的主要原因在于學(xué)生沒(méi)有掌握多樣的、有效的解題方法，導(dǎo)致解題思路過(guò)于局限，不利于后續(xù)解題能力的提升.因此，教師應(yīng)幫助學(xué)生掌握更多的解題方法，拓寬解題思路，使學(xué)生能夠在面臨不同題目時(shí)迅速掌握相關(guān)的解題方法，加強(qiáng)解題效率與解題正確率.

例6 已知sinx＋siny=13，求siny-cos2x的最大值.

在對(duì)該類型的題目進(jìn)行分析時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從整體角度看問(wèn)題，將某個(gè)式子或函數(shù)寫作一個(gè)整體并利用換元法進(jìn)行替代，實(shí)現(xiàn)題目條件的化繁為簡(jiǎn).例如，令t=sinx-23≤t≤1可以將復(fù)合函數(shù)變?yōu)橐詔為自變量的函數(shù).通過(guò)這種變化，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，也能幫助學(xué)生掌握換元法.在遇到相似題目時(shí)，學(xué)生能夠利用這一解題方法求解，大大提高了解題效率.

例7 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)52，-32，求適合上述條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.［5］

在對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將題目給出的坐標(biāo)條件與標(biāo)準(zhǔn)方程的適配條件相聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)二者的充分對(duì)接.因?yàn)樵擃}目的坐標(biāo)條件與標(biāo)準(zhǔn)方程相適配，所以可直接使用待定系數(shù)法代入方程即可求解，解題錯(cuò)誤率顯著降低.

解題方法是幫助學(xué)生拓展解題思維的一種有效方法，能夠顯著提高學(xué)生的解題效率和解題正確率.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題向?qū)W生傳授有效的解題方法，為學(xué)生提供更多樣的解題思路，為提升學(xué)生的解題能力夯實(shí)基礎(chǔ).

4 結(jié)語(yǔ)

解題能力是學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要具備的基礎(chǔ)能力，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的必備能力.部分學(xué)生受制于定勢(shì)思維，解題思維局限性較強(qiáng)，在理解題目、問(wèn)題求解的過(guò)程中缺乏有效的解題思維支撐，不利于學(xué)生解題能力的全面發(fā)展.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)閱讀教學(xué)，強(qiáng)化題目理解，促進(jìn)變式訓(xùn)練，創(chuàng)新解題方法，多角度、多維度拓展學(xué)生解題思維，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定能力基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

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