核心素養(yǎng)下初中生代數(shù)推理能力培育的實(shí)踐與思考

摘 要：數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，培育推理能力是學(xué)生核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，代數(shù)推理能力是對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探索，支撐著所有的數(shù)學(xué)思維.本文基于對(duì)現(xiàn)階段學(xué)生代數(shù)推理能力薄弱原因的分析，結(jié)合日常數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)代數(shù)推理能力的培育提出了基本策略，從算術(shù)到代數(shù)，豐盈符號(hào)意識(shí)；從已知到未知，強(qiáng)調(diào)步步有據(jù)；從任務(wù)到解決，驅(qū)動(dòng)代數(shù)推理；從想象到直觀，融合信息技術(shù).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)符號(hào)；代數(shù)推理

1 代數(shù)推理能力培育的現(xiàn)狀

1.1 教師的教學(xué)意識(shí)不強(qiáng)

教師平時(shí)教學(xué)中重心放在幾何證明層面，忽略代數(shù)層面對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，然而代數(shù)的運(yùn)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“眼睛和耳朵”，代數(shù)特有的結(jié)構(gòu)內(nèi)容能及時(shí)有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)意識(shí).

1.2 學(xué)生懂而不會(huì)

學(xué)生上課能聽懂，在自己做題時(shí)卻舉步維艱，造成一種“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，“懂”與“掌握”存在一定的差距.“懂”只是聽懂了教師上課所講的內(nèi)容，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)僅僅留在表層；“掌握”則需理解問題的本質(zhì)，理解代數(shù)符號(hào)的內(nèi)涵.在“懂”與“掌握”之間，需要經(jīng)歷三個(gè)階段，套用公式、變式應(yīng)用和靈活運(yùn)用.實(shí)現(xiàn)“低階思維”到“高階思維”的轉(zhuǎn)變.

2 代數(shù)推理能力培育的策略

2.1 從算術(shù)到代數(shù)，豐盈符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)是指在識(shí)別特殊情況下代數(shù)式共同結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，將不同的數(shù)值用符號(hào)表示，從而體現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律.這是一種感性上升到理性的結(jié)構(gòu)化思維，豐盈符號(hào)意識(shí)

是代數(shù)推理能力的基礎(chǔ).

2.1.1 符號(hào)的起點(diǎn)——數(shù)與式

數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)是從“用字母表示數(shù)”開始，是學(xué)生從具體到抽象的過程，在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，不僅僅是字母代替數(shù)，而是認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的變化.“具體數(shù)據(jù)—符號(hào)表示—符號(hào)意識(shí)”是逐步符號(hào)化、結(jié)構(gòu)化的過程，教師應(yīng)在教學(xué)中注重引領(lǐng)，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的意義，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的作用，開始感受符號(hào)意識(shí).

例1 找規(guī)律.

1×3＋1＝4＝22

2×4＋1＝9＝32

3×5＋1＝16＝42

4×6＋1＝25＝52

……

請(qǐng)你把找出的規(guī)律用公式表示出來.

本題從數(shù)到式，把等式的規(guī)律用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的意義與作用.

在“數(shù)與式”方面，學(xué)生可以在邏輯論證的過程中，逐步形成推理能力.其中用數(shù)學(xué)符號(hào)表示規(guī)律能進(jìn)一步理解符號(hào)意識(shí)，養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)符號(hào)推理數(shù)學(xué)實(shí)際問題的習(xí)慣.

2.1.2 符號(hào)的直觀——方程與不等式

方程（不等式）是實(shí)現(xiàn)算術(shù)解法到代數(shù)解法符號(hào)運(yùn)用的直觀體現(xiàn)，它是從一個(gè)大量練習(xí)到經(jīng)歷結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的質(zhì)變過程.其中，列方程（不等式）解決數(shù)學(xué)問題主要方法是先依據(jù)題中的條件與結(jié)論（已知與未知）之間的等量數(shù)量（不等量關(guān)系）關(guān)系列出方程（不等式），再通過解方程（不等式）讓未知轉(zhuǎn)向已知，從而解決問題.數(shù)學(xué)符號(hào)的表示，讓方程式（不等式）的解題模型更直觀化，從不同的維度解題，讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)推理的思維.

例2 若關(guān)于x，y的二元一次方程組

3x-my=5，

2x＋ny=6的解是x=1，

y=2，

則關(guān)于a，b的二元一次方程組3（a＋b）-m（a-b）=5，

2（a＋b）＋n（a-b）=6的解是 .

本題利用x，y的二元一次方程組3x-my=5，

2x＋ny=6的解是x=1，

y=2，

從而可以求得m和n，所以代入后可求解關(guān)于a，b的方程組.此外利用整體的思想，我們可以整體觀察并找到兩個(gè)方程組之間的聯(lián)系，從而得到a＋b=1，

a-b=2，此解法更為簡(jiǎn)便.

2.1.3 符號(hào)的內(nèi)化——函數(shù)

培育符號(hào)意識(shí)絕不可能一蹴而就，需要大量練習(xí)，積累豐富資源.所以，在接下來的教學(xué)過程中，教師需要對(duì)代數(shù)知識(shí)整體化、結(jié)構(gòu)化的聯(lián)系進(jìn)行適當(dāng)強(qiáng)化，內(nèi)化學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

例3 如圖1，一次函數(shù)y＝－12x＋7與反比例函數(shù)y＝mx（m≠0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象直接寫出不等式mx＜－12x＋7的解.

（3）若點(diǎn)E為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且S△AEB＝5，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

在“函數(shù)”方面，學(xué)生對(duì)給出的函數(shù)表達(dá)式能畫出函數(shù)草圖，也能根據(jù)函數(shù)圖象推導(dǎo)出所表示的函數(shù)表達(dá)式.如此的代數(shù)推理過程才能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解，內(nèi)化符號(hào)意識(shí).

2.2 從已知到未知，強(qiáng)調(diào)步步有據(jù)

在教學(xué)活動(dòng)中，教師會(huì)以“觀察—?dú)w納—猜想—論證—拓展”的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行問題的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷用代數(shù)意識(shí)探究數(shù)學(xué)規(guī)律，用代數(shù)語(yǔ)言探究數(shù)學(xué)問題，用代數(shù)方法解決生活中的實(shí)際問題的過程，使學(xué)生豐盈符號(hào)意識(shí)、吃透數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)推理得到結(jié)論并拓展應(yīng)用，從而提升符號(hào)意識(shí)，發(fā)展代數(shù)推理能力，形成了步步有據(jù)、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.

2.2.1 從猜想到論證——規(guī)律

面對(duì)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)任務(wù)，教師會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)逐步螺旋上升的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生自主完成任務(wù)，期間經(jīng)歷觀察、歸納、猜想與論證的全過程，切實(shí)感受步步有據(jù)的代數(shù)推理.

例4 （1）觀察下列各式并完成填空.

13＋23＝1＋8＝9＝（1＋2）2

13＋23＋33＝36＝（1＋2＋3）2

13＋23＋33＋43＝100＝（1＋2＋3＋4）2

∴13＋23＋33＋43＋53＝225＝（"""" ）2.

（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律填空.

13＋23＋33＋…＋n3＝n2（n＋1）24＝（" ）2.

從猜想到論證，是個(gè)別到一般的過程，是學(xué)習(xí)的指引者.所以，我們需要引導(dǎo)學(xué)生合理猜想，從“合理猜想”到“推理論證”，去發(fā)現(xiàn)新的學(xué)習(xí)指向.

2.2.2 從事實(shí)到理?yè)?jù)——法則

一個(gè)生活中的距離問題抽象成數(shù)學(xué)知識(shí)，當(dāng)大家都認(rèn)同它是一個(gè)事實(shí)，于是我們將它通過推理后成為一個(gè)法則，成為我們進(jìn)一步研究的依據(jù).

例5 在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示a，b.請(qǐng)利用有理數(shù)減法，分別計(jì)算下列情況下點(diǎn)A，B之間的距離.

a=3，b=7；a=0，b=7.

a=3，b=-7；a=-3，b=-7.

你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，B之間的距離與數(shù)a，b之間的關(guān)系嗎？

本題是學(xué)習(xí)數(shù)軸過程中經(jīng)常碰到的實(shí)際問題，我們通過數(shù)軸這一工具的運(yùn)用，結(jié)合有理數(shù)減法，確定兩點(diǎn)之間的距離與數(shù)之間的關(guān)系，形成兩點(diǎn)之間距離的法則.

2.3 從任務(wù)到解決，驅(qū)動(dòng)代數(shù)推理

解決任務(wù)是學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)，有了明確的方向，才有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力.在學(xué)習(xí)代數(shù)時(shí)，我們常常運(yùn)用代數(shù)推理來解決每一單元每一課時(shí)的核心任務(wù)，同時(shí)也使我們的推理能力有更進(jìn)一步的提升.

2.3.1 真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)代數(shù)推理

日常生活中的真實(shí)情境能給學(xué)生提供真正鍛煉的機(jī)會(huì)，能讓學(xué)生更有興致投入解決實(shí)際問題中，利用代數(shù)推理使問題得到有效解決.

例6 杭州亞運(yùn)會(huì)某紀(jì)念品很受游客喜愛，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)30元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于34元，且不高于42元.某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為34元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè).現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為y個(gè)，銷售單價(jià)為x元.

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍.

（2）將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元最大？最大利潤(rùn)是多少元？

（3）該商戶從每天的利潤(rùn)中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于2200元，求銷售單價(jià)x的范圍.

此題是對(duì)代數(shù)推理的應(yīng)用和鞏固，仍然沿著“真實(shí)情境—數(shù)學(xué)模型—實(shí)踐應(yīng)用”這條主線，讓學(xué)生用代數(shù)推理解決生活中的問題，體會(huì)代數(shù)推理應(yīng)用的廣泛性.推理過程綜合性較強(qiáng)，留給學(xué)生充足的時(shí)間思考、交流，并學(xué)會(huì)求代數(shù)式最值的有效方法.

2.3.2 開放活動(dòng)驅(qū)動(dòng)代數(shù)推理

利用開放活動(dòng)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、歸納、推理出數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、交流和展示，培育代數(shù)推理能力.

例7 已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），你能求出它的函數(shù)表達(dá)式嗎？若不能，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)點(diǎn)，并求出這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式.

從一次函數(shù)的概念出發(fā)，通過已知一點(diǎn)發(fā)現(xiàn)無法確定一次函數(shù)表達(dá)式，理解需要兩個(gè)點(diǎn)（或兩對(duì)對(duì)應(yīng)值），才能通過待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式.學(xué)生從開放活動(dòng)尋找所有有效信息，自主回顧一次函數(shù)表達(dá)式的推理過程.

2.3.3 多維例題驅(qū)動(dòng)代數(shù)推理

從多維問題入手，通過學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手操作，為學(xué)生一步一步鋪設(shè)臺(tái)階，讓學(xué)生拾

級(jí)而上，將方程和函數(shù)的融合問題用代數(shù)推理來解決.代數(shù)推理側(cè)重?cái)?shù)與代數(shù)式或代數(shù)式與

圖形關(guān)系的變形、聯(lián)系，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力、推理能力要求較高.

例8 （1）請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫二次函數(shù)y=x2＋x-1 的函數(shù)圖象.

（2）求一元二次方程x2＋x-1=0 的解（近似解）.

（3）二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)與一元二次方程的解之間存在著怎樣的關(guān)系？

本題利用二次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的直觀體現(xiàn)與一元二次方程解的關(guān)聯(lián)，從而得到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為一元二次方程的解.

3 實(shí)踐反思

3.1 教學(xué)中展現(xiàn)代數(shù)推理

推理能力是從已知到未知的過程，是每個(gè)學(xué)生都需要具備的素質(zhì)，也是提高學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的關(guān)鍵.“數(shù)與代數(shù)”中的運(yùn)算本身就是一種演繹推理，運(yùn)算的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，在教學(xué)中，運(yùn)算法則的教學(xué)是加強(qiáng)代數(shù)推理的重要途徑.發(fā)展代數(shù)推理，提高理性思維，是教師在教學(xué)實(shí)踐中需要思考的一個(gè)話題.

3.2 解題中促進(jìn)代數(shù)推理

在“數(shù)與代數(shù)”中，教師以“用字母表示數(shù)”到有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域引入整式，通過代數(shù)式的數(shù)量關(guān)系引入方程（不等式），以及變量之間的邏輯關(guān)系形成的函數(shù).此域中的解題要依據(jù)一定的規(guī)則、公式、法則、規(guī)律等，解題過程中處處有推理，現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系往往有其自身的規(guī)律.

參考文獻(xiàn)

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