基于“深度學(xué)習(xí)”的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略

摘 要：復(fù)習(xí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的階段，通過對所學(xué)知識進(jìn)行進(jìn)一步的理解鞏固，學(xué)生能夠更好地應(yīng)對高考，通過使用有效的復(fù)習(xí)策略，學(xué)生能夠讓復(fù)習(xí)的效果事半功倍.本文以“直線與方程”的復(fù)習(xí)為例對“深度學(xué)習(xí)”的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略進(jìn)行研究.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；

直線與方程；復(fù)習(xí)策略

“直線與方程”是人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》中解析幾何模塊的重要知識點(diǎn)，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中掌握“直線與方程”這部分知識內(nèi)容能夠有效地提升學(xué)生解決解析幾何問題的能力.在高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)的過程中，教師需要正確引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行梳理，提升學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握.這樣可以讓學(xué)生對知識點(diǎn)進(jìn)行融合，使學(xué)生在解題的過程中能夠更好地應(yīng)用相應(yīng)的知識.本文將通過“直線與方程”的相關(guān)試題對“深度學(xué)習(xí)”的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略進(jìn)行說明.

1 完善知識網(wǎng)絡(luò)

高中數(shù)學(xué)中，各個知識點(diǎn)之間是存在著一定的聯(lián)系的，所以在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些知識點(diǎn)之間存在著怎么樣的關(guān)系，從而找到相應(yīng)的邏輯關(guān)系，來實(shí)現(xiàn)對相應(yīng)知識點(diǎn)的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立一個系統(tǒng)完善的知識體系.這樣能夠讓學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.

例1 （2022年·新高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)第14題）寫出與圓x2＋y2=1和（x-3）2＋（y-4）2=16都相切的一條直線的方程""" .

分析：首先需要對兩個圓的位置進(jìn)行確定，根據(jù)兩個圓的方程就能夠?qū)A的圓心和半徑進(jìn)行確定.圓x2＋y2=1的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為1，圓（x-3）2＋（y-4）2=16的圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑為4.通過圖1可以發(fā)現(xiàn)兩個圓的圓心距離是5，正好是兩個圓半徑之和，所以兩個圓是相切的關(guān)系，這樣就可以知道與兩個圓相切的直線一共有三條，分別是m，n，l.

首先，最容易求得的直線方程是n，方程為x=-1.然后是直線l，因?yàn)閗OO1=43，所以可以得到直線l的斜率為kl=-34，這樣就可以設(shè)直線l的方程為y=-34x＋t，然后根據(jù)圓心到直線的距離是圓的半徑就可以得到d=｜t｜1＋916=1，從而就可以得到t=54，這樣就可以得到直線l的方程為y=-34x＋54.最后是直線m，設(shè)直線m的方程為y=kx＋p（k＞0，p＜0），然后根據(jù)直線與兩個圓相切，就能夠得到｜p｜1＋k2=1，｜3k＋4＋p｜1＋k2=4，這樣就可以計算出k=724，p=-2524，所以直線m的方程為y=724x-2524.所以與兩個圓都相切的直線方程為x=-1，y=-34x＋54，y=724x-2524.

回顧：本題需要求與兩個圓相切的直線，所以在進(jìn)行解題的過程中只需要確定兩個圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系就能夠?qū)栴}進(jìn)行求解.判斷直線與圓是否是相切的關(guān)系可以通過兩種簡單的方式來進(jìn)行：一是根據(jù)圓心到直線的距離是否與半徑相等；二是直線與圓的方程解的個數(shù).通過這樣的方式就能進(jìn)行準(zhǔn)確的判定.在進(jìn)行相關(guān)知識復(fù)習(xí)的過程中需要對這兩種方式都進(jìn)行詳細(xì)的掌握.部分學(xué)生在之前相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中只掌握了一種判定的方式，所以教師在進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)的過程中需要將直線與方程的相關(guān)知識點(diǎn)與其他相應(yīng)的知識點(diǎn)進(jìn)行整合，并對知識整合過程進(jìn)行梳理，讓學(xué)生能夠全面地掌握相應(yīng)知識的應(yīng)用，從而來形成一套系統(tǒng)完善的知識網(wǎng)絡(luò).

2 一題多解

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中不僅需要掌握試題的解題方法，還應(yīng)該能夠靈活地應(yīng)用多種方式來實(shí)現(xiàn)試題的求解，通過對試題進(jìn)行不斷地變化來實(shí)現(xiàn)對這類問題的掌握.“直線與方程”這一章節(jié)是解析幾何中非常重要的內(nèi)容，可以說幾乎所有的解析幾何問題都會涉及直線與方程.所以在復(fù)習(xí)的過程中需要結(jié)合試題來對直線與方程在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)的分析，從而找到直線與方程在解析幾何中的應(yīng)用方式.

例2 （2021年全國甲卷理科數(shù)學(xué)第20題）設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x=1，交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，已知點(diǎn)M（2，0），且圓M與直線l相切，

（1）求C與圓M的方程.

（2）設(shè)點(diǎn)A1，A2，A3是C上的三個點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與圓M相切，判斷直線A2A3與圓M的位置關(guān)系，請說明理由.

分析：（1）根據(jù)題意可以直接設(shè)拋物線C的方程為y2=2px，這樣就可以根據(jù)直線x=1來得到P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，這里不妨假設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，所以P（1，2p），Q（1，-2p），因?yàn)镺P⊥OQ，這樣就可以通過勾股定理得到1＋（2p）2＋1＋（2·p）2=（22p）2，從而可以得到p=12，所以拋物線的方程為y2=x.點(diǎn)M（2，0）為圓的圓心坐標(biāo)，并且圓M與直線x=1相切，所以圓M的半徑為1，這樣就可以得到圓M的方程為（x-2）2＋y2=1.

（2）這里需要判定直線A2A3與圓的位置關(guān)系，判定直線與圓的位置關(guān)系最好的方式就是通過比較圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關(guān)系，d＞r說明直線與圓相離；d=r說明直線與圓相切；d＜r說明直線與圓相交.本題中給定了三個點(diǎn)A1，A2，A3，根據(jù)y2=x設(shè)A1（a2，a），A2（b2，b），A3（c2，c），這樣就可以通過點(diǎn)的坐標(biāo)來進(jìn)行直線A1A2，A1A3的方程的表達(dá)，得到直線A1A2的解析式為x-（a＋b）y＋ab=0，直線A1A3的解析式為x-（a＋c）y＋ac=0，從而根據(jù)直線A1A2，A1A3均與圓相切的關(guān)系來得到點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式就能夠得到（a2-1）b2＋2ab-a2＋3=0和（a2-1）c2＋2ac-a2＋3=0.很多同學(xué)求解到這一步就不知道該如何進(jìn)行后續(xù)的解答了，通過對這兩個式子進(jìn)行觀察可以發(fā)現(xiàn)兩個式子唯一的區(qū)別就是b和c，那么在這里可以通過構(gòu)造法來構(gòu)造方程（a2-1）x2＋2ax-a2＋3=0，從而b和c就是這個方程的兩個根.然后根據(jù)韋達(dá)定理就可以得到b＋c=-2aa2-1，bc=-a2＋3a2-1.同時利用上述的計算A1A2，A1A3方程表達(dá)式的方式也能夠得到直線A2A3的方程為x-（c＋b）y＋cb=0，這樣就可以得到圓心M（2，0）到直線A2A3的距離為｜2＋bc｜1＋（b＋c）2，然后將b＋c=-2aa2-1，bc=-a2＋3a2-1代入就能夠計算出點(diǎn)到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系了.最后得到A2A3與圓M相切.

上述的分析主要是從點(diǎn)A1，A2，A3這三個點(diǎn)的坐標(biāo)來入手來進(jìn)行三條直線的方程的構(gòu)建，然后結(jié)合直線與圓相切的關(guān)系來進(jìn)行方程的構(gòu)建，從而通過韋達(dá)定理將b，c的關(guān)系式用a來進(jìn)行表達(dá)，實(shí)現(xiàn)對問題的解決.這是較為常規(guī)的解析幾何解題思路.那么是否存在著其他不同的解題思路呢？是否可以將這三個點(diǎn)進(jìn)行特殊化處理呢？假設(shè)點(diǎn)A1正好位于原點(diǎn)O，這樣就可以直接設(shè)A1（0，0），A2（a2，a），A3（b2，b），從而就可以對直線A1A2，A1A3的方程通過更簡單的方式來進(jìn)行表示.所以直線A1A2的解析式為xa2=ya，即y=1ax，直線A1A3的解析式為y=1bx，從而得到兩條直線到圓心的距離分別是d1=2a1＋1a2=1，d2=2b1＋1b2=1，這樣就可以求解出a2=b2=3，從而就可以得到直線A2A3的方程為x=3，因?yàn)閳AM的圓心M（2，0），半徑為r=1，所以就可以判斷圓M與直線A2A3相切.這樣將一般問題進(jìn)行特殊化的處理方式能夠有效地提升對問題的求解效率.通過對學(xué)生進(jìn)行變式教學(xué)能夠提升學(xué)生對這個試題的整體理解，讓學(xué)生建立一套類似問題的解題思路，在后續(xù)面對這樣的問題的過程中能夠更好地實(shí)現(xiàn)求解.

3 一題多變

通過對上述兩種解題思路的觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)通過點(diǎn)A1，A2，A3所構(gòu)成的三角形即是拋物線C：y2=x的內(nèi)接三角形，又是圓M：（x-2）2＋y2=1的外切三角形.這樣的三角形會存在無數(shù)多個，這樣的情況必然不是巧合.所以是否改變圓M的圓心位置和半徑依然還存在這樣的關(guān)系呢？那么我們這里直接對圓M的半徑進(jìn)行變化，令圓的半徑為2，這樣就可以得到新的圓M1：（x-2）2＋y2=2.從而將原式變化為設(shè)點(diǎn)A1，A2，A3是y2=x上的三個點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與圓M1：（x-2）2＋y2=2相切，判斷直線A2A3與圓M1的位置關(guān)系，請說明理由.

這樣根據(jù)上述特殊計算方式可以知道d1=2a1＋1a2=2，d2=2b1＋1b2=2，從而得到a2=b2=1，這樣直線A2A3的方程為x=1，所以圓M與直線A2A3相交.通過研究可以發(fā)現(xiàn)這樣的關(guān)系不是必然成立的，但是對圓的圓心位置以及半徑進(jìn)行調(diào)整依然能夠得到點(diǎn)A1，A2，A3所構(gòu)成的三角形是拋物線C：y2=x的內(nèi)接三角形，又是圓的外切三角形的情況.這樣的情況就是數(shù)學(xué)中著名的彭賽劣幣和定理中當(dāng)n=3時的情況.所以教師在進(jìn)行復(fù)習(xí)的過程中不僅僅需要對學(xué)生進(jìn)行相關(guān)試題的解題教學(xué)，還需要結(jié)合試題的實(shí)際情況來對試題進(jìn)行變式教學(xué)，從而讓學(xué)生對這類問題的解題思路有一個全面的掌握.

4 結(jié)語

本文通過“直線與方程”章節(jié)對高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的復(fù)習(xí)策略進(jìn)行說明，在復(fù)習(xí)的過程中需要結(jié)合相關(guān)知識內(nèi)容來對學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行完善，使學(xué)生建立一套系統(tǒng)的知識體系.然后通過對試題進(jìn)行一題多解的教學(xué)方式來讓學(xué)生掌握試題解題的邏輯，并通過試題的變式教學(xué)來提升學(xué)生應(yīng)對類似試題的能力，從而讓學(xué)生的復(fù)習(xí)更具成效.

參考文獻(xiàn)

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