新高考函數(shù)題的探索

摘 要：近幾年的數(shù)學(xué)新高考，有許多以初等函數(shù)為背景來(lái)命制的壓軸題.這些題以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，即試題的設(shè)計(jì)來(lái)源于高等數(shù)學(xué)，但解決的方法卻是高中階段所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識(shí)，但高等解法能夠極大地簡(jiǎn)化解題過(guò)程.本文就與函數(shù)的凹凸性有關(guān)的試題進(jìn)行背景分析或探究其初高等解法對(duì)比.

關(guān)鍵詞：新高考數(shù)學(xué)；高觀點(diǎn)；解題思路；函數(shù)題

縱觀近幾年的數(shù)學(xué)新高考，以初等函數(shù)為背景來(lái)命制的壓軸題越來(lái)越普遍.這些函數(shù)題往往滲透高等數(shù)學(xué)背景.此類(lèi)題目設(shè)計(jì)形式新穎，成為高考試卷中一道亮麗的風(fēng)景線.［1］筆者將與函數(shù)的凹凸性有關(guān)的試題進(jìn)行背景分析，并探究其初、高等解法的不同之處.

1 函數(shù)的凹凸性有關(guān)知識(shí)

函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是刻畫(huà)連續(xù)函數(shù)的重要方法.在直觀上說(shuō)，它能夠反映函數(shù)圖象彎曲的方向，在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.

1.1 函數(shù)的凹凸性的判定定理

設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，有以下結(jié)論.

（1） 若在（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凹的.

（2） 若在（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凸的.

如果把這個(gè)判別法中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間（包括無(wú)窮區(qū)間），那么結(jié)論也成立.

1.2 凹函數(shù)的“切線不等式”

若f（x）是區(qū)間I上的可微凹函數(shù)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x0，f（x0））（x0∈I）的切線一定在曲線y=f（x）的下方，即x∈I，不等式f（x）≥f（x0）＋f′（x0）·（x-x0）成立，并且等號(hào)成立的充分必要條件是x=x0.

1.3 HermiteHadamard不等式［2］

若f（x）是區(qū)間［a，b］上的凹函數(shù)，a≤x1＜x2≤b，則有fx1＋x22≤1x2-x1∫x2x1f（x）dx≤f（x1）＋f（x2）2.當(dāng)且僅當(dāng)f（x）是線性函數(shù)時(shí)等號(hào)成立.

若f（x）是區(qū)間［a，b］上的凸函數(shù)，a≤x1＜x2≤b，則有

f（x1）＋f（x2）2≤1x2-x1∫x2x1f（x）dx≤fx1＋x22，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）是線性函數(shù)時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)f（x）=ex時(shí)，ex1＋x22≤ex2-ex1x2-x1≤ex1＋ex22.

其對(duì)數(shù)形式為x1x2＜x1-x2ln x1-ln x2＜x1＋x22（x1＞x2＞0）.

2 以函數(shù)的凹凸性為背景的新高考函數(shù)題的初、高等解法對(duì)比研究

2.1 函數(shù)的凹凸性在簡(jiǎn)化解題思路中的應(yīng)用

對(duì)于有些新高考函數(shù)題，初等解法比較繁瑣，分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)多，計(jì)算復(fù)雜，技巧性強(qiáng)，但是學(xué)生極難想到.以下給出兩個(gè)例子，在這兩個(gè)例子中，函數(shù)的凹凸性能夠極大地簡(jiǎn)化解題過(guò)程，且解法具有一般性.

例1 （2023年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第21題）已知f（x）=ax-sin xcos3 x，x∈0，π2，若f（x）＜sin 2x恒成立，求a的取值范圍.

初等解法：設(shè)g（x）=f（x）-sin 2x，然后根據(jù)恒成立問(wèn)題的一般做法分類(lèi)討論.

高等解法：令h（x）=sin xcos3x＋sin 2x，

則題目轉(zhuǎn)換為ax＜h（x）在x∈0，π2時(shí)恒成立.

由于h″（x）＞0，于是h（x）是凹函數(shù).又q（x）=3x是h（x）在x=0處的切線（如圖1），由定理2可知，滿足題設(shè)條件的a的范圍為（-∞，3］.

分析：本題的初等解法雖然是恒成立問(wèn)題的常規(guī)問(wèn)題，但是分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)比較繁瑣，計(jì)算復(fù)雜，學(xué)生在考場(chǎng)上極難做到全對(duì).相對(duì)于初等解法繁瑣的分類(lèi)討論，本題高等解法巧妙地利用了函數(shù)的凹凸性，利用數(shù)形結(jié)合的方法，能夠很好地解決初等解法帶來(lái)的困難，極大地簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，而且對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)更容易理解.因此了解高等解法對(duì)學(xué)生解決初等函數(shù)題幫助很大.

例2 ［2022年全國(guó)Ⅱ卷第22題第（3）問(wèn)］已知函數(shù)f（x）=xeax-ex.

設(shè)n∈N*，證明：112＋1＋122＋2＋…＋1n2＋n＞ln（n＋1）.

初等解法：x＞0，總有xe12x-ex＋1＜0成立，令t=e12x，則t＞1，t2=ex，x=2ln t.

故2tln t＜t2-1，即2ln t＜t-1t對(duì)任意的t＞1恒成立，所以對(duì)任意的n∈N*，有2lnn＋1n＜n＋1n-nn＋1，整理，得到ln（n＋1）-ln n＜1n2＋n，

故112＋1＋122＋2＋…＋1n2＋n＞ln 2-ln 1＋ln 3-ln 2＋…＋ln（n＋1）-ln n=ln（n＋1），故不等式成立.

高等解法：初等解法中，ln（n＋1）-ln n＜1n2＋n是構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合前一問(wèn)的結(jié)論得到的，高等解法中，前文提到的不等式x1x2＜x1-x2ln x1-ln x2＜x1＋x22（x1＞x2＞0）可以幫助我們快速得到結(jié)論.

令x1=n＋1，x2=n，就能得到ln （n＋1）-ln n＜1n2＋n，以下證明方法同初等解法.

分析：本題的初等解法非常巧妙，但是學(xué)生難以想到，即使明白命題人的本意仍然很難解決問(wèn)題.但是本題高等解法利用了HermiteHadamard不等式的特殊形式，快速地得到了本題需要使用的重要不等式ln（n＋1）-ln n＜1n2＋n，避免了初等解法極難想到的問(wèn)題，因此對(duì)學(xué)生的解題有極大幫助，而且對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)更容易理解.

2.2 函數(shù)的凹凸性在函數(shù)命題中的體現(xiàn)

函數(shù)的凹凸性不僅能夠簡(jiǎn)化解題，而且在函數(shù)命題當(dāng)中也有重要體現(xiàn)，以下例子將探究新高考函數(shù)題的命題背景.

例3 （2023年新高考19題）已知函數(shù)f（x）=a·（ex＋a）-x.

（1）討論f（x）單調(diào)性.

（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）＞2ln a＋32.

初等解法：（1）略.

（2）根據(jù)（1）中求出的函數(shù)單調(diào)性，得f（x）min=f（-ln a）=a（e-ln a＋a）＋ln a=1＋a2＋ln a.

要證f（x）＞2ln a＋32，即證1＋a2＋ln a＞2·ln a＋32，即證a2-12-ln a＞0恒成立，

然后求導(dǎo)，判斷單調(diào)性即可得證.

高等解法：第（2）問(wèn)相當(dāng)于求證g（x）=aex＋a2-2ln a＞x＋32，

由于g″（x）＞0，于是g（x）是凹函數(shù).

由定理2可知，g（x）≥x＋1＋a2-ln a.

又a2-ln a-12＞0（初等解法已證），

所以x＋1＋a2-ln a＞x＋32，故g（x）＞x＋32得證.

命題背景分析：本題是新高考導(dǎo)數(shù)題中的常見(jiàn)題型，初等解法是十分常規(guī)的.在對(duì)比研究過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，兩種方法殊途同歸，均避免不了證明a2-12-ln a＞0.

為了考查不等式a2-12-ln a＞0的證明，但將其直接作為第（2）問(wèn)考查，則區(qū)分度較小.為了區(qū)分不同水平的考生，命題老師以函數(shù)的凹凸性（凹函數(shù)的切線不等式）為背景，將不等式a2-12-ln a＞0進(jìn)行包裝，將問(wèn)題引向縱深，提高了試題的區(qū)分度.

例4 （2021年新高考22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-ln x）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性.

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且bln a-a·ln b=a-b，證明：2＜1a＋1b＜e.

初等解法：極值點(diǎn)偏移的常規(guī)做法，略.

高等解法：由命題背景可知，不等式的左端，即2＜1a＋1b部分可以用高等解法解答，解答過(guò)程如下.

研究函數(shù)f（x）=ln x，由于f″（x）lt;0，所以f（x）是凹函數(shù).

因此有如果0lt;x1lt;x2，fx1＋x22gt;1x2-x1∫x2x1f（x）dx，

即x2ln x2-x1ln x1x2-x1-1lt;lnx1＋x22.

令x1=1a，x2=1b，由條件，得1x2ln1x1-1x1·ln1x2=1x1-1x2，

故有x2ln x2-x1ln x1x2-x1=1.

所以lnx1＋x22gt;0，即x1＋x22gt;1，x1＋x2gt;2.

分析：本題是極值點(diǎn)偏移的常規(guī)問(wèn)題，在高中階段，學(xué)生反復(fù)訓(xùn)練過(guò)此類(lèi)題型.在考場(chǎng)上，學(xué)生不會(huì)對(duì)本類(lèi)題型感到陌生.因此，初等解法是比較常規(guī)的解法.高等解法雖然只能解決問(wèn)題的一半，但了解HermiteHadamard不等式的命題背景，可以讓考生對(duì)問(wèn)題理解得更為透徹，答題時(shí)也能更加得心應(yīng)手.

3 對(duì)高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的建議

3.1 對(duì)教的建議

在江蘇高考改革后，需要高中數(shù)學(xué)教師具有更完備的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，并用“高觀點(diǎn)”居高臨下地看待新高考函數(shù)題，從而深刻理解高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)龍去脈.因此，想要把學(xué)生教好，前提是應(yīng)注重對(duì)以高等數(shù)學(xué)為背景的各類(lèi)試題研究分析，從而準(zhǔn)確把握新高考函數(shù)命題的走向.只有做到這一點(diǎn)，才能讓教師在教的過(guò)程中更加深入淺出，切中要害.

另外，盡管新高考函數(shù)題中出現(xiàn)了以高等數(shù)學(xué)數(shù)為背景的試題，但對(duì)于大多數(shù)試題，運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本思想方法仍然是最簡(jiǎn)單的解題方法，只有小部分的試題，高等解法能夠簡(jiǎn)化解題步驟.因此，通過(guò)中學(xué)生熟悉的常規(guī)解法來(lái)解決這類(lèi)題型，這才是教學(xué)過(guò)程的根本和核心之所在.當(dāng)學(xué)生學(xué)有余力時(shí)，教師可以適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生傳授一些高等數(shù)學(xué)的有關(guān)結(jié)論，能夠讓學(xué)生在解題中更加得心應(yīng)手.

3.2 對(duì)學(xué)的建議

相對(duì)于老高考，新高考函數(shù)題對(duì)于學(xué)生有著更高的要求，不僅要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)，而且要求學(xué)生有靈活思考和變通的能力.因此，高中生在學(xué)的過(guò)程中，不僅要付出更多的努力，而且要改善學(xué)習(xí)方法，以得到更好的學(xué)習(xí)效果.適當(dāng)?shù)貙W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，有益于學(xué)生了解試題的來(lái)源，拓寬學(xué)生解題思路，開(kāi)闊學(xué)生解題視野，提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平.

參考文獻(xiàn)

［1］陳鴻斌.一道高考試題背后的高等數(shù)學(xué)背景［J］.河北理科教學(xué)研究，2021（1）：55-57＋64.

［2］匡繼昌.常用不等式［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

［3］姜衛(wèi)東.“居高臨下”方能“深入淺出”——具有高等數(shù)學(xué)背景的試題的背景分析及解法探微［J］.數(shù)理化解題研究，2020（25）：60-62.