高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必由之路

位玉丹 李永娜

摘?要：在當(dāng)前我國高等教育持續(xù)快速發(fā)展的大背景下，不斷深化教學(xué)改革進(jìn)而提升課程教學(xué)質(zhì)量成為當(dāng)前高等學(xué)校關(guān)注的焦點(diǎn)問題之一。高等數(shù)學(xué)課程是高等院校中理工科專業(yè)和部分文科專業(yè)需要學(xué)習(xí)的公共基礎(chǔ)性課程，它對學(xué)生專業(yè)課程學(xué)習(xí)以及思維能力的培養(yǎng)都有重要影響，因此是高等院校整合學(xué)生的必修課程之一。但高等數(shù)學(xué)難度較大，對學(xué)生學(xué)習(xí)能力要求較高，且屬于公共課程，因此學(xué)生對其參與程度不足，影響了學(xué)生主體地位的發(fā)揮，對此需要高等數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)方法，從而提升課程教學(xué)的實(shí)效性。本文從數(shù)學(xué)建模思想出發(fā)，結(jié)合當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，闡釋了數(shù)學(xué)建模在人才培養(yǎng)過程中的意義和作用，并就如何將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行了探討，希望對高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作的高效開展有所借鑒。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；改革；數(shù)學(xué)建模思想；實(shí)踐；能力

中圖分類號：O13

高等數(shù)學(xué)是我國高等院校中理科專業(yè)和經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的公共必修課程，通過此課程的學(xué)習(xí)不僅能夠幫助學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識和技能，還能夠通過此過程進(jìn)一步提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、創(chuàng)新能力和解決問題能力都有幫助，對學(xué)生學(xué)好專業(yè)課程也有很大幫助。目前，我國很多高校都強(qiáng)調(diào)要重視內(nèi)涵建設(shè)，其內(nèi)容之一就是要提高課程教學(xué)水平，高等數(shù)學(xué)作為學(xué)生必修的公共課程之一，因?yàn)槠涓叨瘸橄?、邏輯?yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛且靈活，因此學(xué)生們在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)時往往容易產(chǎn)生畏難心理，且此課程屬于公共課程，因此部分學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在應(yīng)付心理，個別學(xué)生甚至有了“掛科”，這對學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)和未來發(fā)展都會產(chǎn)生不利影響。因此，很多高校數(shù)學(xué)教師也嘗試在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中尋找新的路徑，部分教師則嘗試把數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)之中，對此筆者也談?wù)勔恍﹤€人認(rèn)識。

一、數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型（Mathematical?Model）是用數(shù)學(xué)符號、公式、圖形等對某些客觀現(xiàn)象或者事物發(fā)展規(guī)律的一種模擬，數(shù)學(xué)模型并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它需要人們在深入調(diào)查研究并了解對象信息的基礎(chǔ)上，巧妙地利用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述。這種應(yīng)用知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模就像一座橋梁，連接了數(shù)學(xué)知識和實(shí)際問題，不僅展示了數(shù)學(xué)的力量和魅力，也解決了實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)建模的過程主要包括：模型準(zhǔn)備—模型假設(shè)—模型建立—模型求解—模型分析—模型檢驗(yàn)—模型應(yīng)用與推廣。

20世紀(jì)六七十年代，數(shù)學(xué)建模開始進(jìn)入一些西方大學(xué)，到了80年代初，數(shù)學(xué)建模逐漸被引入中國的數(shù)學(xué)課堂，經(jīng)過多年的研究和發(fā)展，絕大多數(shù)大中專院校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座。數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)的是“活用數(shù)學(xué)”，而不是死套公式，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，充分利用實(shí)際問題提供的各種信息，提出富有創(chuàng)意的思路和方法，培養(yǎng)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析和解決實(shí)際問題的能力。［1］

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀

（一）教學(xué)內(nèi)容缺乏應(yīng)用性

相對于學(xué)生已經(jīng)熟悉的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，高等數(shù)學(xué)的更為抽象、深奧，尤其是理論知識所占比重較大，導(dǎo)致其學(xué)習(xí)難度也比較大，學(xué)生從內(nèi)心就容易產(chǎn)生畏難心理。且部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中就是單純地講解較簡單的內(nèi)容，或者是給學(xué)生大量講解習(xí)題，缺乏教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際需求之間的聯(lián)系，這也會增加學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，還會導(dǎo)致部分學(xué)生錯誤認(rèn)為它與專業(yè)學(xué)習(xí)或者未來工作關(guān)聯(lián)不大，學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性和積極性都會受到影響，進(jìn)而影響學(xué)生主體作用的發(fā)揮。

（二）教師教學(xué)方法單一

目前，高校的高等數(shù)學(xué)課程雖屬于必修課程之一，但在課時安排上相對緊張，因此很多教師只能是抓核心知識和主干知識，把教學(xué)的精力集中于知識點(diǎn)的講解上，且以教師為中心的講授法為主，教師教學(xué)方式本質(zhì)上來說還是以填鴨式教學(xué)為主，缺乏對學(xué)習(xí)內(nèi)容的深化和強(qiáng)化，也就很少涉及對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘，必然會出現(xiàn)教學(xué)的表面化和形式的單一化的問題，也會影響學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而影響教學(xué)效果。

（三）學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不足

進(jìn)入大學(xué)階段的學(xué)生其學(xué)習(xí)目標(biāo)較為明確，要么是著眼于就業(yè)，要么則是考研，因此大學(xué)生的學(xué)習(xí)傾向性較為明顯，著眼于就業(yè)的學(xué)生其主要精力都放在了專業(yè)課程的學(xué)習(xí)上，對公共課程的要求不高；而著眼于考研的學(xué)生則是把目標(biāo)放在考研科目上，其重點(diǎn)則是政治、英語和專業(yè)課程，少部分與數(shù)學(xué)有關(guān)聯(lián)，因此高等數(shù)學(xué)課程就處于學(xué)生學(xué)習(xí)的“邊緣地帶”，學(xué)生學(xué)習(xí)動力和積極性都存在不足。

三、數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和作用

“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中融入建模思想，對于提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量進(jìn)而推動高校人才培養(yǎng)有重要意義和作用，主要表現(xiàn)在：

（一）有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

20世紀(jì)我國卓越的教育家葉圣陶先生曾經(jīng)有句名言“教是為了不教”，這闡明了教育的真諦，也是我國素質(zhì)教育一直在追求的目標(biāo)。尤其是在高等教育階段，學(xué)生已經(jīng)具備了較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力。針對高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多但學(xué)時緊張的現(xiàn)狀，數(shù)學(xué)教師通過數(shù)學(xué)建模下的教學(xué)，可以把相對抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容具體化、模型化，這樣學(xué)生就能夠自主地應(yīng)用所掌握的數(shù)學(xué)工具來解決問題，也就能夠把理論知識學(xué)習(xí)與實(shí)踐統(tǒng)一起來，有利于解決高等數(shù)學(xué)教學(xué)中理論與實(shí)踐相脫節(jié)的問題。［2］在此基礎(chǔ)上，教師可以指導(dǎo)學(xué)生舉一反三，有助于加快教學(xué)進(jìn)度，解決教學(xué)時間緊張的問題，同時也提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

（二）有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力的提升

數(shù)學(xué)的本質(zhì)源于生活，它是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念之間關(guān)系的學(xué)科，它的核心是抽象概念。因此高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容都是從蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理的繁雜事物中抽象出來，數(shù)學(xué)建模的過程就是由具體到抽象的過程，教師在引導(dǎo)學(xué)生建模過程，就能夠直接地理解相關(guān)知識、原理生成的過程，這樣不僅提升了學(xué)生的思維認(rèn)識，尤其是提升了學(xué)生抽象思維能力和邏輯思維能力，對學(xué)生獨(dú)立自主地解決數(shù)學(xué)問題的能力提升也有很大幫助。

（三）有助于學(xué)生主體作用的發(fā)揮

所謂學(xué)生的主體作用是指學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中有積極性、主動性和創(chuàng)造性，從而使學(xué)生成為課程學(xué)習(xí)的主人，改變其被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)。把數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠打破原來教學(xué)中理論性過強(qiáng)容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難心理的束縛，而是引導(dǎo)學(xué)生通過對具體問題或者事例的分析從具體到抽象去認(rèn)識、理解所學(xué)內(nèi)容，學(xué)生參與起來更容易；且因?yàn)樘骄康膯栴}更具開放性，因此學(xué)生興趣度會更高，也樂于去嘗試和探究，學(xué)生的主動性與創(chuàng)造性也就被調(diào)動起來，其主體作用也就得到了發(fā)揮。

四、將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的路徑

（一）在備課環(huán)節(jié)中融入數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，提升備課質(zhì)量

“臺上一分鐘，臺下三年功?！眰湔n是開展高等數(shù)學(xué)教學(xué)的環(huán)節(jié)之一，也是課堂教學(xué)有效開展的前提和基礎(chǔ)。目前來看，高職教師在備課過程中重點(diǎn)放在教學(xué)內(nèi)容分析和教學(xué)資源查找上，對學(xué)生的分析明顯不足，對教學(xué)方法、知識呈現(xiàn)方式等內(nèi)容缺乏深度思考和針對性設(shè)計(jì)，導(dǎo)致教與學(xué)之間脫節(jié)問題經(jīng)常出現(xiàn)。因此高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革首先應(yīng)該從備考環(huán)節(jié)進(jìn)行改革，而把數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)，也要在備課環(huán)節(jié)中融入數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容。

（二）在課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中恰當(dāng)融入數(shù)學(xué)建模思想

課堂是開展高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地，但高等數(shù)學(xué)面臨著教學(xué)內(nèi)容多、課時緊張的現(xiàn)實(shí)情況，教師要結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中恰當(dāng)融入數(shù)學(xué)建模思想。

（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)建模內(nèi)容進(jìn)行導(dǎo)入，迅速吸引學(xué)生。良好的開端是成功的一半，課堂導(dǎo)入是課堂教學(xué)的開始環(huán)節(jié)，雖然短暫但非常重要，巧妙的課堂導(dǎo)入不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣從而有效地引起學(xué)生的注意力，還能夠喚醒學(xué)生的求知欲、促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維的養(yǎng)成，進(jìn)而提升課堂的教學(xué)成效。從現(xiàn)狀來看，部分高等數(shù)學(xué)教學(xué)不太重視導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，導(dǎo)致學(xué)生進(jìn)入課堂狀態(tài)較慢，影響其學(xué)習(xí)效率。而把數(shù)學(xué)建模融入導(dǎo)入，能夠把高度抽象的教學(xué)內(nèi)容具體化、形象化地呈現(xiàn)給學(xué)生，這樣不僅降低了學(xué)生理解的難度，還能夠在一定程度上提升數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性。［3］

例如，在對“數(shù)列極限”這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，數(shù)學(xué)教師可以用生活中學(xué)生熟知的貸款買房現(xiàn)象進(jìn)行導(dǎo)入，然后提出問題：購房者在貸款30萬，同時準(zhǔn)備在10年完成還貸的需求下，當(dāng)時年利率為5.5%，購房者還可以享受9折優(yōu)惠，那么如果你是購房者，你是選擇等額本金貸款模式還是等額本息貸款模式，然后在建模的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析。對于大學(xué)生來說，他們中的多數(shù)在畢業(yè)后都面臨購買住房這一現(xiàn)實(shí)需求，因此容易引發(fā)學(xué)生共鳴，這樣的設(shè)計(jì)就會調(diào)動學(xué)生參與解決問題的積極性，從而達(dá)到迅速吸引學(xué)生參與的目的，這也有利于學(xué)生主體作用的有效發(fā)揮。

（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想融入原理背景介紹中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力。法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊曾經(jīng)說：“若想預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀?！备叩葦?shù)學(xué)教材內(nèi)容呈現(xiàn)知識相對簡單，如相關(guān)的定義、定理、公式等，并沒有呈現(xiàn)知識形成的過程及重要價值，這也容易使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中停留于表面，這也會成為影響學(xué)生學(xué)習(xí)效率的因素。把數(shù)學(xué)建模融入其中則能夠彌補(bǔ)高等數(shù)學(xué)教材的不足，例如在對“空間解析幾何”這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，數(shù)學(xué)教師可以從數(shù)學(xué)建模的角度首先給學(xué)生介紹古希臘時期歐多克索斯和阿波羅尼奧斯分別提出了解析法著手來使學(xué)生了解這一知識的源頭；然后再給學(xué)生呈現(xiàn)19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·西蒙·拉普拉斯提出了齊次坐標(biāo)的概念，以及20世紀(jì)微積分和向量空間理論的應(yīng)用，最后給學(xué)生呈現(xiàn)這一知識在20世紀(jì)60年代計(jì)算機(jī)圖形學(xué)興起后的新發(fā)展等內(nèi)容，這樣學(xué)生就較為體系化地了解了所學(xué)知識的發(fā)展歷程以及重要的實(shí)用價值。在此基礎(chǔ)上，教師再把教材內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后給學(xué)生呈現(xiàn)具體的案例讓學(xué)生進(jìn)行解答，這樣的教學(xué)流程有利于幫助學(xué)生理解和消化所學(xué)內(nèi)容，其應(yīng)用能力也會得到一定程度的提升。

（3）在概念教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想助力學(xué)生消化概念。高等數(shù)學(xué)所涉及的概念較多，如函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、微積分等，這些概念是抽象思維的產(chǎn)物，其辯證性和邏輯性較強(qiáng)，學(xué)生理解和消化知識較難，對此數(shù)學(xué)教師就可以把數(shù)學(xué)建模思想融入其中，選取有代表性的生活中的實(shí)例，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)與所學(xué)概念緊密聯(lián)系的情境，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)建模抽象，讓學(xué)生充分體會概念生成的過程，同時也使學(xué)生體會到應(yīng)用數(shù)學(xué)處理問題的方法，使學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)的價值。［4］

例如，在教學(xué)“定積分”概念時，數(shù)學(xué)教師首先要告訴學(xué)生定積分既是一種概念，也是一種思想，然后教師可以從歷史上定積分的源頭給學(xué)生對概念和思想進(jìn)行闡釋，教師可以從阿基米德對拋物線弓形面積的計(jì)算和我國古代數(shù)學(xué)家劉徽提出的割圓術(shù)來從數(shù)學(xué)建模的角度從“和的極限”的思想角度引導(dǎo)學(xué)生按照化整為零、近似代替、積零為整到最后取其極限的建模過程來使學(xué)生感受這一概念的內(nèi)涵，這樣就能夠把概念學(xué)習(xí)得更透徹。

（4）采用多樣化教學(xué)手段，發(fā)揮建模思想輔助教學(xué)的實(shí)效性。從數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用來看，它針對概念和理論學(xué)習(xí)更有效，而在方法的具體應(yīng)用上，則需要教師靈活應(yīng)對，需要教師把實(shí)例研究、啟發(fā)講授、探究訓(xùn)練等方法靈活應(yīng)用其中。特別是要發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的輔助功能，力爭在教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上多樣化、直觀化地給學(xué)生呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，在學(xué)生建模的同時也要注意給學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的機(jī)會，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)。

（5）在數(shù)學(xué)習(xí)題中融入數(shù)學(xué)建模，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力。對于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一些學(xué)生容易陷入學(xué)習(xí)的“怪圈”：漫無目的的疲勞刷題，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率較低且容易失去對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。對此，數(shù)學(xué)教師可以精選一些例題，然后通過建模的形式把數(shù)學(xué)知識和實(shí)際問題結(jié)合起來，也要注意試題的開放性、趣味性，給學(xué)生提供拓展思維的空間。在學(xué)生完成的過程中，教師要針對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異性采取多樣化的形式，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生可以獨(dú)立完成，而數(shù)學(xué)能力相對較弱的學(xué)生則可以開展合作學(xué)習(xí)，讓優(yōu)秀的學(xué)生以“教師”的角色來引領(lǐng)小組學(xué)習(xí)。針對部分復(fù)雜建模問題，教師也可以允許學(xué)生應(yīng)用計(jì)算機(jī)來輔助學(xué)習(xí)，在探究中來解決問題，這些都能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。［5］

（三）開展課外活動，把數(shù)學(xué)建模融入其中

大學(xué)生課余時間較多，且喜歡參與一些活動，高數(shù)教師可以利用課程優(yōu)勢來開展相關(guān)的活動，如舉辦數(shù)學(xué)節(jié)、組建數(shù)學(xué)社團(tuán)、開展一系列講座等，這樣不僅能夠彌補(bǔ)教學(xué)時間緊張的問題，還可以把數(shù)學(xué)建模思想融入其中，在活動中來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。例如針對每年一次的全國大學(xué)生建模比賽，數(shù)學(xué)教師可以組織建模培訓(xùn)班，滿足對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生需求，學(xué)生在此過程中一定會加深對數(shù)學(xué)建模的了解；也可以從學(xué)生未來專業(yè)學(xué)習(xí)或者職業(yè)需求角度來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模講座，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)能力提升中的作用，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

總之，將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中符合新時期高校人才培養(yǎng)需求，也有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果，廣大高校數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)實(shí)踐中積極嘗試和優(yōu)化，提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，助力學(xué)生未來的發(fā)展。

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［4］沈璐璐.數(shù)學(xué)建模思想融入高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探討［J］.輕紡工業(yè)與技術(shù)，2020，49（04）：175176.

［5］姜海南.融入數(shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討［J］.佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2018（06）：280+283.

課題：2023鄭州工商學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：基于現(xiàn)代信息化技術(shù)的高等數(shù)學(xué)隱性分層教學(xué)研究與實(shí)踐（編號：GSJG2023041）；鄭州工商學(xué)院2023年度“課程思政示范課程”建設(shè)重點(diǎn)項(xiàng)目（編號：GSSZSFK2023011）

作者簡介：位玉丹（1990—?），女，漢族，河南周口人，研究生，助教，研究方向：線性與非線性控制系統(tǒng)。