建構(gòu)主義下小學(xué)數(shù)與運(yùn)算的一致性

【摘" 要】利用建構(gòu)主義知識觀，助力學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)與運(yùn)算時形成對數(shù)的概念認(rèn)知的一致性，對數(shù)的運(yùn)算意義、算法、算理理解的一致性。本文以小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐為例，通過一線的教育實(shí)踐經(jīng)歷提煉出可行的教學(xué)方法。

【關(guān)鍵詞】建構(gòu)主義；小學(xué)；數(shù)與運(yùn)算的一致性

皮亞杰的建構(gòu)主義指出，兒童通過與環(huán)境互動，逐步構(gòu)建外部世界的知識，發(fā)展自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)的意義是幫助學(xué)生內(nèi)化知識，形成知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)專家型思維。史寧中教授指出，當(dāng)前教材和教學(xué)缺乏數(shù)的運(yùn)算一致性，新課標(biāo)提出了“數(shù)與運(yùn)算一致性”的理念。筆者在建構(gòu)主義指導(dǎo)下，提出一些方法幫助學(xué)生加深對數(shù)的認(rèn)識、運(yùn)算算理的理解，培養(yǎng)數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力和推理意識。

一、情境建構(gòu)，感悟數(shù)認(rèn)識的一致性

“數(shù)的認(rèn)識”包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)將其安排在小學(xué)不同的學(xué)段，以前教師的整體意識較薄弱，較少思考知識點(diǎn)與知識點(diǎn)內(nèi)在的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)的認(rèn)知比較割裂?，F(xiàn)在，在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，教師在教學(xué)過程中要有意識地突出“核心概念”，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)課程內(nèi)容的一致性。筆者認(rèn)為這三者認(rèn)識的一致性體現(xiàn)為以下兩點(diǎn)。

（一）數(shù)概念形成的一致性

數(shù)是對數(shù)量的抽象。即數(shù)是由具體的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系中抽象出來的。以人教版數(shù)學(xué)一年級上冊《1—5的認(rèn)識》為實(shí)例。環(huán)節(jié)一，教師從情境圖入手，請學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察，說說你發(fā)現(xiàn)了什么？生：“我發(fā)現(xiàn)了有1條小狗，2只鵝……”，學(xué)生邊數(shù)，教師邊板書“1、2、3、4、5”，在這個過程中教師幫助學(xué)生從具體實(shí)物中抽象出數(shù)字符號。環(huán)節(jié)二，學(xué)生動手操作，將數(shù)字用相應(yīng)的小棒擺成熟悉的圖形，和同學(xué)進(jìn)行展示交流。此環(huán)節(jié)借助小棒加深學(xué)生對抽象數(shù)字的理解。環(huán)節(jié)三，學(xué)生用“1、2、3、4、5”對現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行描述，此環(huán)節(jié)為抽象的數(shù)字符號建立豐富的表象。整堂課學(xué)生經(jīng)歷了“具體—抽象—具體”的過程，有助于學(xué)生初步感知基數(shù)的含義，形成數(shù)的概念。分?jǐn)?shù)、小數(shù)也是如此，不管是三年級上冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》，還是三年級下冊的《小數(shù)的初步認(rèn)識》，都是從學(xué)生最熟悉的生活情境入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、發(fā)現(xiàn)問題，從對問題的解決中抽象出分?jǐn)?shù)、小數(shù)，再讓學(xué)生用實(shí)物模型表示特定的分?jǐn)?shù)、小數(shù)，強(qiáng)化對分?jǐn)?shù)、小數(shù)的理解。在不同學(xué)段，用一致的教學(xué)思想“具體—抽象—具體”統(tǒng)領(lǐng)三種數(shù)的教學(xué)，讓學(xué)生感悟三者認(rèn)識的一

致性。

（二）計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生的一致性

數(shù)是對計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位個數(shù)的表達(dá)，即數(shù)都是由一定數(shù)量的計(jì)數(shù)單位累積而成的?！罢麛?shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)”都是構(gòu)建于計(jì)數(shù)單位之上。以四年級下冊“小數(shù)的意義”教學(xué)片段為例。課件先出示學(xué)生熟悉的場景，簡要呈現(xiàn)“小數(shù)產(chǎn)生”的過程，感悟小數(shù)產(chǎn)生的必要性。接下來教學(xué)分兩個環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)一，測量一條長7分米的線段，測量結(jié)果用“米”做單位。測量時發(fā)現(xiàn)不足1米時，回顧舊知，引導(dǎo)學(xué)生把1米平均分成10份，每份可以用0.1米表示，計(jì)數(shù)單位“十分之一”因此產(chǎn)生， 7份就是7（數(shù)量）個0.1（計(jì)數(shù)單位）米。環(huán)節(jié)二，同樣是一條1米的線段，平均分成10分，點(diǎn)A在刻度4和5之間，點(diǎn)A如何用小數(shù)表示？學(xué)生以4人小組為單位討論，在學(xué)習(xí)單上動手操作。在操作過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法的遷移，有前面的鋪墊，學(xué)生自然而然地想到還可以再把0.1米細(xì)分，平均分成10份，每份是0.01米。更小的計(jì)數(shù)單位“百分之一”由此產(chǎn)生。點(diǎn)A對應(yīng)的在第8小格的位置，就是有8（數(shù)量）個0.01（計(jì)數(shù)單位），就是0.08米，那么點(diǎn)A就可以用（4個0.1＋8個0.01=0.48）米表示。這時，再把點(diǎn)A向右移動1小格，追問：“現(xiàn)在是多少呢？”生：“比剛才多1小格，有9個0.01，即4個0.1＋9個0.01=0.49米”，二次追問：“如果再向右移動1小格呢？”生：“那就是再多1小格，就是10個0.01，就是1個0.1，也就是0.5米?！痹谶@個過程中，不僅能使學(xué)生直觀感受到新的計(jì)數(shù)單位的不斷產(chǎn)生，體會小數(shù)是計(jì)數(shù)單位的不斷累積，還讓學(xué)生領(lǐng)悟相鄰兩個計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十。當(dāng)學(xué)生全面掌握小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)后，學(xué)生就可以打通小數(shù)與整數(shù)之間的脈絡(luò)，和整數(shù)一起構(gòu)成完整的位值制系統(tǒng)。在研究小數(shù)時，根據(jù)需要把單位“1”平均分成10份，再平均分成10份……，以此類推，不斷地細(xì)分。但也會出現(xiàn)不是等分成10份的情況，比如說平均分成3份，這時就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，但同樣可以得到新的計(jì)數(shù)單位“1/3”，取出其中的2份，即“2個1/3，是2/3”。和 0.1、0.01一樣，都是把單位“1”不斷細(xì)分從而得到更小的計(jì)數(shù)單位。

數(shù)感、符號意識和推理能力的形成與發(fā)展需要建立在具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容上，立足數(shù)學(xué)本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、符號意識、推理能力的重要依托。在教學(xué)中教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)的本質(zhì)，感悟數(shù)的認(rèn)識的一致性。

二、意義建構(gòu)，領(lǐng)悟數(shù)運(yùn)算的一致性

數(shù)運(yùn)算的一致性是指加減乘除間的運(yùn)算及運(yùn)算關(guān)系、運(yùn)算本質(zhì)的一致性。理解算理、掌握算法是形成運(yùn)算能力和培養(yǎng)推理意識的根本。雖然《2022版數(shù)學(xué)新課標(biāo)》在第三學(xué)段進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算教學(xué)時才提出 “數(shù)運(yùn)算的一致性”，但是教師在第一、二學(xué)段教學(xué)時就必須有意識的提前滲透，有機(jī)地將三者聯(lián)系在一起。筆者認(rèn)為數(shù)運(yùn)算的一致性可以從以下兩方面入手。

（一）“運(yùn)算意義”的一致性

從運(yùn)算意義上看，加、減、乘、除的本質(zhì)上是一致的。所有的運(yùn)算都源于加法，加法是所有運(yùn)算的根基；減法是加法的逆運(yùn)算；乘法是幾個相同加數(shù)相加的簡便運(yùn)算，除法是幾個相同數(shù)連減的簡便運(yùn)算。一年級下冊“同數(shù)連加”“一個數(shù)連續(xù)減去幾個相同數(shù)”，就是為二年級上冊“表內(nèi)乘法”、二年級下冊“表內(nèi)除法”做鋪墊。二年級乘法、除法的教學(xué)，教師通過引導(dǎo)學(xué)生動手?jǐn)[一擺、畫一畫，回顧一年級所學(xué)過的知識，幫助學(xué)生從意義上對加減乘除進(jìn)行串聯(lián)。六年級下冊“數(shù)的運(yùn)算”復(fù)習(xí)課，教師出示“9+9=18”，學(xué)生通過這個算式說說其他和它有關(guān)聯(lián)的算式。學(xué)生會說：“18-9=9、9×2=18、18÷2=9、18÷9=2”，有的學(xué)生會從小數(shù)的角度去發(fā)散：“0.9+0.9=1.8、1.8-0.9=0.9、0.9×2=18、1.8÷2=0.9、1.8÷0.9=2”，還有的學(xué)生會從分?jǐn)?shù)的角度去思考。由于在不同學(xué)段的長期滲透，學(xué)生在不自覺中構(gòu)建以“加法”為核心知識網(wǎng)路，并打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)聯(lián)。

（二）“算理與算法”的一致性

算理與算法是計(jì)算教學(xué)的關(guān)鍵。算理是對算法的詮釋，算法是對算理的總結(jié)，它們相互聯(lián)系，有機(jī)結(jié)合。它們有助于提高學(xué)生計(jì)算能力。它們的一致性體現(xiàn)在不管是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算，都必須遵循四則運(yùn)算的規(guī)則，運(yùn)算律（分配律、交換律、結(jié)合律）與等式的基本性質(zhì)對于三者同樣適用。在計(jì)算過程中，貌似三者的算法都不一樣，但是歸根結(jié)底所有的運(yùn)算都是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位的計(jì)算、計(jì)數(shù)單位上的個數(shù)與個數(shù)的計(jì)算。在教學(xué)中教師可引導(dǎo)學(xué)生通過思維導(dǎo)圖的方式將相關(guān)知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，有助于學(xué)生掌握知識的本質(zhì)及內(nèi)在的聯(lián)系，不斷地將知識內(nèi)化，建構(gòu)屬于自身的知識網(wǎng)絡(luò)。

三、豁然貫通，頓悟數(shù)與運(yùn)算的一致性

2022年版新課標(biāo)將“數(shù)的認(rèn)識”與“數(shù)的運(yùn)算”整合成“數(shù)與運(yùn)算”，提出讓學(xué)生“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識。這一整合是以“計(jì)數(shù)單位”這一核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，將數(shù)與運(yùn)算作為一個整體組織教學(xué)，凸顯二者之間的密切關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)“數(shù)與運(yùn)算”的一致性。

整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算基于計(jì)數(shù)單位。加減法的本質(zhì)是計(jì)數(shù)單位的累加或遞減。以五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)片段為例。以往的教學(xué)，教師通常從“同分母分?jǐn)?shù)相加減”進(jìn)行復(fù)習(xí)導(dǎo)入，這樣的教學(xué)模式只能局限于本單元的知識講授，與整數(shù)、小數(shù)加減法的算理完全脫節(jié)。在新理念的指導(dǎo)下，可以這樣進(jìn)行導(dǎo)入——課伊始，出示 “37＋41、0.37＋0.41、3.7－0.41、4/9－3/9”，師提問：“上面算式中的‘3’和‘4’能否直接相加減，為什么？”伴隨著問題的提出，學(xué)生從自身的知識構(gòu)架里提取出“只有相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)，才能直接相加或相減”的信息，并以此為依據(jù)解決問題。這既對以往的知識進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，同時為 “異分母分?jǐn)?shù)加減”的學(xué)習(xí)提供依據(jù)。學(xué)生在推理的過程中打通分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)三者運(yùn)算的聯(lián)系，加深對數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的理解，感悟三者算理的一致性。

乘除法也是計(jì)數(shù)單位的不斷累加和細(xì)分，如小數(shù)乘法“0.4×0.9”，在教學(xué)中可借助方格紙幫助學(xué)生理解算理：0.1×0.1＝0.01，4×9＝36，36個0.01就是0.36， 36是計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，0.01是新的計(jì)算單位，0.4×0.9就是求有幾個新的計(jì)數(shù)單位。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法“2/5×4/7”時，很多教師只教給學(xué)生算法：“分子乘分子，分母乘分母”，教師應(yīng)從更深層次挖掘本質(zhì)算理，即分子乘分子算出的是計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，而分母乘分母是分?jǐn)?shù)單位的進(jìn)一步等分，得到新的分?jǐn)?shù)單位。在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法時，同樣離不開計(jì)數(shù)單位。從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)入手，“100÷50，是 10個10除以5個10等于2”，接著把這種思想方法遷移到“2÷2/5”，教師引導(dǎo)學(xué)生把2轉(zhuǎn)換成和2/5計(jì)數(shù)單位相同的分?jǐn)?shù)，即“2÷（2/5）=10/5÷2/5=5”，轉(zhuǎn)化成求“10個/5里包含著幾個2個1/5”，也就是“被除數(shù)含有幾個與除數(shù)同樣多的計(jì)數(shù)單位”。這對小數(shù)除法同樣適用，以計(jì)數(shù)單位為核心，體現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算的一致性。在學(xué)生知識體系中進(jìn)行建構(gòu)，幫助學(xué)生對知識內(nèi)在聯(lián)系有較深刻的理解。

從建構(gòu)主義視角出發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“數(shù)與運(yùn)算一致性”知識體系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號意識，提高學(xué)生的運(yùn)算能力、培養(yǎng)初步的推理意識。教師應(yīng)深挖數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)的核心概念，建構(gòu)脈絡(luò)分明、聯(lián)系性強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，從而引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的一致性和可遷移性，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，讓學(xué)生在不斷感知、內(nèi)化與凝聚中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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