MPCK視角下的“基本不等式”單元教學(xué)

汪智源

摘要：?以人教A版（2019年版）教材中“基本不等式”為例，從MPCK視角，對大單元教學(xué)設(shè)計教師所需的專業(yè)素養(yǎng)進行探討，探究學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和落實學(xué)科育人的途徑.

關(guān)鍵詞：MPCK；基本不等式；大單元教學(xué)

1 問題的提出

新課程標準要求以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為出發(fā)點和落腳點，強調(diào)以“學(xué)科大單元”為載體，多層次、多方式、多角度在教學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”.在教學(xué)實踐中落實上述要求，教師是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵.教師需要哪些專業(yè)素養(yǎng)？在課堂教學(xué)中教學(xué)策略該如何選擇、實施？這些問題的解決，筆者認為可以從教師的MPCK入手.

2 MPCK的簡介

教師需要哪些相關(guān)的專業(yè)素養(yǎng)呢？黃毅英教授提出的MPCK概念回答了這個問題.MPCK結(jié)構(gòu)模型認為數(shù)學(xué)教師開展常規(guī)教學(xué)應(yīng)具備3類知識：數(shù)學(xué)學(xué)科知識（簡稱MK）；一般教學(xué)法知識（簡稱PK）；有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識（簡稱CK）.在日常教學(xué)中，教師往往需要綜合運用這3類知識，才能把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識有效地轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識[1].筆者在此就以黃教授的劃分為標準，從MK，CK和PK三個角度，以“基本不等式”一節(jié)為例，基于MPCK視角來談相關(guān)的單元教學(xué)的落實問題.

3 MPCK視角下的單元教學(xué)

3.1 從MK（數(shù)學(xué)學(xué)科知識）的視角探討

在日常教學(xué)中，教師要將不同章節(jié)之間的內(nèi)容聯(lián)系起來，幫助學(xué)生構(gòu)建一個完整且有機的知識框架.這需要教師投入大量時間和精力反復(fù)研讀教材，提高自身的MK.這里的MK包括：（1）關(guān)于課程內(nèi)容的知識；（2）關(guān)于教學(xué)目標和學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展軌跡的知識[2]；（3）關(guān)于形成性和終結(jié)性評價的知識.下面按照上述分類依次闡述.

3.1.1 關(guān)于課程內(nèi)容的知識

“基本不等式”作為一種特殊的不等式，是實數(shù)的“序”關(guān)系的特殊化，體現(xiàn)了代數(shù)特征中“序”的一種基礎(chǔ)不等關(guān)系.“基本不等式”的“基本”主要體現(xiàn)在：自身結(jié)構(gòu)的簡潔；形式多樣（代數(shù)和幾何）；模型應(yīng)用的廣泛；是其他代數(shù)公式的基礎(chǔ)（章建躍）.

3.1.2 ?關(guān)于教學(xué)目標和學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展軌跡的知識

關(guān)于教學(xué)目標知識，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求是：“基本不等式”作為高中數(shù)學(xué)的預(yù)備性知識，要注重對基本不等式及其相關(guān)概念的理解；要求讓學(xué)生經(jīng)歷真實的問題情境，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建?！钡人仞B(yǎng).學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)知識的軌跡：學(xué)生已在初中學(xué)習(xí)了一元一次不等式及其簡單應(yīng)用、“不等式和不等關(guān)系”等內(nèi)容，在本節(jié)之后還要學(xué)習(xí)“用函數(shù)的觀點來認識不等關(guān)系”.

3.1.3 ?形成性和終結(jié)性評價的知識

王雯在其論文“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中基本不等式教學(xué)設(shè)計研究”中，從“水平一，知識理解；水平二，知識遷移；水平三，知識創(chuàng)新”三個層面，對本節(jié)內(nèi)容涉及到的上述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個方面做了分析.通過分析可見，本節(jié)內(nèi)容對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求都有涉及，層級的要求是較高的.同時，教師也要意識到學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個個整體、系統(tǒng)和有序的過程.

3.2 從CK（有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識）的視角探討

在教學(xué)過程中，教師需要全面深入地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，即教師的CK，此CK包括學(xué)生已經(jīng)學(xué)到的知識、遇到的困難以及所處的問題情境等.

對于本單元內(nèi)容，雖然學(xué)生在初中具備了一定的符號意識、運算能力和推理能力，但對代數(shù)的一些基本思想方法的感悟還欠火候，代數(shù)變形的經(jīng)驗和體驗還有待進一步豐富；模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等方面的核心素養(yǎng)略顯不足.鑒于上述分析，筆者認為部分學(xué)生可能遇會到的困難是：（1）教學(xué)情境引入問題；（2）基本不等式的證明——從“數(shù)”和“形”的視角；（3）基本不等式的相關(guān)概念；（4）“基本不等式”模型的建立及其相關(guān)應(yīng)用.筆者將在下面的PK內(nèi)容中來談解決上述困難的建議.

3.3 從PK（一般教學(xué)法知識）的視角探討

在日常教學(xué)設(shè)計中，教師需要認真分析各個知識點之間的聯(lián)系和區(qū)別，事先預(yù)測學(xué)生可能遇到困難的地方，并制定相應(yīng)的解決方案.只有做好知識點之間的銜接，并確保學(xué)生真正理解、掌握所學(xué)的內(nèi)容，才能真正解決如何有效傳授知識的難題，這就需要教師的PK.此PK包括：（1）教師采取的有效和針對性的教學(xué)策略;（2）教師的教學(xué)機智——是否能讓不同的學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到不同層次的培養(yǎng).具體是指對學(xué)生數(shù)學(xué)概念的表達、學(xué)生反應(yīng)的評估等互動活動，以及教師角色的定位[3].根據(jù)本部分內(nèi)容的特點，“基本不等式”需要安排兩個課時.下面就從CK中所提四個方面來談PK方面的處理.

3.3.1 教學(xué)情境引入問題

林建輝等在文[4]中給出了五種課堂引入的方法：（1）弦圖導(dǎo)入；（2）對比兩不等腰直角三角形活動引入；（3）天平問題引入；（4）完全平方公式引入；（5）幾何意義（射影定理中的直角三角形）引入.從教材編寫的情況來看：人教版教材（2019年）（以下簡稱教材）將弦圖前置到前一節(jié)，用完全平方公式引入；北師大版（2019年）教材類似，只是將弦圖后置為閱讀材料；蘇教版（2019年）教材用天平問題引入，將弦圖后置為一個練習(xí).由此可見，課堂引入的方式是多種多樣的，且各有特色.關(guān)鍵在于教師根據(jù)學(xué)情選擇恰當?shù)姆绞健钣欣趯W(xué)生的學(xué)習(xí)特點，否則就會有“立意很高，落地不易”或者“門檻過低，沒有思維挑戰(zhàn)性”的窘境.筆者在此建議，根據(jù)學(xué)情，首選所用教材的處理方式為宜.

3.3.2 基本不等式的證明——從“數(shù)”和“形”的視角

教材中基本不等式的代數(shù)證明是分析法，它是一種解決問題的思考方式，也是一種邏輯推理的方法.“執(zhí)果索因”的思維方式學(xué)生并不陌生，教師可以讓學(xué)生以小組活動的形式進行探究，初步得出結(jié)論，教師再從表達形式的規(guī)范上做要求，并給出其邏輯解釋.基本不等式的幾何證明是“雙弦圖”，其最早出自《幾何原本》卷六的命題13，它體現(xiàn)了“基本不等式”“形”的特征.“雙弦圖”教學(xué)是個難點，直接讓學(xué)生構(gòu)造會難度過大.如何處理此內(nèi)容呢？筆者認為，若學(xué)生基礎(chǔ)相對較好，教師可以提出這樣的問題：“給一個以a+b為直徑的圓，你是否可以從圓中找到一條長為?ab?的線段，并能說出它們之間的關(guān)系呢？”讓學(xué)生通過小組合作的形式自主探討，若學(xué)生還有困難，教師適當引領(lǐng)，可以追問“在這個圖中，是否可以引入一個直角三角形呢？”最終得出結(jié)論.若學(xué)生基礎(chǔ)較弱，筆者建議教師直接作出“雙弦圖”，讓學(xué)生通過對圖形中“相似三角形”等關(guān)系的探究，操作驗證，師生共同討論，最終得出答案.總之，教師需要根據(jù)學(xué)情，選擇學(xué)生能夠接受的教學(xué)方式方法，采取有利于學(xué)生理解的模式，讓不同學(xué)生獲得不同層次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3.3.3 基本不等式的相關(guān)概念

“基本不等式”成立的條件“一正二定三相等”和“積定和最小，和定積最大”是教師課堂教學(xué)的著力點——學(xué)生要達到“理解”層次還有些吃力.

“習(xí)題是精心挑選的……寓意深刻”（教材主編寄語），筆者認為可以整合教材的例1、練習(xí)3、習(xí)題2.2中復(fù)習(xí)鞏固1⑴，設(shè)計一個問題串.基本不等式的各種變形在教材中都有體現(xiàn)，如教材第46頁練習(xí)2⑵：已知x，y都是正數(shù)，且x≠y求證：?2xy?x+y?

3.3.4 “基本不等式”模型的建立及其相關(guān)應(yīng)用

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)只能在解決實際問題的情境中.數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題的解決，首先在于如何準確把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)語言”，以及把最終結(jié)果用“自然語言”表示出來；其次是把握數(shù)學(xué)相關(guān)符號、公式等表示內(nèi)容的準確性.

對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，教材中的例3、例4是有作用的.如對于例3的教學(xué)，教師要根據(jù)學(xué)情設(shè)置真實有效的問題情境，層層設(shè)問.若學(xué)生基礎(chǔ)較好，教師可以提出一些元認識的問題：這個問題你認為該如何解決？是否可以設(shè)計一個解決方案？用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一般步驟有哪些？若學(xué)生基礎(chǔ)較弱，教師可以提出一般性的認知問題：上述實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是什么？如何用數(shù)學(xué)形式表達上述問題——該如何設(shè)變量？變量的范圍是什么？最短（最大）該如何用數(shù)學(xué)知識來表示？讓學(xué)生在不同應(yīng)用場景中積極參與，努力思考，積累基本活動經(jīng)驗，以期能得出更有創(chuàng)新性的解決問題的方法.在解決例3后，教師可以設(shè)計變式：“若菜園內(nèi)有一條寬2 m的小徑，問題又該如何解決？”這是學(xué)生熟悉的真實問題，教師要給學(xué)生充足的時間思考.這個問題的回答反映了學(xué)生思維嚴謹性的不同水平——小徑在菜園的什么位置？與“長”平行還是與“寬”平行？“斜”著的嗎？“斜”到什么程度？等等.然后教師可以根據(jù)學(xué)情，選擇其中2～3種類型，讓學(xué)生自主探究，力爭能靈活應(yīng)對基本不等式的各種應(yīng)用場景，更加精準地制定解決方案，最終得到解決這類問題的一般套路和模式.

實際問題情境的解決過程中，教師要鼓勵學(xué)生積極思考.對于例4，教師可結(jié)合例3給出例4：如果在這片菜園附近，也找一塊長方形土地，根據(jù)要求建造一個長方形水池，具體要求如下——例4.考慮到本節(jié)內(nèi)容處于高中預(yù)備知識的位置，學(xué)生的空間想象能力停留在初中層面，教師在例4的教學(xué)中，就不宜過多拓展，以免沖淡本節(jié)內(nèi)容的主題——基本不等式.同時，教師可以結(jié)合本節(jié)課的例題給學(xué)生傳授一些數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史知識，如“歐拉羊圈問題”等.

總之，“基本不等式”單元的教學(xué)，教師離不開從MK，PK和CK的視角認真、審慎地分析教學(xué)內(nèi)容，從中找到存在的不足，及時學(xué)習(xí)、彌補和充實，最終內(nèi)化到自己的知識結(jié)構(gòu)體系中去.同時，MPCK屬于緘默知識，緘默知識不同于顯性知識，不能直接告知，需要教師在日常教學(xué)實踐中深度參與，完善自身MK的專業(yè)功底（扎實的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)和充足的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化知識），提高自身PK知識（及時更新最新教育學(xué)和心理學(xué)成果）和增長自身CK能力（對教學(xué)案例的分析總結(jié)和自身教學(xué)過程的不斷反思），最終優(yōu)化自己的MPCK結(jié)構(gòu)體系.當然，教師的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）的提升應(yīng)該是個動態(tài)的、持續(xù)的過程，需要教師“在教中學(xué)，在做中悟”.

參考文獻：

[1]陳子薔，胡典順，何穗.中國目前MPCK研究綜述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（5）：15-18.

[2]Tatto，M.T.（2013）：The Teacher Education and Development Study in Mathematics（TEDS-M）.Policy，Practice，and Readiness to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 Countries：Technical Report.International Association for the Evaluation of Educational Achievement（IEA）.pp：34-35.

[3]羅增儒.同課異構(gòu)“基本不等式”的互動點評——“2016高中數(shù)學(xué)特色課堂案例分析研修會”發(fā)言稿（節(jié)選整理之一）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（16）：16-24.

[4]林建輝，賓紅華，劉小輝.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入路徑探索——以“基本不等式”教學(xué)為例[J].中學(xué)教學(xué)參考，2022（5）：11-13.

課題信息：安徽省宣城市2023年教育科學(xué)研究規(guī)劃課題“基于高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐研究”，課題編號為XCJK23013.