多角度探究圓錐曲線中的定值問題

鄭夢華 祝峰澤

摘要：文章對2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷第20題（圓錐曲線問題）進行解法探究和變式拓展，經(jīng)過對該題的溯源和剖析，發(fā)現(xiàn)其解法的多元性及通用性，并將其推廣到更一般的形式，以更好地促進教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);圓錐曲線;一題多解

1真題再現(xiàn)

真題（2023年全國乙卷理科數(shù)學(xué)第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率是53，點A（－2，0）在C上．

（1）求C的方程；

（2）過點（－2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點．

分析：第（1）問求橢圓的標準方程，屬較易題；第（2）問解析可采用常規(guī)的韋達定理方法，本文中不再贅述.本題第（2）問考查學(xué)生運用坐標解決平面解析幾何問題的能力，較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2追本溯源

本源若點P（x1，y1）在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）外，過點P可以作兩條直線與橢圓相切，連接切點A，B，稱線段AB為切點弦，則切點弦所在直線的方程為x1xa2+y1yb2=1.我們將點P和切點弦分別稱為橢圓的一對極點與極線［1］.

題源（2020年全國高考Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

該題是一道常規(guī)的解析幾何題，命制背景為極點和極線，考查了解析幾何的基本思想和基本方法，對學(xué)生的運算能力要求很高，很好地起到了區(qū)分的作用.該類型題目在近年高考卷中也多次出現(xiàn)，例如，2010年的江蘇卷第18題.因此，研究高考真題是教師最重要的教學(xué)策略之一.

3真題第（2）問的解法賞析

解法一：平移坐標系角度.

將平面直角坐標系向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，使得點B（－2，3）為新坐標系的原點，此時橢圓方程為（y+3）29+（x－2）24=1，點A（0，－3）.設(shè)直線PQ：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立PQ和橢圓方程可得（4k2+9）x2+（24k－36）x+36=0，由韋達定理可知x1+x2=－24k+364k2+9，x1x2=364k2+9.由題意，可知kAP=y1+3x1，則lAP：y=y1+3x1x－3，令x=2，可得yM=2（y1+3）x1－3，同理可得yN=2（y2+3）x2－3，則

yM+yN2=y1+3x1+y2+3x2－3=2kx1x2+3（x1+x2）x1x2－3=0，因此新坐標系中直線MN的中點坐標為（2，0），即證得坐標系平移前MN的中點坐標為定點（0，3）.

評注：對于第（2）問，如果利用常規(guī)方法求解，因為直線PQ經(jīng)過的點不在坐標軸上，所以聯(lián)立方程后的計算量非常大，而使用解法一能夠極大減小計算量，但難點在于坐標系平移前后的各點坐標變化，對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想要求較高.

解法二：參數(shù)方程角度.

設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為x=－2+tcosθ，y=3+tsinθ（t為參數(shù)），點P，Q的參數(shù)分別為t1，t2，將其代入橢圓方程中，得（4+5cos2θ）t2+（24sinθ－36cosθ）t+36=0，則Δ=－864sin2θ>0，所以θ∈π2，π.由韋達定理，可知

t1+t2=36cosθ－24sinθ4+5cos2θ，t1t2=364+5cos2θ.

設(shè)M（0，m），N（0，n），由A，P，M三點共線，得m=2（3+t1sinθ）t1cosθ=2tanθ+6t1cosθ，同理可得n=2tanθ+6t2cosθ，則m+n=4tanθ+6cosθ1t1+1t2=6，即證得MN的中點坐標為定點（0，3）.

評注：解法二從直線PQ的傾斜角入手，利用直線的參數(shù)方程解決問題.在運算的過程中還需用到三角恒等變換的一些知識，計算量小，非常簡潔.

解法三：定比點差法角度.

設(shè)B（－2，3），P（x1，y1），Q（x2，y2），PB=λBQ，（λ<0），由向量坐標表示的唯一性，可得

－2（1+λ）=x1+λx2，3（1+λ）=y1+λy2.[JY]①

由點P，Q在橢圓上，得y219+x214=1，λ2y229+λ2x224=λ2.

兩式相減，可得

195y1-λy21-λ5y1+λy21+λ+145x1-λx21-λ5x1+λx21+λ=1，聯(lián)立①式后可得λ=23y1－x1－3，則x2=－x1－2λ－2λ=－x1－223y1－x1－3－2.同理可得y2=－y1+323y1－x1－3+3.易知yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2，將x2，y2代入即可求得yM+yN2=3，即證得直線MN的中點為定點（0，3）.

評注：定比點差法，其本質(zhì)是利用定比分點和圓錐曲線方程中橫、縱坐標表達式的一致性，優(yōu)化運算過程的變形手段，是處理圓錐曲線弦上三點問題的一大通法.

解法四：構(gòu)造二次方程角度.

設(shè)直線AP：y=k1（x+2），AQ：y=k2（x+2）.聯(lián)立直線AP和橢圓方程，得（9+4k21）x2+16k21x+16k21－36=0，

于是xAxP=16k21－369+4k21，則

xP=－8k21+189+4k21，yP=36k19+4k21.

同理，可得xQ=－8k22+189+4k22，yQ=36k29+4k22.

設(shè)直線PQ方程為y=k（x+2）+3，將點P，Q的坐標分別代入直線方程，可得

12k21－36k1+36k+27=0，12k22－36k2+36k+27=0，

即k1，k2是方程12x2－36x+36k+27=0的兩個根，易知yM+yN=2（k1+k2）=6，即證得直線MN的中點為定點（0，3）.

評注：解法四著重考查函數(shù)與方程的思想，尤其是函數(shù)問題中常用的同構(gòu)思想，技巧性較強，同時大大減小了運算量，在解題過程中起到了事半功倍的效果.

解法五：二次曲線系方程角度.

引理：過平面上三點A，B，D及點A的切線l的二次曲線系方程可設(shè)為l5lBD+λlAB5lAD=0.

設(shè)直線AP：x=my－2，AQ：x=ny－2，PQ：y=k（x+2）+3.易知橢圓在點A處的切線方程為x=－2，由引理可知過點A，P，Q的二次曲線方程可設(shè)為（x+2）（kx－y+2k+3）+λ（x－my+2）（x－ny+2）=0.由題意知該橢圓方程可設(shè)為ty29+x24－1=0，對比二次曲線方程各項系數(shù)，可得k+λ=14t，λmn=19t，

－1－λm－λn=0，3+4k+4λ=0，－2－2λm－2λn=0，4k+6+4λ=－t，化簡后可得mn=t9λ，m+n=－1λ，t=－3.對于直線AP，AQ的方程，分別令x=0，可得yM=2m，yN=2n，則yM+yN=6，即證得直線MN的中點為定點（0，3）.

評注：解法五應(yīng)用二次曲線系方程［2］中過三點及一條切線的二次曲線方程，隨后利用待定系數(shù)法將所設(shè)方程和原橢圓方程進行對比從而求出參數(shù)，該解法非高中數(shù)學(xué)常規(guī)內(nèi)容，多用于競賽題的求解.

前文提到過該題的背景是極點極線，在高中的視角下，極點極線經(jīng)常用于命制圓錐曲線的切線和切點弦模型試題.筆者不禁思考：在一般的橢圓方程中是否還有類似規(guī)律呢？如果點D為直線x=－a上任意一點，過點D作橢圓的兩條切線，[JP+1]得到的切點弦即為極線，此時是否還有類似結(jié)論？對于雙曲線和拋物線呢？

4推廣探究

推廣1已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A（－a，0），過點D（－a，b）的直線交橢圓于P，Q兩點，直線AP，AQ和y軸分別交于點M，N，則直線MN的中點恒為（0，b）.

推廣2（橫向推廣）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A（－a，0），過直線x=－a上任一點D（非點A）作橢圓的兩條切線切于點A，B，過點D作一條直線交橢圓于P，Q兩點，設(shè)直線AB，AP，AQ的斜率分別為k0，k1，k2，則k1+k2=2k0.

推廣3（縱向推廣）已知雙曲線E：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），A（－a，0），過直線x=－a上任一點D（非點A）作雙曲線的兩條切線切于點A，B，過點D作一條直線交雙曲線于P，Q兩點，設(shè)直線AB，AP，AQ的斜率分別為k0，k1，k2，則k1+k2=2k0.

推廣4（縱向推廣）已知拋物線方程：y2=2px（p>0），A為坐標原點，過y軸上任一點D（非點A）作拋物線的兩條切線切于點A，B，過點D作一條直線交拋物線于P，Q兩點，設(shè)直線AB，AP，AQ的斜率分別為k0，k1，k2，則k1+k2=2k0.

5結(jié)束語

通過上述多角度探究、思考與推廣探究，真題本質(zhì)也逐漸被揭開，同時，也啟示我們在日常教學(xué)中要抓住問題的本質(zhì).教師在教學(xué)中可以適當補充一些一類問題的本源，尤其是經(jīng)常作為高考真題的命制背景問題；學(xué)生也可以適當總結(jié)問題的本質(zhì)，從而提高核心素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻：

[1]周威.探討高觀點下試題命制提升教師專業(yè)素養(yǎng)——從極點極線視角下兩道?？碱}的演變探究與改編談起[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2021（2）：33-36.

[2]李鴻昌.二次曲線系在圓錐曲線四點共圓問題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（7）：92-94.