切點(diǎn)弦場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)軌跡

盧闖

切點(diǎn)弦是二次曲線中一類比較特殊的弦，其是由二次曲線外的一點(diǎn)向二次曲線引兩條切線，連接兩切點(diǎn)的線段.特別對(duì)于拋物線中的切點(diǎn)弦問題，更是其中一個(gè)具有獨(dú)特屬性的知識(shí)點(diǎn)，備受關(guān)注.

1問題呈現(xiàn)

問題（2024屆廣東四校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·16）過P（m，－2）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點(diǎn)分別為Q，R.又點(diǎn)A（0，4）在直線QR上的射影為H，則焦點(diǎn)F與H連線的斜率的取值范圍是＿＿＿＿.

2問題剖析

此題以過定直線中的動(dòng)點(diǎn)向拋物線引兩條切線來設(shè)置問題場(chǎng)景，結(jié)合拋物線切點(diǎn)弦的構(gòu)建，以及定點(diǎn)到切點(diǎn)弦上的射影的給出，確定焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)射影的連線的斜率問題，以直線斜率的取值范圍來構(gòu)建問題.

本題涉及動(dòng)點(diǎn)、切點(diǎn)、定點(diǎn)、射影、焦點(diǎn)等眾多類型的點(diǎn)，切線、弦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)與射影的連線等對(duì)應(yīng)類型的直線，創(chuàng)設(shè)一個(gè)“動(dòng)”“靜”結(jié)合的和諧場(chǎng)景，以定直線上動(dòng)點(diǎn)的變化帶動(dòng)切線的變化，引起切點(diǎn)弦的變化，進(jìn)一步帶動(dòng)定點(diǎn)在切點(diǎn)弦上的射影的變化，最后直接關(guān)系到焦點(diǎn)與射影連線的斜率的變化，“定值”與“變量”的巧妙轉(zhuǎn)化，構(gòu)建一個(gè)動(dòng)態(tài)情景，同時(shí)也為問題的解決提供切入點(diǎn).

本題可以從眾多類型的點(diǎn)入手加以設(shè)點(diǎn)法處理，也可以從眾多類型的直線入手加以設(shè)線法處理，都可以很好達(dá)到解決問題的目的.若理解并掌握?qǐng)A錐曲線切點(diǎn)弦公式的話，可直接利用“二級(jí)結(jié)論”快捷處理.

而對(duì)于該問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（m，－2）中m=0時(shí)，焦點(diǎn)F與點(diǎn)H的連線是一條怎樣的直線，是否存在斜率呢？這也是該問題命制過程中的一個(gè)弊端所在，要加以合理的修正與改進(jìn)，以保證命題的完善性.

3問題破解

方法1：設(shè)點(diǎn)法——導(dǎo)數(shù)思維.

解析：設(shè)Q（x1，y1），R（x2，y2），則有y1=14x21，y2=14x22.

依題y=14x2，求導(dǎo)可得y′=12x.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線PQ的方程為y－14x21=12x1（x－x1），整理有y=12x1x－y1.

而點(diǎn)P（m，－2）在切線PQ上，則有－2=12x1m－y1，即x1m－2y1+4=0，

所以（x1，y1）是方程mx－2y+4=0的解，即點(diǎn)Q是直線mx－2y+4=0上的點(diǎn).

用x2替換x1，用y2替換y1，可知點(diǎn)R也是直線mx－2y+4=0上的點(diǎn).

所以直線QR的方程為mx－2y+4=0.

將上述方程變形，得mx=2（y－2），從而直線QR過定點(diǎn)B（0，2）.

而由于AH⊥BH，|AB|=2，

則知點(diǎn)A在直線QR上的射影H的軌跡就是以AB為直徑的圓，其方程為x2+（y－3）2=1.

圖1

當(dāng)FH與該圓相切時(shí)，結(jié)合平面幾何性質(zhì)可知，直線FH的斜率分別為－3，3，如圖1所示.

故焦點(diǎn)F與H連線的斜率的取值范圍是（－∞，－3]∪[3，+∞）.

解后反思：通過設(shè)點(diǎn)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義來確定圓錐曲線的切線方程，為進(jìn)一步求解圓錐曲線的切點(diǎn)弦提供條件.這是圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程求解的一種“通性通法”.而基于拋物線的切點(diǎn)弦方程，通過對(duì)直線過定點(diǎn)的挖掘，以及射影軌跡的判斷，為數(shù)形結(jié)合確定對(duì)應(yīng)直線斜率的極端情況打下基礎(chǔ).同時(shí)要注意直線斜率的取值范圍以及圖形之間的聯(lián)系，不要出現(xiàn)混淆.

方法2：設(shè)線法——方程思維.

解析：設(shè)切線PQ，PR的方程分別為

y=k1（x－m）－2，y=k2（x－m）－2.

聯(lián)立y=k1x－k1m－2，x2=4y，消去參數(shù)y并整理可得x2－4k1x+4k1m+8=0，

由判別式Δ=16k21－4（4k1m+8）=0，化簡(jiǎn)有k21－k1m－2=0，

可得x1=x2=2k1，則Q（2k1，k21），

用k2替換k1，同理可得R（2k2，k22）.

于是可知k1，k2是方程k2－km－2=0的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理可得k1+k2=m，k1k2=－2.

而直線QR的方程為y－k21=k22－k212k2－2k1（x－2k1），即y=k1+k22x－k1k2，亦即y=m2x+2，

變形可得mx=2（y－2），從而直線QR過定點(diǎn)B（0，2）.

以下部分同方法1（此略），可知焦點(diǎn)F與H連線的斜率的取值范圍是（－∞，－3]∪[3，+∞）.

解后反思：通過設(shè)線法，結(jié)合方程的判別式來確定圓錐曲線的切點(diǎn)弦所在的直線方程，為進(jìn)一步求解圓錐曲線的切點(diǎn)弦提供條件.這是圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程求解的另一種“通性通法”.思維視角不同，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用也有所側(cè)重，關(guān)鍵是把握問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，巧妙加以綜合與應(yīng)用.

方法3：性質(zhì)法.

解析：由圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程的“二級(jí)結(jié)論”

可知，直線QR的方程為mx=4×－2+y2=2（y－2），從而直線QR過定點(diǎn)B（0，2）.

以下部分同方法1（此略），可知焦點(diǎn)F與H連線的斜率的取值范圍是（－∞，－3]∪[3，+∞）.

解后反思：熟練掌握?qǐng)A錐曲線的切點(diǎn)弦方程的“二級(jí)結(jié)論”——過曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0（A，C不同時(shí)為零）外一點(diǎn)M（x0，y0）作曲線的兩條切線MP，MQ，切點(diǎn)分別為P，Q，則切點(diǎn)弦PQ所在的直線方程為Ax0x+Cy0y+D·x0+x2+E·y0+y2+F=0.作為課外拓展與提升知識(shí)，供學(xué)有余力或參與競(jìng)賽的學(xué)生參考，在把握“二級(jí)結(jié)論”的基礎(chǔ)上，解題更加簡(jiǎn)單快捷，很好地提升解題效益.

4問題辨析

在以上問題中，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)P（m，－2），若m=0時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P（0，－2），過點(diǎn)P向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，利用拋物線的對(duì)稱性可知，切點(diǎn)Q，R關(guān)于y軸對(duì)稱，由此可得點(diǎn)A（0，4）在直線QR上的射影H在y軸上，而焦點(diǎn)F（0，1）也在y軸上，可知FH的方程為x=0，此時(shí)，F(xiàn)H的斜率不存在.

由以上問題的特殊場(chǎng)景分析可知，在原問題的設(shè)置中，應(yīng)該把m=0這一特殊情況排除在外，由此對(duì)原問題進(jìn)一步加以改進(jìn)如下：

問題過P（m，－2）（m≠0）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點(diǎn)分別為Q，R.又點(diǎn)A（0，4）在直線QR上的射影為H，則焦點(diǎn)F與H連線的斜率的取值范圍是＿＿＿＿.

這樣修改后，問題更加合理與完善，不存在漏洞或不合理的地方，而具體的解析過程也更加合理有效.

5變式拓展

借助原問題解析過程中的產(chǎn)物，可以得到一些相應(yīng)的變式問題.

5.1定點(diǎn)問題

變式1過P（m，－2）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點(diǎn)分別為Q，R，則直線QR恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是＿＿＿＿.（答案：（0，2）.）

由此可得更加一般性的結(jié)論：

結(jié)論：過P（m，a）（a<0）向拋物線x2=2py（p>0）引兩條切線PQ，PR，切點(diǎn)分別為Q，R，則直線QR恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，－a）.

5.2軌跡問題

變式2過P（m，－2）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點(diǎn)分別為Q，R.又點(diǎn)A（0，4）在直線QR上的射影為H，則動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程是＿＿＿＿.

（答案：x2+（y－3）2=1.）

6教學(xué)啟示

二次曲線（圓、橢圓、雙曲線與拋物線）中的切點(diǎn)弦問題，是平面解析幾何中一類綜合性較強(qiáng)的問題，解決這類問題的“通性道法”主要有兩種：

（1）結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定對(duì)應(yīng)的切線方程，進(jìn)而加以深入綜合與應(yīng)用；（2）結(jié)合函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用方程的判別式確定對(duì)應(yīng)的切線方程，同時(shí)為切點(diǎn)弦的確定提供條件.

而特殊的思維技巧就是借助二次曲線的切點(diǎn)弦方程的“二級(jí)結(jié)論”，直接利用公式確定切點(diǎn)弦方程，快速解決問題.

常規(guī)的技巧方法是我們必須理解并掌握的知識(shí)，也是對(duì)此類問題的基本要求，需要借助知識(shí)的學(xué)習(xí)與練習(xí)的訓(xùn)練加以掌握與應(yīng)用；而特殊的思維技巧給我們的課外學(xué)習(xí)開辟了一個(gè)更加寬廣的空間，提供了更加簡(jiǎn)單快捷的技巧與方法.