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    不等式情境,函數(shù)性視角

    2024-05-26 23:23:25蔣玉飛
    關(guān)鍵詞:同構(gòu)一題零點(diǎn)

    蔣玉飛

    含參不等式的存在性問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見(jiàn)的一類(lèi)綜合應(yīng)用問(wèn)題,經(jīng)常交匯融合函數(shù)與不等式的相關(guān)知識(shí),場(chǎng)景變化多端,形式創(chuàng)新多變,是知識(shí)綜合與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)重要載體.此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常借助含參不等式的合理恒等變形與等價(jià)轉(zhuǎn)化,綜合利用不等式的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,從函數(shù)的視角來(lái)分析,借助函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象等來(lái)處理與應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙解決.

    1問(wèn)題呈現(xiàn)

    問(wèn)題(山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)2022年12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·16)若存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

    此題結(jié)合含參不等式存在性問(wèn)題的創(chuàng)新設(shè)置,以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式作為基本載體,結(jié)合對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍的求解來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題.

    在實(shí)際分析與解決該問(wèn)題時(shí),從含參不等式入手進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化,通過(guò)不等式的基本性質(zhì)加以等價(jià)變形與應(yīng)用,借助同構(gòu)函數(shù)思維或函數(shù)的隱零點(diǎn)思維等視角來(lái)切入,展示靈活多變的解法與應(yīng)用.

    2問(wèn)題破解

    2.1思維視角一:同構(gòu)函數(shù)思維

    方法1:同構(gòu)法1.

    解析:依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

    同構(gòu)函數(shù)f(x)=xex,x∈(0,+∞),求導(dǎo)有f′(x)=(x+1)ex>0恒成立.

    所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    所以只需x∈(0,+∞)時(shí),有x

    令函數(shù)g(x)=exx,x∈(0,+∞),求導(dǎo)有g(shù)′(x)=(x-1)x2ex.由g′(x)=0,解得x=1.

    所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0.

    因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

    所以g(x)≥g(1)=e,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).故填答案:(e,+∞).

    方法2:同構(gòu)法2.

    解析:依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

    因?yàn)閤>0,所以ex>1.又aln(ax)>ex>0,且a>0,所以ax>1.

    同構(gòu)函數(shù)f(x)=xlnx,x∈(1,+∞),求導(dǎo)有f′(x)=lnx+1>0恒成立.

    所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

    所以只需x∈(1,+∞)時(shí),有ex

    所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).

    故填答案:(e,+∞).

    方法3:同構(gòu)法3.

    解析:依題意知a>0.

    由于存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

    同構(gòu)函數(shù)f(x)=ex+x,易知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.

    所以只需x-lnax-lnx成立.

    令函數(shù)g(x)=x-lnx,x∈(0,+∞),求導(dǎo)有g(shù)′(x)=1-1x=x-1x.由g′(x)=0,解得x=1.

    所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0.

    因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

    所以g(x)≥g(1)=e,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).故填答案:(e,+∞).

    解后反思:根據(jù)題設(shè)中不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,合理配湊不等式,使得不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征相類(lèi)似,從不同思維視角尋找同型、同構(gòu)函數(shù),結(jié)合參數(shù)的分離,以及函數(shù)單調(diào)性與最值的確定,巧妙求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.不同視角的恒等變形,尋找共性,配湊同型,對(duì)應(yīng)同構(gòu)不同的函數(shù),都可以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

    2.2思維視角二:隱零點(diǎn)思維

    方法4:帶參討論法.

    解析:依題意知a>0,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

    問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為不等式ex-alnx-alna<0在(0,+∞)上有解.

    構(gòu)建函數(shù)f(x)=ex-alnx-alna,x∈(0,+∞),

    則只需f(x)min<0即可.

    求導(dǎo),有f′(x)=ex-ax=xex-ax.

    令函數(shù)g(x)=xex-a(x>0),求導(dǎo)有g(shù)′(x)=(x+1)ex>0恒成立,所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-a<0;當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞.

    所以存在x0∈(0,+∞),使得g(x0)=0,即ex0=ax0,所以x0=lna-lnx0,即lnx0=lna-x0.

    所以,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)<0,則

    f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)>0,則f′(x)>0.

    因此函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

    所以f(x)≥f(x0)=ex0-alnx0-alna=ax0+ax0-2alna≥2a-2alna,當(dāng)且僅當(dāng)ax0=ax0,即x0=1時(shí),等號(hào)成立.

    因此f(x)min=2a-2alna<0,即1-lna<0,解得a>e.

    所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).

    故填答案:(e,+∞).

    解后反思:根據(jù)題設(shè)將不等式存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于0的問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)不等式問(wèn)題函數(shù)化,進(jìn)而結(jié)合含參函數(shù)的構(gòu)建與求導(dǎo)處理,通過(guò)確定函數(shù)的隱零點(diǎn),利用代換思維確定函數(shù)的最小值,進(jìn)而確定相應(yīng)的不等式,為求解參數(shù)的取值范圍打下基礎(chǔ).此類(lèi)利用函數(shù)的隱零點(diǎn)思維來(lái)處理的問(wèn)題,解題時(shí)優(yōu)化隱零點(diǎn)的取值范圍是關(guān)鍵,也是破解問(wèn)題的重點(diǎn)之一.

    3變式拓展

    根據(jù)以上問(wèn)題的“一題多解”,進(jìn)一步加以發(fā)散思維,開(kāi)拓方法,鞏固相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,進(jìn)行“一題多變”.

    變式如果存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)e2x

    A.(-∞,-1]

    B.-∞,-12

    C.[JB([]-1,-12

    D.[-1,0)

    解析:構(gòu)建函數(shù)f(x)=(x+a)e2x-a(x>0),則有f(0)=0.

    依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)5e2x

    求導(dǎo),有f′(x)=(2x+2a+1)e2x.

    當(dāng)2a+1≥0,即a≥-12時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)f(x)>f(0)=0,與f(x)min<0矛盾,舍去.

    當(dāng)2a+1<0,即a<-12時(shí),由f′(x)=0,解得x=-2a+12>0,則函數(shù)f(x)在0,-2a+12上單調(diào)遞減,此時(shí)f(x)

    綜上分析,可知a<-12,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞,-12.故選擇答案:B.

    4教學(xué)啟示

    4.1思維方法總結(jié),技巧策略歸納

    破解此類(lèi)含參不等式存在性問(wèn)題的參數(shù)的值、取值范圍或最值等相關(guān)問(wèn)題中,常用的技巧方法就是從函數(shù)視角切入,結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來(lái)分析與處理.常見(jiàn)的技巧策略主要有以下幾類(lèi):

    (1)帶參討論.合理分類(lèi)討論,利用函數(shù)的隱零點(diǎn)方程代換確定相關(guān)的最值,解題時(shí)注意優(yōu)化函數(shù)隱零點(diǎn)的取值范圍及等價(jià)轉(zhuǎn)化.

    (2)合理構(gòu)造函數(shù).經(jīng)常借助不等式的恒等變形,尋找不等式兩邊對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式結(jié)構(gòu)特征中的共性與同型,巧妙同構(gòu)函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性以及參變分離法等來(lái)綜合與求解.

    (3)合理分離參數(shù).主要針對(duì)能夠分離出對(duì)應(yīng)參數(shù)的相關(guān)問(wèn)題,一般在等式或不等式的一邊只含有參數(shù),另一邊是基本初等函數(shù)或?qū)?yīng)的復(fù)合函數(shù),進(jìn)而通過(guò)數(shù)形結(jié)合

    等直觀思維求解.

    4.2倡導(dǎo)“一題多解”,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

    “一題多解”對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)有著重要影響,教師應(yīng)注重將“一題多解”的意識(shí)滲透到數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)中.借助“一題多解”,從不同角度進(jìn)行解法探究,讓學(xué)生在解題探究中感悟數(shù)學(xué)思想方法之美,同時(shí)結(jié)合“一題多變”,達(dá)到“一題多得”“一題多思”等良好效果,培養(yǎng)思維的發(fā)散性與開(kāi)拓性,全面開(kāi)拓視野,提升數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)核心素養(yǎng).

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