課例：函數(shù)的奇偶性

? 廣東省東莞市第一中學(xué) 陳 鑫

? 廣東省東莞市第六高級中學(xué) 湯高敏

1 教學(xué)內(nèi)容分析

“函數(shù)的奇偶性”是人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第三章第二節(jié)的內(nèi)容.一方面,函數(shù)的奇偶性是繼函數(shù)的單調(diào)性后的又一重要性質(zhì),它延續(xù)了研究函數(shù)單調(diào)性的方法;另一方面,它也為后續(xù)研究函數(shù)的周期性以及冪函數(shù)、三角函數(shù)等奠定基礎(chǔ).

1.1 教學(xué)目標

(1)經(jīng)歷函數(shù)奇偶性的探究過程,進一步體會研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法;

(2)通過對具體函數(shù)奇偶性的探究,會用符號語言刻畫函數(shù)圖象關(guān)于y軸或原點對稱,了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義,體會奇偶函數(shù)命名的由來;

(3)會利用函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)圖象特征判斷具體函數(shù)的奇偶性;

(4)在函數(shù)奇偶性概念的形成過程中感受數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

1.2 教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.

教學(xué)難點：從具體函數(shù)的圖象特征到數(shù)量刻畫,再進一步抽象出符號語言的過程.

2 教學(xué)過程

2.1 情境引入

師：我們是如何研究函數(shù)的單調(diào)性和最值的?

生1：具體函數(shù)—圖象特征—數(shù)量刻畫—符號語言—抽象定義.

師：下面我們將繼續(xù)采用這種研究方法研究函數(shù)的其他性質(zhì).

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)研究函數(shù)性質(zhì)的一般思路、方法,為接下來研究函數(shù)的奇偶性做準備.

2.2 新知探究

師：請同學(xué)們畫出函數(shù)f(x)=x2和g(x)=2-|x|的圖象,并觀察這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征?

生2：如圖1,這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱.

圖1

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)偶函數(shù)的圖象特征.

師：我們以f(x)=x2為例,探究如何從數(shù)的角度刻畫其圖象關(guān)于y軸對稱.

師：由于圖象本質(zhì)上是由點所構(gòu)成的集合,我們不妨取一些特殊點來觀察.

師：觀察表1數(shù)據(jù),同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么?

表1

生3：f(-3)=9=f(3);f(-2)=4=f(2);f(-1)=1=f(1).當自變量取一對相反數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)值相等.

師：這個規(guī)律是否具有一般性?我們借助信息技術(shù)來看一看(利用GGB演示：在f(x)=x2圖象上任取兩點,當這兩點橫坐標互為相反數(shù)時,縱坐標相同).

師：也就是說,“圖象關(guān)于y軸對稱”等價于“自變量互為相反數(shù)時,函數(shù)值相等”.

設(shè)計意圖：由“形”到“數(shù)”,得到函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的數(shù)量刻畫.

師：那現(xiàn)在我們就得到了函數(shù)f(x)=x2的圖象關(guān)于y軸對稱的數(shù)量刻畫.進一步地,如何用符號語言來描述呢?

生4：?x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自然地得到“函數(shù)f(x)=x2圖象關(guān)于y軸對稱”的符號語言表征,并在過程中體會“?”符號的由來,發(fā)展學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).

師：請同學(xué)們仿照上述表達方式,用符號語言描述g(x)=2-|x|的圖象關(guān)于y軸對稱.

生5：?x∈R,都有g(shù)(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x).

設(shè)計意圖：借助實例讓學(xué)生進一步熟悉函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的符號語言表征,并為后續(xù)抽象出偶函數(shù)的符號語言表征做準備.

師：如何用符號語言描述函數(shù)y=f(x),x∈I的圖象關(guān)于y軸對稱?

生6：?x∈I,都有f(-x)=f(x).

設(shè)計意圖：從具體函數(shù)到一般函數(shù),體現(xiàn)了從特殊到一般的思想,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力及數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

師：如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,那它的定義域有什么特點?

生7：定義域關(guān)于原點對稱.

師：鑒于定義域?qū)瘮?shù)奇偶性判斷的重要性,我們將上述所得的符號語言作進一步補充,即?x∈I,-x∈I,且f(x)=f(-x).一般地,我們把滿足這一條件的函數(shù)叫做偶函數(shù).

設(shè)計意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義域?qū)瘮?shù)奇偶性判斷的重要性,并在定義中將定義域關(guān)于原點對稱這一條件顯性化.

師：接下來請通過小組合作,探究以下問題.

(2)如何用符號語言準確描述這一共同特征?

(3)如何用符號語言準確描述函數(shù)y=f(x),x∈I的圖象關(guān)于坐標原點對稱?

生8：(1)……;(2)……;(3)?x∈I,-x∈I,且f(-x)=-f(x).

師：類似地,我們把滿足這樣條件的函數(shù)叫做奇函數(shù).

設(shè)計意圖：放手讓學(xué)生通過類比的方式研究奇函數(shù),不僅能促進數(shù)學(xué)知識、方法的有效遷移,還能加深學(xué)生對奇偶性概念的理解.

師：在前面的學(xué)習(xí)中,我們定義了兩類新的函數(shù),分別是偶函數(shù)和奇函數(shù).那同學(xué)們知道為什么要這樣命名嗎?

師：我們不妨來分別觀察兩組函數(shù)y=x2,y=x4,y=x6與y=x,y=x3,y=x5的圖象,說說它們分別具有怎樣的對稱性?(用幾何畫板呈現(xiàn)圖象.)

生9：y=x,y=x3,y=x5的圖象關(guān)于坐標原點對稱,y=x2,y=x4,y=x6的圖象關(guān)于y軸對稱.

師：請同學(xué)們再觀察一下,上述函數(shù)中,圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的自變量的次數(shù)有什么特點?關(guān)于坐標原點對稱的呢?

生10：上述函數(shù)中,圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的自變量的次數(shù)都為偶數(shù),圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)的自變量的次數(shù)都為奇數(shù).

師：同學(xué)們得到了一個偉大的發(fā)現(xiàn)!實際上,著名數(shù)學(xué)家歐拉正是由此首次提出了奇、偶函數(shù)的概念.后來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,奇、偶函數(shù)又進一步得到了推廣,形成了如今的奇、偶函數(shù)概念.

設(shè)計意圖：借助部分正整數(shù)次冪的冪函數(shù)圖象,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其共同特征——對稱性,并通過追問發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從而引出奇、偶函數(shù)的概念,讓學(xué)生經(jīng)歷奇函數(shù)、偶函數(shù)概念的產(chǎn)生過程,了解命名的由來,獲得良好的數(shù)學(xué)體驗.此外,通過穿插數(shù)學(xué)史,學(xué)生能體會其中所蘊含的數(shù)學(xué)文化,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.3 數(shù)學(xué)運用

練習(xí)1判斷下列函數(shù)的奇偶性：

設(shè)計意圖：再一次體會定義域?qū)瘮?shù)奇偶性判斷的重要性,掌握用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟.

練習(xí)2(1)判斷函數(shù)f(x)=x3+x的奇偶性.

(2)圖2是函數(shù)f(x)=x3+x圖象的一部分,你能根據(jù)它的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎?

圖2

(3)一般地,若y=f(x)為奇(偶)函數(shù),如何簡化對它的研究?

設(shè)計意圖：進一步讓學(xué)生鞏固利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法,學(xué)會根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的對稱性解決問題,體會奇偶性的作用——簡化對函數(shù)的研究.

練習(xí)3已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當x∈(0,+∞)時,f(x)=x(1+x),求f(x)的解析式.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會利用奇偶性求函數(shù)的解析式.

2.4 回顧小結(jié)

(1)我們是如何開展對函數(shù)奇偶性的研究的?

(2)完成表2：

表2

(3)如何用定義判斷函數(shù)的奇偶性?

設(shè)計意圖：通過(1),進一步深化對研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法的認識,提升研究性思維.通過(2),加深對奇、偶函數(shù)概念和幾何意義的理解.通過(3),進一步掌握用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般方法、步驟.