基于“問題鏈”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐
——以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例

? 西華師范大學(xué) 蔣曉清

新課程改革強(qiáng)調(diào)學(xué)生的素質(zhì)教育、核心素養(yǎng)的培養(yǎng),強(qiáng)調(diào)學(xué)生才是教學(xué)的主體,注重學(xué)生“四基”“四能”以及創(chuàng)造性的培養(yǎng).因此,問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式已逐漸成為許多一線教師采取的方式.問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)起源于蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”,蘇格拉底傾向于通過問答的形式培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.但在實(shí)際教學(xué)過程中,通過“問題鏈”驅(qū)動(dòng)教學(xué)的效果并不是很好,主要是由于教師對(duì)于問題的設(shè)計(jì)還不夠精細(xì),無論是問題的難度,還是問題的深度、密度,都需要教師精心設(shè)計(jì),這樣才能達(dá)到預(yù)期的效果.

1 相關(guān)概念

1.1 問題

什么是問題呢?在《辭海》中,有以下四種解釋：“(1)要求回答或解釋的題目;(2)指需要解決的矛盾或要弄清楚的疑難;(3)關(guān)鍵、重要之點(diǎn);(4)指事故或毛病.”[1]陶行知曾經(jīng)說過：“創(chuàng)造始于問題,有問題才能思考.”問題的產(chǎn)生,是因?yàn)楝F(xiàn)有狀態(tài)與應(yīng)有狀態(tài)之間的差距.數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題不僅僅是課本上的,還包括了師生在學(xué)習(xí)探究過程中產(chǎn)生的疑問、疑惑等.

1.2 問題鏈

問題鏈?zhǔn)侵赣梢唤M問題串聯(lián)起來的問題系統(tǒng),是教師為了更好地教學(xué),在學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)的一連串問題.“在形式上,‘問題鏈’是一個(gè)鏈條的形式,一個(gè)問題接著一個(gè)問題,一環(huán)套著一環(huán);在內(nèi)容上,‘問題鏈’環(huán)環(huán)緊扣具有較強(qiáng)的邏輯性;在目標(biāo)上,‘問題鏈’層層深入,逐步引導(dǎo)”[2].由此可以看出,問題鏈中問題的設(shè)計(jì)是由淺入深、由易到難、層層遞進(jìn)的,而不是隨意將幾個(gè)問題組合在一起.

1.3 “問題鏈”教學(xué)

問題貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.“問題鏈”教學(xué)是教師結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及教學(xué)目標(biāo),在學(xué)生學(xué)習(xí)中可能會(huì)存在問題的地方,設(shè)置一系列的問題.通過“問題鏈”的方式,逐步化解學(xué)生的問題、障礙.但問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué),需要教師精心設(shè)計(jì).此外,“問題鏈”教學(xué)還存在一些問題：第一,“新課程改革強(qiáng)調(diào)學(xué)生核心素養(yǎng)以及‘四基’‘四能’的培養(yǎng),如何通過’問題鏈”的設(shè)計(jì)來培養(yǎng)學(xué)生的這些素養(yǎng)、能力,還需要繼續(xù)思考、研究”[3];第二,每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)水平都不同,問題該如何設(shè)計(jì)才能滿足不同學(xué)生的需求.

2 “問題鏈”的設(shè)計(jì)原則

2.1 目的性原則

課堂中提的問題應(yīng)該有明確的目標(biāo).教師所提出的問題應(yīng)該以教學(xué)目標(biāo)為依據(jù),根據(jù)教學(xué)重難點(diǎn)來設(shè)置.每一個(gè)問題的提出都應(yīng)該有它的目的,是想要學(xué)生對(duì)舊知進(jìn)行回顧,還是想要吸引學(xué)生的注意力,或者是想要引發(fā)學(xué)生的思考.教師在備課時(shí),要充分考慮每個(gè)問題的作用,不能為了提問而提問.

2.2 啟發(fā)性原則

孔子說過;“不憤不啟,不誹不發(fā).”他強(qiáng)調(diào)了應(yīng)該在什么時(shí)候啟發(fā)學(xué)生,在什么時(shí)候開導(dǎo)學(xué)生.這就是孔子主張的啟發(fā)式教學(xué).教師所設(shè)計(jì)的問題應(yīng)該具有引導(dǎo)學(xué)生思考、啟發(fā)學(xué)生思維的作用.這樣,在教學(xué)過程中,學(xué)生才能夠真正有所收獲,其核心素養(yǎng)也能得到提升.

2.3 適度性原則

問題的設(shè)計(jì)要適度.一方面是問題的難度要適度.太簡(jiǎn)單,學(xué)生的思維得不到訓(xùn)練;太難,會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生抗拒心理.根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論,問題的難度應(yīng)該設(shè)置在學(xué)生跳一跳能夠夠到的位置.另一方面是問題的密度.提問過于頻繁,學(xué)生缺少冷靜思考的時(shí)間;提問太少,課堂氣氛可能就會(huì)死氣沉沉,學(xué)生就會(huì)游離在課堂之外.

2.4 開放性原則

創(chuàng)造性的培養(yǎng)也是素質(zhì)教育的一個(gè)重要要求,而創(chuàng)造就意味著要有不同的想法、不同的思維.因此,所設(shè)計(jì)的問題不應(yīng)該只有“是或不是”“對(duì)或不對(duì)”這種絕對(duì)性的答案,而應(yīng)具有開放性的、動(dòng)態(tài)的的答案,能夠啟發(fā)學(xué)生的思維.教師也要激勵(lì)學(xué)生敢于想象、敢于發(fā)散思維,并能對(duì)學(xué)生的不同想法予以肯定.

3 基于問題鏈的“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 復(fù)習(xí)回顧

問題1請(qǐng)同學(xué)們回憶一下,圓的定義是什么?

問題2根據(jù)前面的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)知道,要研究某一類曲線,首先要明確確定曲線的要素,在平面直角坐標(biāo)系中,確定直線的要素有兩個(gè),那么,確定圓的要素有哪些呢?

設(shè)計(jì)意圖：通過這兩個(gè)問題,引導(dǎo)學(xué)生回憶之前學(xué)過的與圓有關(guān)的知識(shí),并回答出確定圓的兩要素——圓心(定位)與半徑(定形),為后續(xù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

問題3我們知道直線可以通過方程來表示,那么,圓是否也可以通過方程來表示呢?

設(shè)計(jì)意圖：提醒學(xué)生類比“直線的方程”的學(xué)習(xí)過程來學(xué)習(xí)“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”,在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,掌握類比的數(shù)學(xué)思想方法,同時(shí)順其自然地引出本節(jié)課的課題.

3.2 新知探究

探究：已知點(diǎn)B(a,b)為圓的圓心,r為半徑(其中a,b,r都是常數(shù),r>0),該圓的方程該如何確定?

問題4首先,老師想問一下大家,求曲線的方程的一般步驟是什么?

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生們說出求曲線的方程的步驟.一方面是幫助學(xué)生鞏固已經(jīng)學(xué)過的知識(shí),加深印象.另一方面,為學(xué)生提供一個(gè)正確的方向,同時(shí)讓學(xué)生明白,知識(shí)之間是相互聯(lián)系的,而不是獨(dú)立的.

問題5用點(diǎn)M(x,y)來表示圓上的任意一點(diǎn),那么x,y滿足什么樣的條件呢?這個(gè)方程的最簡(jiǎn)形式是什么呢?

設(shè)計(jì)意圖：教師作為一個(gè)引導(dǎo)者,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推理過程,這樣,能使學(xué)生對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有更清晰的認(rèn)識(shí).

學(xué)生通過計(jì)算、化簡(jiǎn),得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(x-a)2+(y-b)2=r2.

接下來,教師強(qiáng)調(diào)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu),加深學(xué)生的理解與印象.

例題求圓心為A(2,1),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)(4,2)是否在這個(gè)圓上.

分析：要判斷點(diǎn)是否在方程上,只需要判斷這個(gè)點(diǎn)是否滿足圓的方程.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4.

根據(jù)上述例題,可以引出問題6.

問題6點(diǎn)M(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2內(nèi)的條件是什么?在圓外的條件又是什么?請(qǐng)同學(xué)們思考,或者與同學(xué)相互交流.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己思考或者互相交流,探討、總結(jié)如何判斷點(diǎn)在圓內(nèi)還是圓外.

3.3 課堂練習(xí)

練習(xí)1寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)圓心為C(-3,4),半徑是2;

(2)圓心為C(-8,3),且經(jīng)過點(diǎn)M(-5,-1).

練習(xí)2求過三點(diǎn)P1(2,7),P2(5,3),P3(6,4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)M(1,7),P(4,3),Q(7,4)在圓內(nèi)、圓上還是圓外.

設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)練習(xí)都是為了鞏固本節(jié)課的內(nèi)容.練習(xí)1是為了加深學(xué)生對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)的印象,能夠選擇正確的方式求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;練習(xí)2主要是判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

3.4 課堂小結(jié)

本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.主要方法：類比法(類比直線的方程的學(xué)習(xí))、數(shù)形結(jié)合思想.

4 總結(jié)

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,“問題鏈”有著非常重要的作用.它與以往傳統(tǒng)的教學(xué)方式不同,傳統(tǒng)的教學(xué)方式容易使課堂變得古板、沉悶,學(xué)生容易產(chǎn)生厭煩心理.在“問題”的引導(dǎo)下,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)出來,學(xué)生更愿意參與到課堂中來,在不知不覺中主動(dòng)內(nèi)化為課堂知識(shí)、提高自己的思維能力.這樣,課堂的教學(xué)效率就會(huì)有所提升.