“參數(shù)方程”的高三數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)課例

? 上海市南匯第一中學(xué) 楊玉燦

1 考點(diǎn)分析

參數(shù)方程是理科數(shù)學(xué)選修4-4的內(nèi)容,主要包括：參數(shù)方程的概念、直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等.同時(shí),參數(shù)方程也是高考數(shù)學(xué)理科考查的內(nèi)容,題目出現(xiàn)在高考試卷的第22題.筆者對(duì)新疆2018年至2022年高考數(shù)學(xué)試卷中有關(guān)“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”考查的知識(shí)點(diǎn)列表(表1)統(tǒng)計(jì)如下：

表1

新疆高考所用的試卷為新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ或全國(guó)乙卷.筆者研究了近五年的高考理科數(shù)學(xué)試卷第22題(1)(2),其中(1)考查曲線(包括直線)的參數(shù)方程,(2)考查曲線的極坐標(biāo)方程.通過2018年至2022年五年的考卷,分析試卷的命題方向及其解題類型與方法,旨在為加高三第一輪復(fù)習(xí)提供幫助.

2 題型總結(jié)

在高三第一輪復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí),一方面要了解參數(shù)的幾何意義,另一方面還要掌握參數(shù)方程的形式及其基本應(yīng)用.筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),總結(jié)出參數(shù)方程的基本應(yīng)用有如下6種類型,僅供讀者參考.

2.1 類型1：參數(shù)方程與普通方程的互化

例1填空(參數(shù)方程化為普通方程)：

分析：本題為2020年高考第22題的改編,直接消去參數(shù)即可得普通方程.

例2把下列的普通方程化為參數(shù)方程：

(1)x2+y2=9;

點(diǎn)評(píng)：參數(shù)方程與普通方程兩種形式的互化體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2.2 類型2：求直線與曲線的參數(shù)方程

例3如圖1,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),M是圓O：x2+y2=1上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,試求線段MN中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.

圖1

分析：本題可以利用求曲線方程的“五步法”求出曲線的參數(shù)方程.

點(diǎn)評(píng)：本題是求曲線的參數(shù)方程,結(jié)合所給的圖形,設(shè)出參數(shù)θ,建立關(guān)于參數(shù)θ的方程,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2.3 類型3：利用參數(shù)方程解決函數(shù)的最值問題

例4已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)2+(y-1)2=1,試求：(1)S=x+y的最值;(2)T=x2+y2的最值.

(2)結(jié)合(1)中的參數(shù)方程,得

點(diǎn)評(píng)：本題是利用圓的參數(shù)方程,通過“三角換元”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.這也是我們求最值常用的三角換元法.對(duì)于(2)也可以用“幾何法”求解,式子x2+y2的幾何意義是原點(diǎn)到圓(x-2)2+(y-1)2=1上點(diǎn)的距離的平方.

2.4 類型4：利用參數(shù)方程解決曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題

解析：利用橢圓C的參數(shù)方程可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3cosα,2sinα),則點(diǎn)M到直線l的距離

點(diǎn)評(píng)：先把橢圓的普通方程化為參數(shù)方程,再把點(diǎn)M到直線l的距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)的最值問題.本題也可以采用平移相切法來處理.本題采用三角換元法解題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想.

2.5 類型5：利用參數(shù)方程解決弦長(zhǎng)問題

所以,截得的弦長(zhǎng)為|t2-t1|=1.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)參數(shù)t的幾何意義,|t|為直線上的點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的距離,可知|t2-t1|為直線被圓截得的弦長(zhǎng).

2.6 類型6：曲線(包括直線)的參數(shù)方程的綜合性應(yīng)用問題

(1)求常數(shù)a的值;(2)寫出曲線C的普通方程.

由點(diǎn)M(5,4)在曲線C上,得4×4=a(5-1)2,即a=1.

(2)由(1)知,曲線C的普通方程為(x-1)2=4y.

(2)過原點(diǎn)O作直線C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點(diǎn),當(dāng)角α發(fā)生變化時(shí),試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

(2)因?yàn)镃1的普通方程為

xsinα-ycosα-sinα=0,

①

所以過坐標(biāo)原點(diǎn)且垂直于C1的直線方程為

xcosα+ysinα=0.

②

聯(lián)立①②,可得A(sin2α,-sinαcosα).

當(dāng)角α發(fā)生變化時(shí),點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程為

消去參數(shù)α,可得點(diǎn)P的軌跡的普通方程

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的參數(shù)方程以及直線與圓的位置關(guān)系.

3 結(jié)束語

本課例列舉了參數(shù)方程的六種題型,通過本節(jié)課的教學(xué),幫助學(xué)生厘清參數(shù)方程的題型特征與解題方法,學(xué)會(huì)分析與思考解參數(shù)方程相關(guān)問題的通性與通法.本文中根據(jù)近五年高考第22題列表統(tǒng)計(jì)與分析,幫助老師和學(xué)生了解高考有關(guān)參數(shù)方程命題的方向,另外,通過對(duì)這些題型的探究與解析,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析其他數(shù)學(xué)難題,拓展參數(shù)方程的應(yīng)用范圍.由于“參數(shù)方程”在高考數(shù)學(xué)中特殊而重要的地位,因此在第一輪復(fù)習(xí)時(shí),要研究高考命題的難度和類型,從而有針對(duì)性地進(jìn)行第一輪復(fù)習(xí),且要注意復(fù)習(xí)的實(shí)效性,切實(shí)讓學(xué)生弄懂學(xué)會(huì),在應(yīng)對(duì)高考或“模考”時(shí),信心滿滿,游刃有余!并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).