一次函數(shù)視角下的特殊三角形存在性問題解題策略探究

林運蓉

【摘? 要】一次函數(shù)視角下的特殊三角形存在問題的探究，借助幾何畫板畫圖操作活動，正確分析問題、轉(zhuǎn)化化歸，模型意識反思，對數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想的感悟，利用幾何法和代數(shù)法求解問題。

【關(guān)鍵詞】運算意識；幾何作圖；模型意識；一次函數(shù)；特殊三角形

一次函數(shù)視角下的特殊三角形存在性問題是在變化的過程中，研究背景圖形，根據(jù)條件探索某種狀態(tài)是否存在，把函數(shù)信息坐標(biāo)或表達(dá)式轉(zhuǎn)化為幾何信息。分析不變特征，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，探尋特殊狀態(tài)運動的結(jié)果，畫出符合題意的圖形求解。

知識儲備：用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立方程組求解兩個一次函數(shù)圖象的交點，求解三個頂點為定點的三角形的面積，用鉛錘法求解有頂點是動點的三角形的面積。

解題困惑：對一次函數(shù)視角下的特殊三角形存在性問題，如直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、全等三角形等的存在性問題，學(xué)生解題過程存在一些困難，無法畫圖，進(jìn)行正確的分類討論，易出現(xiàn)漏解、錯解。

策略探究：假設(shè)特殊三角形存在→推理論證→得出相應(yīng)結(jié)論。類型：兩定一動及一定兩動，思路：代數(shù)法→算理意識，幾何法→構(gòu)圖識圖，函數(shù)法→待定系數(shù)法。

一、直角三角形的構(gòu)造→直角頂點的分類討論

方法策略：分別對三角形三個頂點為直角頂點的情況進(jìn)行分類討論，需要同時利用全等、勾股定理等相關(guān)知識計算，從而求出對應(yīng)的點坐標(biāo)。

【數(shù)學(xué)活動1】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交于點A、B，在坐標(biāo)軸上找一點C，使得△ABC為直角三角形，求符合條件的C點坐標(biāo)。

思路探析：找點→兩條垂線一個圓，求點→解析式法、距離公式與勾股定理、斜率法（圓上的點），增（舍）點→斜率不存在或等于零，需結(jié)合圖形檢查是否遺漏。

畫圖探尋：滿足條件的坐標(biāo)軸上的 C 點共有 3 個，如圖所示：兩垂線→→①若∠BAC=90°，則AB⊥AC，所以以A為垂足作線段AB的垂線，交x軸于C1，則△C1AB是以AB為直角邊的直角三角形。②若∠ABC=90°，則AB⊥BC，所以以B為垂足作線段AB的垂線，交軸y于C2，則△C2AB是以AB為直角邊的直角三角形。

一圓→→③若∠ACB=90°，則AC⊥BC，所以以線段AB為直徑作圓（直徑所對的圓周角等于90°），交坐標(biāo)軸于C3，則△C3AB是以AB為斜邊的直角三角形。

【案例1】已知A（2，0），B（0，3），在直線l∶y=1上找點C，使△ABC為直角三角形，你能求出點C的坐標(biāo)？

設(shè)計意圖：一次函數(shù)視角下的等腰直角三角形的模型反思關(guān)鍵在于等腰、直角、90度與45度、勾股定理、兩點距離公式。

一次函數(shù)視角下的特殊三角形的存在性問題對八年級學(xué)生初學(xué)來說存在困難，需要梳理一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)自變量的取值范圍的求法，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，通過畫圖操作，模型意識的介入，篩選有效信息，找準(zhǔn)目標(biāo)三角形的特征確定分類討論標(biāo)準(zhǔn)，運用方程、轉(zhuǎn)化、函數(shù)以及數(shù)形結(jié)合等思想來探究解決。

（基金項目：莆田市城廂區(qū)區(qū)課題“初中數(shù)學(xué)函數(shù)教與學(xué)實踐研究”，立項編號CXKT202205）