幾何直觀在解決一次函數(shù)實(shí)際問題中的應(yīng)用

摘 要：幾何直觀在解決一次函數(shù)實(shí)際問題中的應(yīng)用是提升初中數(shù)學(xué)函數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵點(diǎn)，以當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作開展情況為基礎(chǔ)，結(jié)合近年來初中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)幾何直觀在解決一次函數(shù)實(shí)際問題中的應(yīng)用策略進(jìn)行分析，以期可以起到提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的效果。

關(guān)鍵詞：幾何直觀 一次函數(shù) 問題 應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識(shí)作為學(xué)生接觸的第一類函數(shù)，它在實(shí)際問題中的應(yīng)用不僅是教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)。新課標(biāo)對(duì)初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)教學(xué)提出了明確的要求。幾何直觀作為當(dāng)前解決一次函數(shù)實(shí)際問題的最佳方法，教師需要及時(shí)提高自我對(duì)其的重視。在實(shí)際開展課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)，可以將幾何直觀應(yīng)用在如下幾種題型中。

一、路程問題

在初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)圖象題中，路程問題是最為常見的一種題型，其圖象更具直觀性。如：自變量時(shí)間為0時(shí)，其對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)即為起點(diǎn)，時(shí)間停止時(shí)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)就是路程的終點(diǎn)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度為勻速時(shí)，其圖象則呈現(xiàn)出直線狀態(tài)，兩條直線的交點(diǎn)則是運(yùn)動(dòng)物體間相交的時(shí)間和地點(diǎn)[1]。正是因?yàn)閳D象具有顯著性，一般情況下路程問題都可以利用函數(shù)圖象進(jìn)行解決。

如：甲、乙兩輛摩托車同時(shí)從相距20km的A，B兩地出發(fā)，相向而行.圖中l(wèi)1，l2分別表示甲、乙兩輛摩托車到A地的距離s（km）與行駛時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系.則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A. 乙摩托車的速度較快

B. 經(jīng)過0.3小時(shí)甲摩托車行駛到A，B兩地的中點(diǎn)

C. 經(jīng)過0.25小時(shí)兩摩托車相遇

D. 當(dāng)乙摩托車到達(dá)A地時(shí)，甲摩托車距離A地

解：A、由圖可知，甲行駛完全程需要0.6小時(shí)，乙行駛完全程需要0.5小，所以，乙摩托車的速度較快正確，故A選項(xiàng)不符合題意；

B、因?yàn)榧啄ν熊囆旭偼耆绦枰?.6小時(shí)，所以經(jīng)過0.3小時(shí)甲摩托車行駛到A，B兩地的中點(diǎn)正確，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、設(shè)兩車相遇的時(shí)間為t，根據(jù)題意得， + =20，t= ，所以，經(jīng)過0.25小時(shí)兩摩托車相遇錯(cuò)誤，故C選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)乙摩托車到達(dá)A地時(shí)，甲摩托車距離A地： ×0.5= km正確，故D選項(xiàng)不符合題意，故選：D.

以上解法是學(xué)生數(shù)學(xué)思維在解決實(shí)際問題的一個(gè)較好應(yīng)用。雖然在學(xué)生剛剛接觸函數(shù)知識(shí)時(shí)，會(huì)不太習(xí)慣應(yīng)用這種解法，但是教師需要有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀解決問題。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維與幾何直觀能力會(huì)得到較大提升，進(jìn)而從根本上提升課堂教學(xué)質(zhì)量。

二、物體存蓄數(shù)量隨著時(shí)間變化而變化的函數(shù)關(guān)系

此類題型的函數(shù)圖象呈現(xiàn)出的效果是：學(xué)生在觀察函數(shù)圖象過程中，可以十分明顯地看出在某一時(shí)間段物體的具體存蓄數(shù)量變化。學(xué)生若是可以利用好圖象，則可以準(zhǔn)確把握物體的存蓄總量規(guī)律，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有較大幫助[2]。

如：如圖，一個(gè)裝有進(jìn)水管和出水管的容器，從某時(shí)刻開始的4分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的8分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，接著關(guān)閉進(jìn)水管直到容器內(nèi)的水放完。假設(shè)每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)，容器內(nèi)的水量y（單位：升）與時(shí)間x（單位：分）之間的部分關(guān)系，（1）每分鐘進(jìn)水多少？ （2）當(dāng)4≤x≤12時(shí)，寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式 （3）若12min后只放水不進(jìn)水，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

（1）在0≤x≤4時(shí)，只進(jìn)水，圖像過（0，0）和（4，20），所以 （20-0）÷（4-0）=5（升）即：每分鐘進(jìn)水5升；

（2）當(dāng)4≤x≤12時(shí)，圖像經(jīng)過（4，20）和（12，30），設(shè)解析式為： y=kx+b，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)得：4k+b=20 12k+b=30 解得：k=1.25 b=15 ∴y=1.25x+15 （4≤x≤12）

（3）依據(jù)題意：兩個(gè)管子同時(shí)打開，可以進(jìn)水1.25升 所以：每分鐘得出水量為： 5-1.25=3.75（升） 30÷3.75=8（分鐘） 即：第12分鐘只打開出水管，8分鐘可以放完全部的水， 12+8=20（分鐘）∴圖像經(jīng)過點(diǎn)（20，0） 設(shè)此時(shí)的解析式為：y=mx+n，代入（12，30）和（20，0）得： 12m+n=30 20m+n=0 解得：m=-3.75 n=75 即：y=-3.75x+75 （12≤x≤20）。

本題考查利用函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題和用一元一次方程求出水管的出水量的運(yùn)用，正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決。分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際在實(shí)際解決函數(shù)的多變量問題時(shí)，可以分析題目中隱含的變量關(guān)系，并從中選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)。不僅可以有效深化學(xué)生的學(xué)習(xí)印象，也進(jìn)一步深化了學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

三、分段函數(shù)中自變量數(shù)值的對(duì)比

在實(shí)際開展課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)，大部分的方程組或不等式都是借助“形”進(jìn)行解答的，教師需要使學(xué)生充分感受到“形”解決數(shù)的直觀性[3]。據(jù)現(xiàn)有調(diào)查數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，許多初中生不喜歡其知識(shí)，并認(rèn)為：運(yùn)用之前所學(xué)的方法去解答方程或不等式更加便捷，不理解為何需要將知識(shí)特意繞到“形”中。但是在實(shí)際應(yīng)用問題中，尤其是分段函數(shù)問題中，若是運(yùn)用幾何直觀思想，則可以將題目中隱性的問題條件直接展示，進(jìn)而有效解決問題。

面對(duì)復(fù)雜煩瑣的網(wǎng)絡(luò)寬帶方案選擇的問題時(shí)，教師可以在建模初期列出相關(guān)若干個(gè)一次函數(shù)，其中兩個(gè)函數(shù)是分段函數(shù)，若是從數(shù)的視角進(jìn)行思考分析，簡單的說就是運(yùn)用求解方程式的形式，解題過程將十分復(fù)雜煩瑣，將在無形中為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來困擾。但是若是可以將函數(shù)圖象繪制在同一直角坐標(biāo)系中，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)所學(xué)知識(shí)，以圖象中交點(diǎn)為界限，交點(diǎn)左右兩側(cè)高的一方函數(shù)值則比較大，即為收費(fèi)貴，反之則比較便宜。幾何直觀有利于教師將教材中抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，因此在解決此類問題時(shí)，尋找主體對(duì)象建立模型發(fā)揮幾何直觀作用至關(guān)重要，也為學(xué)生強(qiáng)化自我學(xué)習(xí)能力奠定扎實(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)。

四、結(jié)束語

綜上所述，在運(yùn)用幾何直觀解決一次函數(shù)實(shí)際問題時(shí)，不可以一味關(guān)注“形”而忽略了“教”的價(jià)值，只有從以上兩個(gè)視角去探究數(shù)學(xué)知識(shí)，有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)換意識(shí)，才可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而在解決問題過程中不斷促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋曉燕. 初中代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的實(shí)踐研究[D].重慶師范大學(xué)，2014.

[2]李江專. 基于幾何直觀的初中代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].重慶師范大學(xué)，2016.

[3]馮玉嫻，劉春香.設(shè)計(jì)·生成·反思——借助幾何直觀解決二次函數(shù)的相關(guān)問題[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014，09：9- 14.

作者簡介：張濤（1989-），男，廣東省佛山市人，民族：漢，職稱：中學(xué)二級(jí)教師，學(xué)歷：學(xué)士，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。