怎樣求解抽象函數(shù)問題

抽象函數(shù)問題的主要特點(diǎn)是函數(shù)沒有具體的解析式，其解析式通常用[f（x）]代替.常見的抽象函數(shù)問題有：求抽象函數(shù)的值、求抽象函數(shù)的定義域、判斷函數(shù)的奇偶性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等.下面結(jié)合實(shí)例，談一談如何求解三類抽象函數(shù)問題.

一、求抽象函數(shù)的值

由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式，所以在求抽象函數(shù)的值時(shí)，要先根據(jù)題意和已知關(guān)系式判斷出抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性，以通過整體代換，求得某點(diǎn)的函數(shù)值.

例1.已知偶函數(shù)[f（x）]滿足[f（x+2）=3-6f（x）-f2（x）]，求[f（2023）]的值.

解：因?yàn)閇f（x+2）=3-6f（x）-f2（x）]，

所以[3-f（x+2）=6f（x）-f2（x）]，

將其兩邊平方得：[3-f（x+2）2=6f（x）-f2（x）2]，

整理得： [f2（x+2）-6f（x+2）+f2（x）-6f（x）+9=0]，

令[g（x）=f2（x）-6f（x）]，

則上式可化為：[g（x+2）+g（x）+9=0]，

即[g（x+2）=-g（x）-9]，

則[g（x+4）=-g（x+2）-9=--g（x）-9-9=g（x）]，

故[g（x）]的周期為[4]；

即[g（x）=f2（x）-6f（x）]的周期為[4]，

所以[g（2023）=g（4×505+3）=g（3）]；

又[f（x）]為偶函數(shù)，即[g（x）=f2（x）-6f（x）]也為偶函數(shù)；

又[g（x+2）=-g（x）-9]，則[g（1）=-g（-1）-9]，

而[g（1）=-g（-1）]，則[g（1）=-92]，

故[g（3）=-g（1）-9=-92]，

所以[f2（2023）-6f（2023）=-92]，

解得[f（2023）=3±322]；

又[f（x+2）=3-6f（x）-f2（x）≤3]，

即[f（2023）≤3]，故[f（2023）=3-322].

我們要先將已知關(guān)系式平方，以去掉根號(hào)；再令[g（x）=f2（x）-6f（x）]，將已知關(guān)系式化為[g（x+2）=-g（x）-9]；然后通過代換求得[g（x）]的周期，判斷出[g（x）]的奇偶性，即可根據(jù)[g（x）]的周期性和奇偶性建立關(guān)系式，通過整體代換求得[f（2023）]的值.

二、抽象函數(shù)的定義域問題

函數(shù)的定義域、自變量、對(duì)應(yīng)法則之間的聯(lián)系緊密.在求抽象函數(shù)的定義域時(shí)，須先明確函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和自變量；然后根據(jù)函數(shù)自變量之間的關(guān)系式進(jìn)行賦值，通過等量代換求得問題的答案.

例2.已知函數(shù)[f（x+1）]的定義域?yàn)閇（-2，2）]，則函數(shù)[g（x）=f（x）x]的定義域?yàn)開_______.

解：因?yàn)楹瘮?shù)[f（x+1）]的定義域?yàn)閇（-2，2）]，

所以[-2lt;xlt;2]，則[-1lt;x+1lt;3]，

即[f（x）]的定義域?yàn)閇（-1，3）]，

故[g（x）=f（x）x]的定義域必須同時(shí)滿足：

[x≥0，x≠0，-1lt;xlt;3，]解得[0lt;xlt;3].

所以函數(shù)[g（x）=f（x）x]的定義域?yàn)閇（0，3）].

解答本題，關(guān)鍵需明確[f（x+1）]中[x+1]的取值范圍、[f（x）]中x的取值范圍是等價(jià)的，據(jù)此建立關(guān)系式可求得[f（x）]中的x的取值范圍.而要使[g（x）=f（x）x]有意義，需使x在函數(shù)[f（x）]的定義域內(nèi)，分母不為0，且根號(hào)下的式子為非負(fù)數(shù)，據(jù)此建立關(guān)于x的不等式組，從而求得函數(shù)[g（x）]的定義域.

三、抽象函數(shù)的奇偶性問題

求解有關(guān)抽象函數(shù)的奇偶性問題，需靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義：若函數(shù)在定義域內(nèi)滿足[f（-x）=-f（x）]，則函數(shù)[f（x）]為奇函數(shù)；若[f（x）=f（-x）]，則函數(shù)[f（x）]為偶函數(shù).由于函數(shù)沒有具體的解析式，所以需根據(jù)函數(shù)的周期性、對(duì)稱性進(jìn)行賦值，通過等量代換求得問題的答案.

例3.若定義域在[R]上的函數(shù)[f（x）]滿足：對(duì)于任意的[x、y∈R]， [f（x+y）=f（x）+f（y）+1]恒成立，則[g（x）=f（x）+1]為（" " ）.

[A.]奇函數(shù) [B.]偶函數(shù)

[C.]非奇非偶函數(shù) [D.]無法判斷

解法1.因?yàn)閇f（x+y）=f（x）+f（y）+1]，

所以[f（x+y）+1=f（x）+1+f（y）+1]，

由[g（x）=f（x）+1]得[g（x+y）=g（x）+g（y）]，

令[x=y=0]，即[g（0）=g（0）+g（0）]，即[g（0）=0]，

令[y=-x]，得[g（0）=g（x）+g（-x）=0]，

即[g（x）=-g（-x）]，

故[g（x）=f（x）+1]為奇函數(shù)，所以[A]選項(xiàng)正確.

我們先根據(jù)題目中的條件，將[f（x）+1]視作整體，對(duì)式子進(jìn)行化簡，得到[g（x+y）=g（x）+g（y）]；再令[y=-x]，[x=y=0]得到[g（x）=-g（-x）]，便可根據(jù)奇函數(shù)的定義判定[g（x）]為奇函數(shù).

解法2.因?yàn)閇f（x+y）=f（x）+f（y）+1]，

令[x=y=0]，得[f（0）=f（0）+f（0）+1]，即[f（0）=-1]，

故[g（0）=f（0）+1=0]，即[g（0）=0]；

令[x=1，y=-1]，則[f（0）=f（1）+f（-1）+1=-1]，

即[f（1）=-f（-1）-2]，則[f（-1）=-f（1）-2].

令[x=1]，由[g（x）=f（x）+1]得：

[g（1）=f（1）+1=-f（-1）-1]，[g（-1）=f（-1）+1]，

則[g（1）+g（-1）=0]，即[g（-1）=-g（-1）]，

故[g（x）=f（x）+1]為奇函數(shù)，所以[A]選項(xiàng)正確.

本題為選擇題，于是直接采用特殊值法，給[x、y]賦予特殊值，令[x=y=0]、[x=1、y=-1]，[x=1]，進(jìn)而得出[g（-1）=-g（-1）]，從而判定該函數(shù)為奇函數(shù).

總之，解答抽象函數(shù)問題，需牢牢把握已知關(guān)系式，對(duì)其進(jìn)行合理的賦值，靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和定義域來建立關(guān)系式，通過等量代換順利求得問題的答案.