結(jié)構(gòu)化教學(xué)助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維的迭代發(fā)展

摘" 要：如何發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方式觀察思考，是當(dāng)前教育者迫切需要解決的問(wèn)題。新課標(biāo)對(duì)課程內(nèi)容組織的要求是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化重組，讓學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升各種能力；推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維廣度、深度和敏度的迭代發(fā)展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育真正落地。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；核心素養(yǎng)

如今，教育者已經(jīng)意識(shí)到學(xué)生的思維發(fā)展是教學(xué)的主要目標(biāo)之一，特別是數(shù)學(xué)教學(xué)已由“教知識(shí)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖虒W(xué)生學(xué)知識(shí)”。如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展，是教育工作者當(dāng)前迫切需要解決的問(wèn)題。

一、數(shù)與計(jì)算結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓思維廣度拓展

教師用傳統(tǒng)“教知識(shí)”的方法，并不能保證學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，也不能保證學(xué)生遷移能力的形成、思維發(fā)展。教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體。在教學(xué)中，教師要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化教學(xué)模式，帶動(dòng)學(xué)生在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中有效組織知識(shí)，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在新情境下的遷移學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)知識(shí)的同時(shí)提升學(xué)習(xí)能力、鍛煉數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法”時(shí)，教師對(duì)兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算乘法教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析，就是要了解它的“前世”“今生”和“來(lái)世”。它的“前世”，即已有知識(shí)基礎(chǔ)是什么，是兩位數(shù)的筆算加法和一位數(shù)的筆算乘法。也就是學(xué)生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)加法筆算方法和一位數(shù)乘法的筆算乘法，并認(rèn)識(shí)了萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)。本節(jié)課的“今生”就是讓學(xué)生掌握兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算（不進(jìn)位）乘法。教師要思考的是，這節(jié)課的“來(lái)世”又有哪些知識(shí)，包括兩位數(shù)乘一位（進(jìn)位）乘法，多位數(shù)乘一位數(shù)的乘法，多位數(shù)的筆算乘法……

有了以上對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，對(duì)課前的復(fù)習(xí)回顧環(huán)節(jié)，教師可以讓學(xué)生筆算３６＋９和３×４，喚起學(xué)生對(duì)筆算豎式書寫方式和筆算乘法進(jìn)位方法的記憶。認(rèn)識(shí)數(shù)意義是數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，數(shù)運(yùn)算是對(duì)數(shù)意義地再應(yīng)用。課堂情境中，教師引導(dǎo)學(xué)生探究１２×３的算法和算理，讓學(xué)生利用對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和加法經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合擺小棒，用口算的方法先算１０×３＝３０，再算２×３＝６，最后算３０＋６＝３６。即十位上的“１”表示１個(gè)十，它與３相乘得到３個(gè)十，個(gè)位上的“２”表示２個(gè)一，它與３相乘表示６個(gè)一，３個(gè)十和６個(gè)一相加，得到３６。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生嘗試用筆算的方法計(jì)算時(shí)，會(huì)用豎式寫出計(jì)算的過(guò)程，并能很快理解筆算每一步驟所表示的含義。有了兩位數(shù)乘一位數(shù)的“今生”經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)它的“來(lái)世”——多位數(shù)乘一位數(shù)的乘法也就迎刃而解了。筆算乘法的思維方法經(jīng)過(guò)一步步拓展，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)了自主認(rèn)知的過(guò)程。

從筆算加法到筆算乘法、從一位數(shù)的筆算乘法到兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算乘法、再到多位數(shù)乘一位數(shù)，從不進(jìn)位乘法到進(jìn)位乘法、到兩位數(shù)乘兩位數(shù)、再到多位數(shù)的乘法……這種結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)使學(xué)生實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)向新知識(shí)的正向遷移，形成縱向脈絡(luò)，在實(shí)現(xiàn)知識(shí)迭代認(rèn)知的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思維方法也得到了迭代拓展。學(xué)生運(yùn)用結(jié)構(gòu)化思維，能夠在知識(shí)之間建立聯(lián)系，找到概念之間的邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的抽象和概括，進(jìn)而更加深刻地理解和把握知識(shí)。教師通過(guò)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，能夠幫助學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。

二、等積變形結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓思維深度延伸

結(jié)構(gòu)化教學(xué)不僅可以是知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，還可以是學(xué)科思想方法的結(jié)構(gòu)化。比如，小學(xué)數(shù)學(xué)的圖形與幾何知識(shí)被分散在各個(gè)年級(jí)中，學(xué)生每個(gè)學(xué)期都在學(xué)。如果在教學(xué)中，教師沒(méi)有結(jié)構(gòu)化教學(xué)思維，那么學(xué)生學(xué)的知識(shí)也是零散的，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維得不到體系化發(fā)展。如何將這些看似零散的知識(shí)統(tǒng)領(lǐng)起來(lái)，幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深度，數(shù)學(xué)思維得到迭代延伸呢？教師就要全面分析知識(shí)的前后聯(lián)系及它的本質(zhì)特征，創(chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)條件，推動(dòng)學(xué)生在結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)中主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)與思維方法、有效發(fā)展核心素養(yǎng)。

（一）等面積結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓數(shù)學(xué)思維橫向延伸

小學(xué)五年級(jí)的學(xué)生基本掌握了各種圖形的面積計(jì)算和體積計(jì)算（圓和圓柱除外）。但是五年級(jí)的學(xué)生經(jīng)常被圖形的面積和體積題目弄得暈頭轉(zhuǎn)向，錯(cuò)誤百出。分析題目的類型不難發(fā)現(xiàn)，這些題目無(wú)非面積變形和體積變形。如何圍繞“等積變形”這一核心內(nèi)容開展深度探究學(xué)習(xí)，需要教師將“等面積”和“等體積”在“變形”中進(jìn)行結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，建立起系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，掌握幾何思維方法。

學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體，需要解決生活中的問(wèn)題。例如，通風(fēng)管問(wèn)題考查的是長(zhǎng)方體的側(cè)面積計(jì)算。長(zhǎng)方體的側(cè)面計(jì)算有兩種思路，常規(guī)是分別算出相鄰兩個(gè)面大小，再乘以２；另一種思路是根據(jù)長(zhǎng)方體的展開圖（長(zhǎng)方形）計(jì)算方法“長(zhǎng)×寬”得到“底面周長(zhǎng)×高”。教學(xué)到這里似乎已完成任務(wù)，但學(xué)生只學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體的側(cè)面積計(jì)算，如果題目稍做變化，學(xué)生又會(huì)無(wú)從下手。學(xué)生出錯(cuò)的主要原因是所學(xué)的知識(shí)沒(méi)有得到系統(tǒng)梳理，思維沒(méi)有橫向發(fā)展。

為此，在課中，教師可以分給每位學(xué)生至少３張Ａ４紙，鼓勵(lì)學(xué)生折（圍）出不同的柱體。在任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生的思維得到激發(fā)，很快折出長(zhǎng)方體（兩個(gè)面是正方形）和圓柱體。此時(shí)，教師詢問(wèn)這兩個(gè)柱狀體的側(cè)面積怎么求，學(xué)生通過(guò)剛才動(dòng)手折（圍）的過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)柱狀體的側(cè)面積就是求Ａ４紙的面積，也就是“底面周長(zhǎng)×高”。但是，只能折（圍）這兩個(gè)柱狀體嗎？在前面經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生折出了三棱柱、六棱柱……直觀的幾何圖形幫助學(xué)生理解了不管怎么變，這些柱體側(cè)面展開都可以是一個(gè)長(zhǎng)方形，都是“等底等高”的圖形，都可以用“底面周長(zhǎng)×高”進(jìn)行計(jì)算。圓柱體是學(xué)生六年級(jí)才需要學(xué)習(xí)的，但教師通過(guò)這樣的活動(dòng)，可以輕松幫助學(xué)生得到圓柱體側(cè)面積的計(jì)算方法。這樣一個(gè)折（圍）的動(dòng)作，讓學(xué)生直觀看到了柱狀體側(cè)面積的變化與它的本質(zhì)所在。這讓看似有難度的學(xué)習(xí)變得有趣，讓看似這個(gè)階段無(wú)法解決的問(wèn)題都被輕松解決?；诖?，學(xué)生對(duì)“等底等高”的運(yùn)用又有了新的認(rèn)識(shí)，能夠從“平面圖形”轉(zhuǎn)化到“立體圖形”，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，又可以將“立體圖形”轉(zhuǎn)化為“平面圖形”。這讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從“多”走向“一”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法得到迭代發(fā)展且對(duì)知識(shí)總的理解不斷走向深入。

（二）等體積結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓數(shù)學(xué)思維縱向延伸

等面積變形抓住了圖形的“等底等高”這一本質(zhì)特征。那么，“在等體積的變形中，對(duì)“等底等高”，又如何進(jìn)行結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)呢？同樣的Ａ４紙張，小組學(xué)生將所有紙疊加在一起，又會(huì)得到什么圖形呢？關(guān)于高或矮的長(zhǎng)方體，怎么計(jì)算它的體積呢”，學(xué)生都會(huì)用“長(zhǎng)×寬×高”或“底面積×高”。這里的底面積是指長(zhǎng)方形Ａ４紙的面積大小。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生想象并通過(guò)課件演示，將全班學(xué)生手中的Ａ４紙疊加在一起，也能得到長(zhǎng)方體圖形，它的體積同樣可以用“底面積×高”計(jì)算得到。

為了進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師讓學(xué)生拿出與長(zhǎng)方形同樣面積的三角形、圓形、梯形、五邊形……試想將每個(gè)圖形疊加在一起，會(huì)得到怎樣的立體圖形，它們的體積又如何計(jì)算。同理，學(xué)生依然可以推導(dǎo)出由三角形、四邊形、五邊形、圓形疊加起來(lái)的三棱柱、四棱柱（長(zhǎng)方體）、五棱柱、圓柱……也可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算它們的體積。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測(cè)：“什么樣的圖形可以用‘底面積×高’來(lái)計(jì)算它的體積”，隨著思維方法的不斷運(yùn)用，微積分概念也隨之滲透，學(xué)生能夠自主發(fā)現(xiàn)、自主歸納，完成“等積變形”的知識(shí)建構(gòu)。

這樣的教學(xué)過(guò)程讓學(xué)生形成了結(jié)構(gòu)化意識(shí)。學(xué)生只有在“變”與“不變”中找到“等積變形”的本質(zhì)特征，才能靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)。從“等底等高”的側(cè)面積，用“底面周長(zhǎng)×高”計(jì)算的二維圖形，到“等底等高”的立體圖形用“底面積×高”計(jì)算的三維圖形，它們之間變的是“底”。“底”從一維變成了二維，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也在這“變”與“不變”中迭代伸展。這種結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了橫向與縱向的延伸與拓展，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在迭代中不斷深入，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也走向深度。

三、生活化結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓思維的敏度強(qiáng)化

如何讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界呢？學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開生活，因此加強(qiáng)數(shù)學(xué)與學(xué)生生活的聯(lián)系是必然的。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的前提是學(xué)習(xí)的生活化，教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求、學(xué)習(xí)任務(wù)來(lái)挖掘數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，將教學(xué)內(nèi)容置于學(xué)生熟悉的生活環(huán)境中，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)變得趣味化，才能發(fā)散小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

（一）生活化結(jié)構(gòu)化例題教學(xué)，讓數(shù)學(xué)思維更靈動(dòng)

例如，對(duì)二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的乘加乘減，教師將例題生活化：“小明和爸爸、媽媽、爺爺、奶奶一起去動(dòng)物園，成人門票每人８元，兒童每人４元，請(qǐng)問(wèn)小明一家需花多少錢”，這樣熟悉的生活場(chǎng)景可以調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，同時(shí)再現(xiàn)了人物與門票間的抽象過(guò)程，直觀顯示出題目的含義，為學(xué)生開展列式計(jì)算提供了空間，也幫助學(xué)生理解了算式的含義。學(xué)生能夠在畫圖過(guò)程中得到不同的解決思路：“８×４＋４”“８×５－４”“４×９”，從而讓自身的數(shù)學(xué)思維靈動(dòng)起來(lái)。

（二）生活化結(jié)構(gòu)化練習(xí)教學(xué)，讓數(shù)學(xué)思維更敏捷

教師將練習(xí)生活化：“小明一家五口人在動(dòng)物園內(nèi)要?jiǎng)澊?，每條小船８元，可坐３人，每條大船１０元，可坐４人，有幾種選擇方案？哪種選擇比較省錢”，對(duì)此，學(xué)生先要思考幾種選擇方案：２條小船、２條大船、１大１小，分別算出８×２＝１６、１０×２＝２０、８＋１０＝１８，再進(jìn)行比較，得出第一種方案比較省錢。這不僅是乘法計(jì)算問(wèn)題，學(xué)生還需要從一家５口人出發(fā)，去思考大船和小船的乘坐人員如何與船數(shù)進(jìn)行分配，在分配過(guò)程中，通過(guò)對(duì)比分析得出結(jié)論?？梢?jiàn)，教師將練習(xí)置于生活情境中，能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中調(diào)動(dòng)生活經(jīng)驗(yàn)，處理所遇到的一個(gè)個(gè)困難，數(shù)學(xué)思維也變得更加敏捷。

（三）生活化結(jié)構(gòu)化應(yīng)用教學(xué)，讓數(shù)學(xué)思維更開闊

再如，針對(duì)六年級(jí)“北京五日游”的綜合實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生不但要考慮五日游的安排及各種費(fèi)用，還要考慮現(xiàn)實(shí)生活因素：每天乘坐的交通工具不同、景點(diǎn)不同，每個(gè)景點(diǎn)的門票不同等。這種問(wèn)題將學(xué)生置于數(shù)學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用中，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)整理、歸納、計(jì)算、分析等方式，解決了五日游的各種問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生不但需要用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，更需要用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，在訓(xùn)練了數(shù)學(xué)各種能力的同時(shí)，數(shù)學(xué)的思維敏捷度也得到提高。

生活化結(jié)構(gòu)化教學(xué)讓學(xué)習(xí)發(fā)生在學(xué)生熟悉的生活情境和實(shí)踐應(yīng)用環(huán)境中，讓學(xué)生通過(guò)生活的感性支撐和生活問(wèn)題的實(shí)踐解決，在分析與對(duì)比中引發(fā)思維的深度碰撞，推動(dòng)了數(shù)學(xué)思維敏度的迭代發(fā)展。

結(jié)構(gòu)化教學(xué)不是單一的“教知識(shí)”，而是教師根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義，了解課程內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容的安排意圖，在教學(xué)中對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析并進(jìn)行結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則、思維方法之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起知識(shí)體系和思維結(jié)構(gòu)。這樣可以幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，學(xué)生學(xué)會(huì)了用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成了科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展了核心素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：張涵淋）