初中數(shù)學(xué)數(shù)與式及圖形的規(guī)律問題剖析及教學(xué)啟示

摘要：數(shù)與式及圖形的規(guī)律問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和中考的難點(diǎn)之一.文章分析了數(shù)與式的規(guī)律問題以及圖形的規(guī)律問題的考查特點(diǎn)、考查要求和解題路徑等，并得出相應(yīng)的教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；規(guī)律試題；教學(xué)啟示

1 數(shù)與式的規(guī)律問題

觀察下列按順序排列的等式：a1=1-13，a2=12-14，a3=13-15，a4=14-16，……，試猜想第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）：an=.

該題屬于數(shù)與式的規(guī)律問題.下面對此類問題進(jìn)行剖析.

（1）題型分類

數(shù)與式的規(guī)律類問題的題型可以分為以下幾類：①數(shù)列問題.考查數(shù)列中數(shù)的排列規(guī)律，通常包括等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，如給出部分項(xiàng)或規(guī)律，要求求出指定項(xiàng)或下一項(xiàng)的值.②數(shù)的變換問題.類似于圖形的變換問題，但是涉及的是數(shù)的變換規(guī)律，可能涉及加、減、乘、除等運(yùn)算，要求根據(jù)規(guī)律找出下一個(gè)數(shù).③方程式的規(guī)律問題.考查的是方程式或等式中的規(guī)律，可能涉及代數(shù)式的變換、等式的性質(zhì)等，要求根據(jù)規(guī)律解方程或等式.④函數(shù)的性質(zhì)問題.這類問題考查的是函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，可能涉及函數(shù)的奇偶性、周期性、增減性等，要求根據(jù)給定的條件確定函數(shù)的性質(zhì)或找出符合條件的函數(shù).

（2）解題路徑

仔細(xì)閱讀題目，理解問題所描述的情境和要求，確保對問題有清晰的理解；觀察已知數(shù)據(jù)或情境中的規(guī)律，這可能涉及數(shù)、方程式等方面的規(guī)律.嘗試找出數(shù)、方程式之間的關(guān)系，可能會出現(xiàn)等差數(shù)列、等比數(shù)列等規(guī)律；根據(jù)觀察到的規(guī)律，嘗試歸納出規(guī)律性的特點(diǎn)或性質(zhì)，建立解題的思路和方法；基于歸納總結(jié)的結(jié)果，建立解題的假設(shè)或猜想，這個(gè)假設(shè)可以是對規(guī)律的描述或?qū)ο乱粋€(gè)數(shù)或方程式的預(yù)測；利用假設(shè)所描述的規(guī)律性特點(diǎn)，驗(yàn)證其是否符合已知條件或題目要求，并通過舉例、計(jì)算、推理等方法來驗(yàn)證假設(shè)的正確性；一旦驗(yàn)證了假設(shè)的正確性，就可以將所得的規(guī)律推廣應(yīng)用到解決其他類似的問題中，進(jìn)而更好地理解問題的本質(zhì)，并提高解題的能力.

2 圖形的規(guī)律問題

如圖1，是由若干個(gè)邊長為1的小正三角形組成的圖形，第2個(gè)圖比第1個(gè)圖多一層，第3個(gè)圖比第2個(gè)圖多一層，依次類推.

（1）第9個(gè)圖中陰影三角形的個(gè)數(shù)為，非陰影三角形的個(gè)數(shù)為；

（2）第n個(gè)圖中，陰影部分的面積與非陰影部分的面積比是441∶43，求n.

該題屬于圖形的規(guī)律問題.此類問題的考查要求、考查特點(diǎn)與解題路徑如下：

（1）考查要求

初中數(shù)學(xué)圖形的規(guī)律問題是培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)能力的重要途徑之一，圖形規(guī)律問題命題考查要求：①形狀變換規(guī)律.給出一系列圖形，要求學(xué)生觀察其中的規(guī)律，推測出每個(gè)圖形的變換規(guī)律，這可能涉及到平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像等操作.②圖形數(shù)量規(guī)律.給出一組圖形，要求學(xué)生根據(jù)已有的圖形推測出下一個(gè)或幾個(gè)圖形，這可能涉及到圖形的增減、重復(fù)等規(guī)律.③圖形組合規(guī)律.給出一些簡單的圖形，要求學(xué)生將它們組合成一個(gè)復(fù)雜圖形，并找出組合規(guī)律.④圖形序列規(guī)律.給出一系列圖形，要求學(xué)生找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律補(bǔ)充或調(diào)整序列中的圖形.⑤圖形對稱規(guī)律.給出一些圖形，要求學(xué)生找出其中的對稱性質(zhì)，這可能是軸對稱、中心對稱等.⑥圖形嵌套規(guī)律.給出一些圖形，要求學(xué)生觀察其中的嵌套關(guān)系，推測出嵌套規(guī)律.

（2）考查特點(diǎn)

①多樣性.這類問題涵蓋了多種圖形，如點(diǎn)、線、多邊形等，以及它們的組合和變換，涉及不同類型的幾何圖形，考查學(xué)生對不同幾何形狀的特征和性質(zhì)的理解.

②邏輯性.圖形規(guī)律問題通常要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的規(guī)律，并據(jù)此進(jìn)行推理和歸納.學(xué)生需要通過分析圖形的變化規(guī)律，進(jìn)行邏輯推理，以確定序列中下一個(gè)圖形的形態(tài).

③創(chuàng)造性.解決圖形規(guī)律問題需要學(xué)生具備一定的創(chuàng)造性，需要能夠靈活運(yùn)用幾何知識和規(guī)律，提出可能的解決方案，并驗(yàn)證其正確性.

④抽象性.圖形規(guī)律問題有時(shí)涉及抽象的圖形變換或圖形序列，學(xué)生需要能夠理解和處理這種抽象性.例如，給定一個(gè)圖形序列，要求學(xué)生找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律繪制下一個(gè)圖形，但序列中的圖形并非常見的幾何圖形.

⑤實(shí)用性.雖然圖形規(guī)律問題通常是以抽象的形式出現(xiàn)，但解決這些問題的方法和思維過程在實(shí)際生活中也具有一定的應(yīng)用性.通過解決這類問題，學(xué)生可以培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、分析問題和解決問題的能力.

（3）解題路徑

圖形的規(guī)律問題具體解題路徑如圖2所示.

具體來看：①理解問題.仔細(xì)閱讀問題，確保理解問題陳述中提到的所有條件和要求.理解問題的關(guān)鍵是確定給定的圖形序列或圖形變換的特點(diǎn)和規(guī)律.②觀察圖形序列.仔細(xì)觀察給定的圖形序列或圖形變換，注意圖形的形態(tài)、大小、位置等方面的變化，嘗試找出其中的規(guī)律性.③尋找規(guī)律.在觀察圖形序列的過程中，尋找圖形的規(guī)律.④驗(yàn)證規(guī)律.通過對圖形序列中的幾個(gè)圖形進(jìn)行驗(yàn)證，確認(rèn)自己找到的規(guī)律是否適用于整個(gè)序列.⑤推測下一個(gè)圖形.基于找到的規(guī)律推測出下一個(gè)圖形的形態(tài).這需要對規(guī)律進(jìn)行推理和歸納，從而確定下一個(gè)圖形的特征.⑥檢查答案.繪制或構(gòu)造出推測的下一個(gè)圖形，然后與原始序列中的下一個(gè)圖形進(jìn)行比較，檢查推測的圖形是否符合規(guī)律，確保推測的圖形與已知的規(guī)律一致.⑦解釋規(guī)律.如果可能的話，嘗試解釋所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.可以嘗試用文字、圖表或其他形式清晰地表達(dá)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并思考這些規(guī)律在數(shù)學(xué)或?qū)嶋H生活中的應(yīng)用.⑧拓展思考.如果時(shí)間允許，可以考慮拓展，探索更復(fù)雜或更抽象的圖形規(guī)律問題，或?qū)⑺鶎W(xué)的規(guī)律應(yīng)用到其他領(lǐng)域或問題中.

3 教學(xué)啟示

3.1 挖掘教材中資源，提高學(xué)生的歸納推理能力

教師要深入挖掘和高效使用教材中的資源，不斷提高學(xué)生的歸納推理能力.具體方式包括：①案例分析.在教材中選擇具有代表性的案例，引導(dǎo)學(xué)生分析案例中的規(guī)律和共性.②圖形分析.利用教材中的圖形問題或案例，讓學(xué)生觀察圖形的特征和變化規(guī)律，從中推斷出規(guī)律性，并進(jìn)行歸納總結(jié).③故事情境.利用教材中的故事情境或?qū)嶋H問題，讓學(xué)生從中提取信息、總結(jié)規(guī)律，并進(jìn)行歸納推理.

3.2 把握不同題型考查要點(diǎn)，加強(qiáng)針對性指導(dǎo)

教師可以引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用各種解題方法，例如數(shù)學(xué)歸納法、遞推法、代數(shù)求解等，針對不同類型的規(guī)律問題選擇合適的方法進(jìn)行解答；在解題過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考類似的問題，通過對比、類比等方式加深對規(guī)律的理解和應(yīng)用，讓學(xué)生在解決一個(gè)問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展思維，進(jìn)而解決更加復(fù)雜或抽象的問題；教師應(yīng)重視學(xué)生解題的思考過程，而不僅僅關(guān)注答案正確與否.鼓勵(lì)學(xué)生詳細(xì)描述解題思路和方法，展示解題的邏輯性和合理性，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決中的思維誤區(qū)和改進(jìn)空間.

3.3 教師加強(qiáng)命題設(shè)計(jì)，提高教學(xué)質(zhì)量

教師在設(shè)計(jì)相關(guān)試題時(shí)應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：①設(shè)計(jì)豐富多樣的規(guī)律問題，涵蓋不同類型的數(shù)列、等式、不等式、圖形序列等.包括基本的等差數(shù)列、等比數(shù)列等，也可以涉及復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系、圖形變換規(guī)律等.②根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和能力，合理設(shè)置問題的難度.命題既要考查基礎(chǔ)知識的掌握情況，又要有一定的拓展性和深度，能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和探索.③設(shè)計(jì)與實(shí)際生活相關(guān)的應(yīng)用性問題，讓學(xué)生將數(shù)與式及圖形規(guī)律與實(shí)際情境相結(jié)合，提高問題解決的實(shí)用性和綜合運(yùn)用能力.④針對不同水平和能力的學(xué)生，設(shè)計(jì)不同難度和類型的問題，以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.