初中數(shù)學課堂教學中數(shù)學思維的培養(yǎng)

[摘? 要] 在不同的背景之下，對數(shù)學思維培養(yǎng)的理解與實施策略也有所不同. 新的課程標準的頒布，以及新課程標準當中對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的強調(diào)，意味著當下的初中數(shù)學教學要想培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，需要站在核心素養(yǎng)的視角，讓核心素養(yǎng)成為數(shù)學思維培養(yǎng)的引導(dǎo)力量，讓數(shù)學思維成為數(shù)學核心素養(yǎng)落地的驅(qū)動力量.? 數(shù)學思維是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的靈魂，能夠幫助學生完成數(shù)學經(jīng)驗的概括與數(shù)學知識的總結(jié). 在培養(yǎng)學生數(shù)學思維的時候，教師給學生創(chuàng)設(shè)的情境、設(shè)計的問題，都應(yīng)當在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，這樣才不會讓學生感受到學習內(nèi)容過淺或過深;教師提供給學生的學習內(nèi)容以及開發(fā)的課程資源，都要與數(shù)學思維密切相關(guān)，不能對學生的學習造成干擾，這樣學生才會順利地加工這些學習內(nèi)容或課程資源，才能讓數(shù)學思維的發(fā)展過程更加順利.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;數(shù)學思維;課堂教學

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在對數(shù)學課程性質(zhì)的表述中，有這樣一段話：數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學的研究對象及其關(guān)系. 同時《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》也強調(diào)，數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用. 這樣的闡述使得數(shù)學學科的一個基本特征進一步得到強調(diào)，那就是數(shù)學應(yīng)當是思維的學科，離開思維的支撐，數(shù)學抽象就無法發(fā)生，也就無法準確確定數(shù)學的研究對象及其關(guān)系，更無法體現(xiàn)促進個人智力發(fā)展的作用.

我國初中數(shù)學教學歷來重視對數(shù)學思維的培養(yǎng)，只不過在不同的背景之下，對數(shù)學思維培養(yǎng)的理解與實施策略有所不同. 《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的頒布，以及當中對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的強調(diào)，意味著當下的初中數(shù)學教學要想培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，需要站在核心素養(yǎng)的視角，讓核心素養(yǎng)成為數(shù)學思維培養(yǎng)的引導(dǎo)力量，讓數(shù)學思維成為數(shù)學核心素養(yǎng)落地的驅(qū)動力量. 本文以人教版初中數(shù)學七年級上冊“立體圖形與平面圖形”的教學為例，來談?wù)労诵乃仞B(yǎng)背景下初中數(shù)學課堂教學中數(shù)學思維的培養(yǎng).

數(shù)學思維培養(yǎng)是數(shù)學課堂的

顯著特征

對于“什么樣的課堂是一節(jié)好的數(shù)學課堂”這一問題，不同的人可能會給出不同的答案. 筆者的理解是，只有數(shù)學思維過程豐富、學生的數(shù)學思維能夠得到很好培養(yǎng)的課堂，才是真正好的數(shù)學課堂. 大量的理論研究與實踐都表明，數(shù)學作為一門綜合性較強的學科，不僅對培養(yǎng)學生邏輯思維有積極影響，而且能培養(yǎng)學生的實踐水平，這是促進學生全面成長的重要因素[1]. 只是當數(shù)學課程改革來到核心素養(yǎng)的大門之前時，數(shù)學課堂更要體現(xiàn)出思維的含量，要讓數(shù)學思維成為核心素養(yǎng)背景下初中數(shù)學課堂的顯著特征. 對此，筆者認為可以從下面幾個方面來理解.

第一，數(shù)學思維是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的靈魂. 新時代背景下的中國建設(shè)需要有素養(yǎng)的人，從素養(yǎng)中提取核心素養(yǎng)可以讓義務(wù)教育有著更加明確的指向性. 將核心素養(yǎng)與學科教學聯(lián)系起來，就形成了學科核心素養(yǎng)，于是我們看到了《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的闡述：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界. 這樣的闡述具有明顯的通俗特征，既表達出了數(shù)學學科核心素養(yǎng)應(yīng)有的學術(shù)內(nèi)涵，又與一線教師的經(jīng)驗有效銜接. 因此，作為一名普通的數(shù)學教師，我們就能推理出這樣的表述背后，隱藏著明顯的數(shù)學思維要素：如果沒有數(shù)學思維，那就不會具有數(shù)學眼光，也無法思考具有數(shù)學意義的現(xiàn)實世界，更無法運用數(shù)學語言去表達現(xiàn)實世界.

第二，數(shù)學思維支撐著學生在課堂上的學習過程. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)依賴學生在課堂上的學習過程，只有有了足夠的時間與空間保證，數(shù)學學科核心素養(yǎng)才能順利落地. 如果說學生在課堂上的顯性學習過程是獲得數(shù)學知識，那么在獲得數(shù)學知識的背后，就是數(shù)學思維得以運用與發(fā)展. 比如數(shù)學學科核心素養(yǎng)所強調(diào)的會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，就涉及如何將現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系以及空間形式提取出來，如何提出有意義的問題等. 可以說數(shù)學抽象、幾何直觀、空間觀念和創(chuàng)新意識都離不開數(shù)學思維. 只有有了數(shù)學思維的牽引，學習才能真正發(fā)生.

第三，數(shù)學思維能夠幫助學生完成數(shù)學經(jīng)驗的概括與數(shù)學知識的總結(jié). 學生的學習過程本質(zhì)上是一個加工并提升經(jīng)驗的過程，是在舊知的基礎(chǔ)上衍生出新知的過程. 通常情況下判斷一個學生在課堂上是否成功學到某個數(shù)學知識，是看學生能不能借助數(shù)學語言去準確地表達數(shù)學概念或者數(shù)學規(guī)律，是看學生能否借助數(shù)學知識去解答數(shù)學習題. 實際上這兩者都與數(shù)學思維有關(guān). 只有借助數(shù)學思維，才能讓舊知與新知發(fā)生更為密切的關(guān)聯(lián)，才能讓學生在理解數(shù)學新知的基礎(chǔ)上用數(shù)學語言概括出新知的特征，并讓新知在新的情境當中加以利用.

綜合以上三點可以確認數(shù)學思維培養(yǎng)是數(shù)學課堂的顯著特征，而相關(guān)的教學實踐，也應(yīng)當圍繞這一認識來進行.

用問題驅(qū)動學生在課堂上的

思維發(fā)展

要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，必須讓學生擁有運用數(shù)學思維來加工所面對的數(shù)學研究對象以及所需要建構(gòu)的數(shù)學知識的空間. 對這句話的理解，有一個永遠都不會過時的比喻，那就是“在游泳的過程當中學會游泳”. 當然，借助這個比喻來理解數(shù)學思維培養(yǎng)時，還有更多的細節(jié)可以挖掘. 比如游泳池的深度是有講究的，如果太淺，那學生會游不起來;如果太深，那學生游泳的時候又會有危險. 這就意味著在培養(yǎng)學生數(shù)學思維的時候，教師給學生創(chuàng)設(shè)的情境、設(shè)計的問題，都應(yīng)當在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，這樣才不會讓學生感受到學習內(nèi)容過淺或過深. 又比如，游泳的時候水一定要干凈，這樣學生的游泳過程才是健康的. 這就意味著在培養(yǎng)學生數(shù)學思維的時候，教師提供給學生的學習內(nèi)容以及開發(fā)的課程資源，都要與數(shù)學思維密切相關(guān)，不能對學生的學習造成干擾，這樣學生才會順利地加工這些學習內(nèi)容或課程資源，才能讓數(shù)學思維的發(fā)展過程更加順利.

問題的設(shè)計是課堂教學的關(guān)鍵. 問題的提出不僅可以點燃學生思維的火花，引起學生求知的欲望，而且能夠啟迪學生的智慧[2]. 對數(shù)學思維的培養(yǎng)而言，可通過問題的精心設(shè)計與提出，來促進學生的思維發(fā)展，并在此過程中促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)順利落地.

“立體圖形與平面圖形”在初中幾何知識當中屬于最基礎(chǔ)的知識，傳統(tǒng)的教學往往會一帶而過，畢竟這部分知識涉及不到太多的考點，學生憑經(jīng)驗也可以完成知識的建構(gòu). 但是如果從數(shù)學思維培養(yǎng)的角度來看這部分知識的教學，就會發(fā)現(xiàn)其中有諸多可以促進學生數(shù)學思維發(fā)展的元素. 如無論是教學內(nèi)容的加工還是相關(guān)結(jié)論的得出，都可以實現(xiàn)借助數(shù)學思維促進核心素養(yǎng)發(fā)展的教學目標. 比如筆者在教學的時候重點設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)：平面圖形和立體圖形的比較.

教材給出立體圖形和平面圖形的概念的時候，說的是“有些幾何圖形的各部分不在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形”“有些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形”. 立體圖形的概念之所以在平面圖形概念之前，是考慮到在學生的經(jīng)驗系統(tǒng)當中，立體圖形非常豐富，學生看到的世界就是立體的. 這一點無可厚非，但是如果從知識邏輯的角度來看，這里又似乎存在問題：無論是立體圖形還是平面圖形，都是借助“一個平面”來進行定義的. 這一定義要想為學生所理解，前提是學生必須對“一個平面”相當熟悉. 那么學生對“一個平面”熟悉嗎？根據(jù)筆者的教學經(jīng)驗，相當一部分學生對借助“一個平面”來定義立體圖形和平面圖形在認識上是有困難的. 且教材在設(shè)計的時候是先給出定義，然后舉出例子，這在客觀上更加加深了學生理解這兩個概念的難度.

要解決這些問題，最好的辦法是向?qū)W生舉出平面物體與立體物體的例子，然后提出問題：請同學們觀察相關(guān)的圖形，然后分類，看看有哪些分類結(jié)果. 初中階段的學生一定聽得懂“分類”，且要成功地進行分類就必須比較這些圖形，而比較又需要標準. 所以當學生面對眼前的立體圖形和平面圖形實例的時候，他們完全可以基于經(jīng)驗去進行比較. 課堂教學表明，學生在比較的時候自然會忽略非數(shù)學因素（如顏色等），只留下數(shù)學因素——主要是圖形的形狀. 但是在描述區(qū)別的時候?qū)W生還是會遇到困難. 比如對于教師所呈現(xiàn)的金字塔，學生固然能夠完成從實物到圖形的抽象（如圖1所示）;學生也能將一面國旗抽象成一個長方形. 但是在描述兩者區(qū)別的時候，學生依然不知道應(yīng)該用怎樣的數(shù)學語言來描述. 他們使用的更多的是生活語言，如“將金字塔看作棱錐，可以看到4個三角形和1個正方形底面”，還有學生能夠說出“棱錐有5個頂點，而長方形只有4個頂點”……盡管學生內(nèi)心都知道兩者的明顯區(qū)別，卻苦于找不到合適的表達方式. 在這種情況下，教師可以進一步提出問題：同學們是否能借助實物來表達自己的意思？筆者在提出這個問題的時候，假裝無意間動了一下講臺上的立體模型. 部分聰明的學生立即有所反應(yīng)，還有學生爭先恐后地跑到講臺前面來，借助模型解釋兩者的區(qū)別在于長方形的四個頂點在同一平面內(nèi)，而棱錐的五個頂點當中最多只有四個在同一平面內(nèi).

當學生有了這一發(fā)現(xiàn)且能夠清晰地表達出來之后，學生的成就感是非常強烈的. 這種成就感意味著前面的思維是有效的，當然也說明這樣的教學方式有效，即運用問題驅(qū)動思維的方式是有效的. 教師第一個問題的提出，使得學生的學習有了明確的指向;第二個問題的提出，使得學生進入“茶壺里煮餃子”的學習狀態(tài). 俗話說“不憤不啟，不悱不發(fā)”，在這種狀態(tài)下采用啟發(fā)式教學，能夠有效打開學生的思維空間，讓學生通過自己的努力——實際上就是數(shù)學思維，來成功地建構(gòu)起對立體圖形和平面圖形的深刻認識. 這樣的學習過程不是簡單地先學習數(shù)學概念，再借助幾個例子來加以佐證，而是有著數(shù)學思維的支撐.

對課堂教學中數(shù)學思維培養(yǎng)的

思考

上面的教學過程，對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展有著重要的促進作用. 筆者最初所舉的例子都是學生生活當中常見的實物，對這些實物進行抽象，就是讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界;其后，通過問題的提出讓學生進入深度思考空間，尤其是借助“比較”這一方法，可以讓學生在充分激活生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上有新的發(fā)現(xiàn);當學生有了新的發(fā)現(xiàn)之后，就必然要用語言來描述自己的發(fā)現(xiàn)，這時學生遇到了困難. 面對這一困難，教師采用新的問題去幫助學生再次打開思維空間，并允許學生用生活語言來描述立體圖形和平面圖形的區(qū)別. 生活語言的好處在于通俗易懂，缺點在于科學性和概括性不強，于是描述的語言必然要向數(shù)學語言轉(zhuǎn)變. 在這種情況下，學生發(fā)現(xiàn)“一個平面”成為區(qū)分平面圖形和立體圖形的關(guān)鍵要素，于是他們自然地利用這一關(guān)鍵要素建構(gòu)起了平面圖形和立體圖形的概念. 從生活語言向數(shù)學語言的過渡，能讓學生學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界. 而兩者之間所對應(yīng)的思維過程，可以理解為用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.

在這樣一個建構(gòu)概念的過程中，數(shù)學思維的培養(yǎng)是不言而喻的，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地是清晰可見的. 這就說明，在當前的初中數(shù)學課堂教學中，理論角度和實踐角度都證實了“基于數(shù)學思維的培養(yǎng)去促進學生建構(gòu)知識，能促成數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地”，所以數(shù)學思維的培養(yǎng)應(yīng)當成為一個重要的教學思路.

參考文獻：

[1]何大勇. 中學數(shù)學課堂中學生創(chuàng)新思維培養(yǎng)路徑分析——評《數(shù)學教學與思維創(chuàng)新的融合應(yīng)用》[J]. 中國教育學刊，2020（11）：146.

[2]徐欣然. 中學數(shù)學課堂問題設(shè)計與思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J]. 教學與管理， 2014（10）：52-54.

作者簡介：彭渭榮（1985—），碩士研究生，高級教師，從事初中數(shù)學教學工作.