精心選編“問題”:較難自招考題的教學(xué)關(guān)鍵

[摘? 要] 高中自主招生考試的訓(xùn)練目前得到不少學(xué)生的關(guān)注，關(guān)于這個方向的備考訓(xùn)練既不同于中考備考，也不等同于競賽輔導(dǎo)，需要教師精確研判當(dāng)?shù)貎?yōu)質(zhì)高中招生考試的命題方向，然后精心選編專題，這樣才能幫助優(yōu)秀學(xué)生在備考過程中“事半功倍”.

[關(guān)鍵詞] 自招考試;選編問題;教學(xué)關(guān)鍵;鋪墊問題

近年來，有些地區(qū)熱點高中在中考前會以創(chuàng)新班、實驗班或火箭班的名義對優(yōu)秀學(xué)生進行招考，通過招考的優(yōu)秀考生會“提前”獲得這些熱點高中的“入門證”，所以不少初中學(xué)校都會為這些優(yōu)秀學(xué)生開展專題備考復(fù)習(xí). 查閱《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）近年來關(guān)于“自主招考”的文獻(xiàn)可見，這個方向的研究成果并不是很豐富. 筆者最近以一道高中自主招考幾何題（下文中的“問題3”）為背景進行專題復(fù)習(xí)，取得了較好的教學(xué)效果. 為了減緩學(xué)生求解這道高中自主招考較難幾何題的難度，我們預(yù)設(shè)了兩個基本問題（問題1、問題2）、然后針對“問題3”的最后一問，預(yù)設(shè)了3個“鋪墊式問題”，最后還設(shè)計了3個小結(jié)問題，安排學(xué)生進行小結(jié)回顧. 本文梳理該課教學(xué)設(shè)計，并給出教學(xué)立意闡釋，以供研討.

圓的幾何綜合題專題課教學(xué)? ? 設(shè)計

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一：基礎(chǔ)熱身

問題1：如圖1所示，四邊形ABCD的頂點在同一個圓上.

（1）這個四邊形的對角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）連接BD，若BD為圓的直徑，則∠A，∠C有什么特殊之處？

（3）延長BC，則∠A與四邊形ABCD在頂點C處的外角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（4）連接AC，BD交于點G，求證：AG·CG=BG·DG.

預(yù)設(shè)意圖問題1能讓學(xué)生鞏固圓的基礎(chǔ)知識. 問題1中的4個問題分別考查了以下基礎(chǔ)知識：圓內(nèi)接四邊形的對角互補、直徑所對的圓周角為直角、圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角、圓的相交弦性質(zhì).

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二：拾級而上

問題2：如圖2所示，兩圓相交于C，D兩點，過點C的直線交兩圓于B，F(xiàn)兩點，過點D的直線交兩圓于A，E兩點.

（1）圖2中能找到哪些角相等？哪些角互為補角？

（2）小明發(fā)現(xiàn)AB，EF之間具有平行關(guān)系，請判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

（3）如圖3所示，E，F(xiàn)兩點的位置發(fā)生變化，請指出AB，EF之間的位置關(guān)系，并說明理由.

（4）如圖3所示，設(shè)AE，BF交于點G，請指出圖3中有哪些三角形相似.

預(yù)設(shè)意圖與問題1相比，問題2給出了兩個圓相交的情形，運用圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)能發(fā)現(xiàn)一些角相等、互補的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)AB，EF的平行關(guān)系，這為進一步得出三角形相似提供了條件.

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三：挑戰(zhàn)難題

問題3：如圖4所示，在△ABC中，M是邊AC的中點，D，E是△ABC的外接圓在點A處的切線上的兩點，滿足MD∥AB，且A是線段DE的中點，過A，B，E三點的圓與邊AC相交于另一點P，過A，D，P三點的圓與DM的延長線相交于點Q.

（1）連接PQ，判斷PQ與BC的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖5所示，設(shè)射線PQ與過A，B，E三點的圓相交于點F，與AB交于點G，連接EF，BF，延長DQ交BC于點N，求證：四邊形BGQN是平行四邊形;

（3）在（2）問的條件下，求證：CQ=BF;

（4）求證：∠BCQ=∠BAC.

預(yù)設(shè)意圖（1）連接PQ，可得∠ADQ=∠APQ;由AB∥DM，可得∠ADQ=∠EAB;由DE是過△ABC外接圓的切線（切點為A），得∠EAB=∠ACB. 于是等量代換后可得∠APQ=∠ACB，所以PQ∥BC.

（2）要證明四邊形BGQN是平行四邊形，可依據(jù)“定義”來證明，即只需找到BG∥QN和GQ∥BN這兩組平行關(guān)系即可. 由已知條件MD∥AB可直接得到BG∥QN，又第（1）問已證出PQ∥BC，所以GQ∥BN. 故問題得證.

（3）要證CQ=BF，關(guān)鍵是要證出四邊形BFQC是平行四邊形. 目前已有條件QF∥BC，現(xiàn)在的關(guān)鍵是再找一個條件，可選擇QF=BC. 由前面“問題2”的求解經(jīng)驗，我們可以先得出EF∥AB∥DQ，結(jié)合A是DE的中點，可得G為FQ的中點;接著，在△ABC中，M是AC的中點，MN∥AB，可得N是BC的中點，再借助四邊形BGQN是平行四邊形，可代換出FQ=BC，從而得到四邊形BFQC是平行四邊形. 于是有CQ=BF.

（4）有了前面幾問的鋪墊，借助四邊形BFQC是平行四邊形，可得∠BCQ=∠BFQ，再借助圓周角性質(zhì)，得∠BFQ=∠BAC，于是有∠BCQ=∠BAC.

4. 教學(xué)環(huán)節(jié)四：小結(jié)回顧

小結(jié)問題1：本課主要是安排大家挑戰(zhàn)最后這道較難題，即挑戰(zhàn)問題3. 如果把問題3前面鋪墊的3個問題都刪掉，則問題3就成為一道較難的自主招考題或競賽題. 請大家回顧一下求解過程，你們覺得問題3中的3個鋪墊問題哪一個最重要，并說說你是如何理解的.

小結(jié)問題2：本課雖然重點研究問題3，但我們前面還是安排了問題1和問題2，你覺得老師這樣設(shè)計的意圖是什么？

小結(jié)問題3：對于問題3，大家還能得出哪些結(jié)論？

預(yù)設(shè)意圖3個小結(jié)問題能帶領(lǐng)學(xué)生全面回顧本節(jié)課所學(xué)“問題”的前后聯(lián)系，特別地，鋪墊的意義還提醒學(xué)生在以后獨立解題時，可以尋找或添補出鋪墊式問題. 如果少數(shù)學(xué)生的幾何解題水平很高，教師還可以安排他們深入探究問題3中第（4）問的其他解法.

教學(xué)立意的進一步闡釋

1. 深度分析自招考題的解題思路——“從何處來”

由于自主招考面向的是優(yōu)秀學(xué)生群體，所以很多自招考題都有較大的難度，甚至有相當(dāng)?shù)谋壤x編自歷屆競賽試題，這些競賽試題往往超出課標(biāo)要求，并且刪減很多鋪墊式問題，使得問題的求解難度很大. 教師針對這些考題進行解題研究時，不能局限于解題思路的貫通、答案的獲取，而要盡可能地想清這些較難題的思路“從何處來”，最好能從教材中找到“源頭活水”. 像上文關(guān)注的問題3就是一道有難度的試題，通過解法分析，發(fā)現(xiàn)它源自教材上圓的內(nèi)接四邊形（如問題1），然后是兩圓相交的一個基本圖形（如問題2）. 從這兩個基本圖形出發(fā)，學(xué)生就可以順利地解決問題3的前3個鋪墊式問題，這就為最難的一問提供了幫助或解法暗示. 值得一提的是，有些解題類自媒體（如微信公眾號）喜歡圍繞某些競賽題進行“一題多解”展示，這當(dāng)然有利于我們感受數(shù)學(xué)解題“殊途同歸”的魅力，但是如果“一題多解”成為不辨優(yōu)劣的“一題濫解”，則對解題教學(xué)的意義不是很大，所以教師應(yīng)該深入分析思路是如何生成的，可以用哪些更初等的方法來分析問題的解法.

2. 預(yù)設(shè)鋪墊式問題幫助學(xué)生“一步一步向上走”

日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾指出數(shù)學(xué)的一大特征是“一步一步向上走”. 筆者認(rèn)為，較難題的教學(xué)也要向?qū)W生傳遞解法是如何漸次展開并“一步一步向上走”的. 對自主招考專題復(fù)習(xí)進行備課時，教師應(yīng)該清楚參加輔導(dǎo)訓(xùn)練的學(xué)生并不全是特別優(yōu)秀的學(xué)生，他們當(dāng)中有相當(dāng)比例的學(xué)生對這些自主招考題的理解還是有困難的，所以為了取得較好的解題教學(xué)效果，教師要預(yù)設(shè)鋪墊式問題，幫助學(xué)生更好地理解這類較難題. 前文所述復(fù)習(xí)課讓更多學(xué)生受益的是，既讓學(xué)生知曉了一道較難自招考題的解法，又能讓參加訓(xùn)練輔導(dǎo)的學(xué)生增強對教材上經(jīng)典問題或基本圖形的深刻理解. 關(guān)于鋪墊式問題的設(shè)計，筆者的經(jīng)驗是先想清楚解法可以如何自然而然地生成，然后從復(fù)雜圖形中分離出最簡潔、基本的圖形，讓學(xué)生做基礎(chǔ)熱身，接著逐漸出現(xiàn)“組合圖形”，探究可能的成果與進展，最后將最難一問的重要步驟以鋪墊式問題呈現(xiàn)（如上文課例問題3中的前3個小問）.

3. 通過“小結(jié)問題”促進學(xué)生學(xué)會回顧與反思

本課例中的課堂小結(jié)也是精心設(shè)計的. 我們通過3個小結(jié)問題組織學(xué)生針對本課所學(xué)內(nèi)容進行全面回顧與反思，讓學(xué)生辨析較難題求解過程中最關(guān)鍵的那些步驟或進展，這既能幫助學(xué)生理解鋪墊問題的價值與意義，又能讓優(yōu)秀的學(xué)生思考“成果擴大”或其他解法，鼓勵他們挑戰(zhàn)自我——“不滿”是向上的車輪. 有些教師經(jīng)常安排學(xué)生圍繞較難題進行解法整理或思路整理，并且以“數(shù)學(xué)寫作”“數(shù)學(xué)隨筆”的形式進行整理，這是很有意義的教學(xué)方法，值得我們學(xué)習(xí). 這里筆者想說的是，解題教學(xué)不能忽略解后回顧、反思環(huán)節(jié). 解后回顧能加深學(xué)生對典型問題關(guān)鍵步驟的理解，能加深學(xué)生對基本圖形及其性質(zhì)的理解和熟悉程度，能讓學(xué)生學(xué)會如何分析較難問題——尋找思路或源頭.

作者簡介：安亞成（1977—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲無錫市數(shù)學(xué)教學(xué)一等獎.