也談數(shù)學表達能力的培養(yǎng)

摘"要：學生只有學會用數(shù)學語言進行思考、交流和解決問題，才能更好地進行個性表達，最終發(fā)展數(shù)學思維。在教學中，培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力的具體舉措包括：從感悟到勾連，豐富表達的方式；從獨立到整體，明確表達的路徑；從需要到運用，彰顯表達的價值。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學表達；方式；路徑；價值

數(shù)學為人們提供了一種描述現(xiàn)實世界的表達方式。數(shù)學語言是數(shù)學思維的載體，承載著數(shù)學的基本思想。學生只有學會用數(shù)學語言進行思考、交流和解決問題，才能更好地進行個性表達，最終發(fā)展數(shù)學思維。在教學中，教師可以通過豐富表達的方式、明確表達的路徑、彰顯表達的價值，來培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力。

一、豐富表達的方式：從感悟到勾連

小學階段的核心素養(yǎng)側(cè)重對經(jīng)驗的感悟?！案小笔强陀^事物通過感覺器官在人腦中的反映，“悟”是理解、明白的意思。如何落實學生對數(shù)學經(jīng)驗的感悟？教師可以在活動中搭建多元化的表達平臺，引導學生有意識地運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實生活中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，在不同的語言形式之間轉(zhuǎn)換和補充，從感悟到勾連，積累活動經(jīng)驗，豐富數(shù)學理解。

例如，在教學蘇教版小學數(shù)學四年級下冊《乘法分配律》一課時，教師引導學生從直觀操作、符號釋義、勾連整合三個層面表達對數(shù)學規(guī)律的理解。

（一）直觀操作

為了使學生理解乘法分配律等號左右兩邊相等的道理，教師設(shè)置了如下自主學習活動：（1）拼一拼。從三個長方形（如下頁圖1所示）中選出兩個，拼成一個大長方形。（2）連一連。將能計算同一個大長方形面積的算式（如下頁圖2所示）連起來。（3）說一說。組內(nèi)交流你的想法。

在動手拼一拼的過程中，學生結(jié)合圖形直觀地發(fā)現(xiàn)：有些長方形可以拼成一個大長方形是因為它們有兩條相同的邊。再結(jié)合“連一連”的活動，學生發(fā)現(xiàn)：相同的邊就是算式中括號外的數(shù)。學生用算式概括面積模型，再用圖形語言解釋算式特征，在操作中充分感受乘法分配律的“分”與“合”，于對比中深化體驗，凸顯思維的形成過程。

（二）符號釋義

為了增強學生的符號意識，教師引導學生用字母來概括等式的相同結(jié)構(gòu)特征，并通過乘法算式的意義以及加法運算律解釋乘法分配律的合理性。

最終整理得到的符號釋義結(jié)果如圖3所示。

從具體算式到歸納運算規(guī)律，是基于實例的符號表達，再用符號運算進行演繹推理，能夠豐富學生的學習經(jīng)驗，提高學生的說理表達能力。

（三）勾連整合

為了讓學生進一步感悟乘法分配律，建立新舊知識之間的聯(lián)系，教師設(shè)置問題，讓學生說一說哪里體現(xiàn)了乘法分配律。問題包括：（1）口算12×3。（2）籃球場的長是28米，寬是15米，它的周長是多少米？（3）四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領(lǐng)24根跳繩，兩個年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？

熟悉的問題可以激發(fā)學生表達的積極性，更方便其將數(shù)學信息轉(zhuǎn)化成數(shù)學表達式，再用文字語言解釋算式意義，讓數(shù)學思維更具象，使知識結(jié)構(gòu)更完整。

從經(jīng)驗到推理再到勾連，一方面，讓學生對數(shù)學事物的表達越來越明確；另一方面，使學生在豐富的感知中體會思維從抽象到具象再到抽象的過程，逐步學會用數(shù)學語言表達自己的想法，解釋現(xiàn)實世界中的數(shù)學規(guī)律。

二、明確表達的路徑：從獨立到整體

數(shù)學知識具有很強的內(nèi)在邏輯，是整體

（a＋b）× c

=（a＋b）＋（a＋b）＋…＋（a＋b）c個

乘法的意義

=a＋a＋…＋ac個＋b＋b＋…＋bc個

加法交換律和加法結(jié)合律

=（a＋a＋…＋a）c個＋（b＋b＋…＋b）c個

加法結(jié)合律

=a×c＋b×c

乘法的意義的、系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)的。但在數(shù)學學習的過程

中，學生頭腦中的知識很多時候是獨立的、零散的，有時還存在模糊雜亂、混淆不清的情況。在課堂教學中，教師應設(shè)置貼近學情的探究活動，引導學生厘清知識的本質(zhì)，明確表達的路徑，形成條理清晰、層次分明的數(shù)學思維。

例如，在教學蘇教版小學數(shù)學四年級下冊《多邊形的內(nèi)角和》一課時，教師引導學生從三角形內(nèi)角和出發(fā)，通過猜想（特殊到一般）、驗證（測量、剪拼和分割）的活動探究多邊形內(nèi)角和，歸納方法，逐步推導得出多邊形的內(nèi)角和公式。具體的表達路徑為：分類對比、建構(gòu)模型、融會貫通。

（一）分類對比

在得到任意四邊形的內(nèi)角和是360°后，教師重點引導學生以分割的方法繼續(xù)研究五邊形和六邊形的內(nèi)角和。在展示學生各種方法的環(huán)節(jié)，如果交流中沒有問題引領(lǐng)，作品獨立呈現(xiàn)，那學生的思考就無法聚焦，表達也會顯得雜亂無章，不利于學生理解不同分法之間的本質(zhì)與聯(lián)系。實際教學中，學生主要呈現(xiàn)了8種分法（如圖4所示）。

教師引導分步驟交流：（1）仔細觀察，你能將這些不同的方法進行分類嗎？（2）為什么有些分法會改變內(nèi)角和？（3）如果繼續(xù)研究七邊形和八邊形的內(nèi)角和，你更愿意選擇哪種方法？

學生的研究視角不同，就產(chǎn)生了不同的分法。在關(guān)鍵問題的引領(lǐng)下，學生通過逐級分類的方式，梳理不同分法背后的道理。然后，教師引導學生結(jié)合分類結(jié)果（如圖5所示）感受：其實，每一種分割方法都是通過轉(zhuǎn)化得到結(jié)果，存在相同的思維模式。進而，探索出以“三角形的內(nèi)角和為180°”作為計量標準，把多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成若干個三角形內(nèi)角和的計算方式。從解決問題的角度，條理化地表達符合知識的生長性，便于建構(gòu)普適的數(shù)學模型；從思維發(fā)展的角度，結(jié)構(gòu)化地表達更容易把握數(shù)學探究對象的整體性，使思維走向深入。

（二）建構(gòu)模型

在研究“三角形的內(nèi)角和”時，學生主要通過測量、折拼、剪拼的方法，把不同位置的3個內(nèi)角想方設(shè)法合起來。雖然操作的路徑不一樣，但“分與合”的數(shù)學思想一脈相承。于是，在探索“四邊形的內(nèi)角和”時，學生也嘗試運用測量、剪拼的方法，并在“分與合”思想的驅(qū)動下，衍生出分割的方式，從而簡潔地表達出思考過程，得到運算結(jié)果。從具身操作到比較優(yōu)化最終形成計算模型，不同的分割方式表達了相同的“分與合”體悟。這種真實的經(jīng)歷更能激發(fā)學生用數(shù)學語言表達方法背后的數(shù)學思想，而數(shù)學模型的建構(gòu)也會在無形中滋養(yǎng)學生的思維。

（三）融會貫通

在研究“四邊形的內(nèi)角和”時，學生是從長方形和正方形的內(nèi)角和出發(fā)，猜測任意四邊形的內(nèi)角和，再加以驗證，這是從特殊到一般的論證過程。在探究“多邊形的內(nèi)角和”時，教師以表格的方式出示結(jié)果（見表1），使學生從關(guān)注具體圖形到發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律，體現(xiàn)了從簡單到復雜的有序思考過程。搭建這樣的學習框架，有助于增強學生合乎邏輯的表達能力，在表達中遷移經(jīng)驗，培養(yǎng)高階的數(shù)學思維。

數(shù)學教學要關(guān)注知識、方法和能力的形成過程。因此，教師需要理清知識線索，整體貫通地設(shè)計表達路徑，從個體方法到系統(tǒng)呈現(xiàn)，從點狀分布到線面關(guān)聯(lián)。學生真實地體驗、自主地表達，才能實現(xiàn)方法的遷移、優(yōu)化、勾連和沉淀，驅(qū)動數(shù)學思想的內(nèi)化，實現(xiàn)數(shù)學思維的進階。

三、彰顯表達的價值：從需要到運用

數(shù)據(jù)表達是分析事物發(fā)展情況的一種量化形式。強化基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，可以幫助學生積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、聯(lián)系和規(guī)律的活動經(jīng)驗，形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質(zhì)。

例如，在教學蘇教版小學數(shù)學六年級上冊《百分數(shù)的認識》一課時，教師從基于需要、整體認知、分析應用三個方面體現(xiàn)數(shù)學表達的意義與價值。

（一）基于需要

為了讓學生產(chǎn)生統(tǒng)計需要，體會統(tǒng)一標準的重要性，教師設(shè)計了質(zhì)量檢驗部門對不同品牌口罩抽樣檢測的情境。

教師分步出示表2：先出示三種品牌的合格數(shù)量，發(fā)現(xiàn)只看一組數(shù)據(jù)不能得出哪個品牌最好；再出示抽查數(shù)量，進行比較，發(fā)現(xiàn)只比不合格的數(shù)量不合理，關(guān)鍵要找到合格數(shù)量與抽查數(shù)量的關(guān)系。

在分析數(shù)據(jù)時，學生的數(shù)學感覺與思維產(chǎn)生碰撞，體會到由絕對到相對的過程?！鞍俜謹?shù)”的出現(xiàn)，將數(shù)量關(guān)系與比較結(jié)果表達得既直觀又方便?；诮y(tǒng)計需求的數(shù)據(jù)表達，能幫助學生自主建構(gòu)知識，鍛煉思維的深刻性。

（二）整體認知

百分數(shù)的價值在于其能精準表達兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系。為了深化對百分數(shù)的理解，規(guī)范百分數(shù)意義的語言表達模型，感受百分數(shù)對于描述數(shù)據(jù)的作用，溝通百分數(shù)與分數(shù)、比的聯(lián)系，教師設(shè)計了有關(guān)電池電量的實際問題。

例題"（1）你能看懂圖6中這些電池電量的情況嗎？從圖中你能看到哪些百分數(shù)？

（2）它表示什么含義？（用“""是""的百分之幾”這樣的句式回答）

（3）你還能看出哪些數(shù)學信息？

數(shù)學來源于生活，圍繞電池電量圖展開的教學為百分數(shù)的表達找到了現(xiàn)實支點。從數(shù)學模型、語言模板、關(guān)聯(lián)舊知三個方面整體建構(gòu)對百分數(shù)意義的理解與表達，促使學生在對已有認知的同化和順應中不斷發(fā)展數(shù)學思維。

（三）分析應用

統(tǒng)計的研究對象是隨機數(shù)據(jù)，教學百分數(shù)的統(tǒng)計意義時要讓學生知道現(xiàn)實世界中隨機現(xiàn)象是普遍存在的，感受隨機數(shù)據(jù)的特征以及表達隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小。因此，教師在教學中加入了“拋硬幣”的活動：小組合作，每人各拋10次，記錄正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)，并嘗試計算出相應的百分比。小組合作完成活動后，教師引導學生把個人數(shù)據(jù)、小組數(shù)據(jù)、全班數(shù)據(jù)綜合對比，發(fā)現(xiàn)百分比越來越接近50%，最后呈現(xiàn)科學家試驗的數(shù)據(jù)（如表3），進一步引導學生觀察、思考和發(fā)表觀點。

統(tǒng)計的思維就是用部分數(shù)據(jù)推斷總體情況，在刻畫不確定事件時，這種根據(jù)數(shù)據(jù)作出推斷的方式就是統(tǒng)計的本質(zhì)。在“拋硬幣”試驗中，通過大數(shù)據(jù)的試驗，可以發(fā)現(xiàn)硬幣正面朝上或反面朝上出現(xiàn)的可能性在50%附近波動，從而理解“50%”的統(tǒng)計意義，感受比賽中用拋硬幣來決定順序的公平性，體會數(shù)據(jù)表達對現(xiàn)實生活的決策價值，讓思維更有內(nèi)涵。

從對數(shù)據(jù)統(tǒng)計的需要到數(shù)據(jù)分析的運用，百分數(shù)的價值體現(xiàn)為能簡潔準確地對數(shù)據(jù)進行刻畫與表達，并幫助人們作出判斷。學生完整經(jīng)歷了用數(shù)據(jù)解決問題的過程，逐步形成用數(shù)據(jù)表達與交流的意識，數(shù)學思維也隨之不斷提升。