數(shù)學(xué)幾何直觀的內(nèi)涵、價(jià)值與培養(yǎng)策略

摘" 要" 幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。幾何直觀依托、利用圖表進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖表而進(jìn)行的抽象和思維能力。幾何直觀是形象思維在數(shù)學(xué)中的重要表現(xiàn)形式，也是一種有效的教學(xué)方法，有助于豐富學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)、幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系和發(fā)展學(xué)生空間想象能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)通過(guò)強(qiáng)化學(xué)生幾何認(rèn)知、幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)圖、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)變換和培養(yǎng)學(xué)生策略意識(shí)等方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何直觀素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞" 小學(xué)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；幾何直觀；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類(lèi)號(hào)" G623.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼" A

文章編號(hào)" 2095-5995（2024）06-0053-03

幾何直觀是一種重要的思維方式，是學(xué)生適應(yīng)未來(lái)社會(huì)必不可缺的關(guān)鍵能力之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)之一，其中，在義務(wù)教育階段，《課程標(biāo)準(zhǔn)》把“幾何直觀”列入“數(shù)學(xué)眼光”的重要構(gòu)成內(nèi)容。［1］幾何直觀能把抽象的、說(shuō)理性的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象具體、通俗易懂，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。本文在深度闡釋幾何直觀的內(nèi)涵、分析幾何直觀的價(jià)值基礎(chǔ)上，闡述教師在日常教學(xué)實(shí)際中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的教學(xué)策略。

一、幾何直觀的內(nèi)涵解讀

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)幾何直觀的解釋較為簡(jiǎn)單和籠統(tǒng)，認(rèn)為幾何直觀主要是指“運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣”［2］。在這里，筆者認(rèn)為，要全面解讀幾何直觀的涵義，需要對(duì)“幾何”和“直觀”分別進(jìn)行闡述。幾何，可以理解為圖表，其中圖包括點(diǎn)、線、面和體，表則是反映數(shù)量關(guān)系的一種常見(jiàn)呈現(xiàn)形式。筆者認(rèn)為，在實(shí)際的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，幾何主要就是借助實(shí)際的實(shí)物學(xué)具，幫助學(xué)生搭建“具體”到“抽象”的橋梁，然后將實(shí)物轉(zhuǎn)化成圖表，再通過(guò)圖表去分析思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而建立初步的空間觀念。直觀則是在已有的空間觀念基礎(chǔ)上，利用這些抽象出來(lái)的圖表去分析思考問(wèn)題，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。這里的直觀不僅僅是指學(xué)生通過(guò)視覺(jué)看到事物，或借助觸覺(jué)感受到事物，更重要的是學(xué)生利用看到的事物和接觸到的事物進(jìn)行抽象和思維。綜合起來(lái)，幾何直觀就是學(xué)生依托、利用圖表對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象和思維，從而形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)全面而深刻的理解，最終表現(xiàn)出來(lái)的是一種依靠圖表而進(jìn)行抽象和思維的能力。

實(shí)際上，幾何直觀并不是虛幻無(wú)物的，而是具體真實(shí)的，與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容緊密聯(lián)系在一起。［3］比如，數(shù)學(xué)課程中很多重要的知識(shí)內(nèi)容都具有“雙重性”特征，也就是說(shuō)，這些知識(shí)內(nèi)容既可以通過(guò)“數(shù)”來(lái)表達(dá)，又可以通過(guò)“形”來(lái)呈現(xiàn)。如果教師僅從某一個(gè)方面去引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)內(nèi)容，學(xué)生可能會(huì)受限于他們的現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維發(fā)展水平等而產(chǎn)生知識(shí)理解偏差，或出現(xiàn)難以深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的問(wèn)題。但從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度同時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)更好地理解這些知識(shí)內(nèi)容，并掌握它們的深層意義。也就是說(shuō)，學(xué)生幾何直觀能力的形成，需要借助“數(shù)形結(jié)合”的思想去理解知識(shí)，探尋解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法和策略。

二、幾何直觀的價(jià)值審視

幾何直觀是形象思維在數(shù)學(xué)中的重要表現(xiàn)形式，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中發(fā)揮著極其重要的作用。［4］正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要的、可能有意義的和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念、方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！惫P者認(rèn)為，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀發(fā)揮的作用主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：

（一）有助于豐富學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)

小學(xué)生正處于以形象思維為主的認(rèn)知階段，在學(xué)習(xí)那些具有高度系統(tǒng)化、抽象化和結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，他們通常會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)知識(shí)難度較大，因此容易對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感到枯燥無(wú)味。在實(shí)際教學(xué)中，我們可以輕易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生借助熟悉的、直觀的圖表學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能夠產(chǎn)生輕松愉快的心情，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。實(shí)際上，幾何直觀就是幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)新知、獲得良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種有效思維方式。在幾何直觀的幫助下，學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)物到抽象的建構(gòu)過(guò)程，可以深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步發(fā)展抽象思維和邏輯思維能力。［5］例如，對(duì)于三角形、正方形和長(zhǎng)方形等圖形的周長(zhǎng)教學(xué)，教師可以利用畫(huà)圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知線段具有的可加性特征，自主探索三角形、正方形和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)問(wèn)題。在此之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主探索這三種圖形的周長(zhǎng)之間存在的關(guān)系，歸納出長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算公式。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，簡(jiǎn)化了抽象知識(shí)本身的難度，優(yōu)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣起到了重要的作用。

（二）有助于幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系

在小學(xué)階段，學(xué)生碰到的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，都需要通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系、列出數(shù)量關(guān)系式的方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。但在實(shí)際中，我們很容易發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生的抽象思維存在發(fā)展滯后問(wèn)題，如果教師不借助有效的手段對(duì)數(shù)量關(guān)系加以解釋說(shuō)明，學(xué)生很難認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，導(dǎo)致不能有效解決遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題。借助幾何直觀，學(xué)生能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的、容易理解的圖表聯(lián)系起來(lái)，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生能直接感知的具體形象，從而理清問(wèn)題背后的數(shù)量關(guān)系，找到解決問(wèn)題的具體辦法。例如，在教學(xué)圓柱的體積時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式。在教學(xué)過(guò)程中，教師一般需要利用“化曲為直”和“極限”的數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)體積計(jì)算公式。具體來(lái)說(shuō)，教師可以通過(guò)動(dòng)畫(huà)視頻呈現(xiàn)圓柱切拼成長(zhǎng)方體的過(guò)程，模擬出切拼過(guò)程中展現(xiàn)的“極限”思想。這樣的直觀教學(xué)，能夠讓學(xué)生輕易理解圓柱和長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，從而讓推導(dǎo)圓柱體的體積計(jì)算公式變得不再困難。在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生借助幾何直觀可以準(zhǔn)確分析問(wèn)題，找到問(wèn)題背后的數(shù)量關(guān)系，在推導(dǎo)數(shù)量關(guān)系式的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的有效解決。

（三）有助于發(fā)展學(xué)生空間想象能力

幾何直觀和空間想象能力有著密切的聯(lián)系，其對(duì)空間想象能力的形成和發(fā)展有著十分重要的作用。空間想象是抽象思維的基本構(gòu)成之一，也就是說(shuō)，幾何直觀對(duì)于提升學(xué)生的抽象思維能力，促進(jìn)學(xué)生透過(guò)表象抓本質(zhì)，逐步走向?qū)χR(shí)的深刻認(rèn)識(shí)和理解有著重要的意義。義務(wù)教育階段是學(xué)生空間想象能力形成的關(guān)鍵時(shí)期，教師應(yīng)充分利用幾何直觀的思想方法，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。具體來(lái)說(shuō)，教師可以依托數(shù)學(xué)課程中“圖形的位置和運(yùn)動(dòng)”教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合日常生活中常見(jiàn)的圖形運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，加深對(duì)數(shù)學(xué)課程中空間概念相關(guān)知識(shí)的理解和內(nèi)化，感受平移、旋轉(zhuǎn)等簡(jiǎn)單圖形空間位置變化所產(chǎn)生的空間關(guān)系，能對(duì)抽象的數(shù)學(xué)計(jì)算公式或數(shù)量關(guān)系等賦予具體的幾何意義，從而逐步增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念，形成量感和邏輯思維能力。例如，對(duì)于圖形的位置教學(xué)，教師可以結(jié)合班級(jí)學(xué)生的座位安排情況等熟悉的情境，引導(dǎo)學(xué)生借助方格紙上的點(diǎn)，用有序數(shù)對(duì)表示具體的位置；對(duì)于圖形的運(yùn)動(dòng)教學(xué)，教師可以借助日常生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象，如運(yùn)動(dòng)中的風(fēng)車(chē)、旋轉(zhuǎn)木馬等，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出這些事物的簡(jiǎn)單圖形，并描述這些圖形平移、旋轉(zhuǎn)后有什么樣的特征，感受圖形變化所帶來(lái)的“數(shù)學(xué)之美”。

三、基于幾何直觀的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

（一）強(qiáng)化學(xué)生幾何認(rèn)知

幾何認(rèn)知是形成幾何直觀素養(yǎng)的前提和基礎(chǔ)。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)加強(qiáng)對(duì)幾何實(shí)體物品或?qū)W具的使用力度，加深學(xué)生對(duì)幾何的理解和感悟。例如，在對(duì)“圖形與幾何”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可以為學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)幾何形狀的實(shí)體物品，并對(duì)這些物品在生活中的實(shí)際運(yùn)用進(jìn)行解讀，以此加深學(xué)生對(duì)于幾何的認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)行延伸和拓展，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些幾何物品的類(lèi)似物品進(jìn)行想象，以此培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。教師通過(guò)利用實(shí)際幾何物品或?qū)W具進(jìn)行教學(xué)，不僅能夠使學(xué)生理解不同的幾何圖形，還可以降低抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)帶來(lái)的學(xué)習(xí)難度，加深學(xué)生對(duì)于幾何知識(shí)的認(rèn)知和理解，從而鍛煉學(xué)生幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生思維素養(yǎng)。

（二）幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)

幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的、有意識(shí)的訓(xùn)練，在教師的幫助下逐漸積累起豐富的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)幾何直觀的真正價(jià)值，進(jìn)而形成一種穩(wěn)定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通常來(lái)說(shuō)，教師可以通過(guò)以下兩種具體方法幫助學(xué)生積累幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)。一是引導(dǎo)學(xué)生“借形觀數(shù)”。具體來(lái)說(shuō)，這種方法就是教師借助圖表的形式直觀解釋一些較為抽象的數(shù)學(xué)概念與算法等。例如，教師可以利用平均分割的圓形來(lái)解釋分?jǐn)?shù)和比的概念，利用正方形和長(zhǎng)方形拼接的方式解析完全平方公式和平方差公式原理，等等。二是啟發(fā)學(xué)生“以數(shù)解形”。具體來(lái)說(shuō)，這種方法就是教師通過(guò)給圖形確定度量單位，并賦予每個(gè)圖形一個(gè)數(shù)量，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)這些圖形探究它們背后的數(shù)量關(guān)系，從而更深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會(huì)經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)值和數(shù)學(xué)方法（如乘法）來(lái)解決與形狀（如矩形）相關(guān)的問(wèn)題（如面積）。

（三）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)圖

幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開(kāi)畫(huà)圖，通過(guò)畫(huà)圖可以將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象的問(wèn)題圖形化，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程變得直觀。［6］因此，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)圖，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)起到了重要的作用。首先，數(shù)學(xué)教材在編排上具有較強(qiáng)的直觀性特點(diǎn)（內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、色彩的選擇等都有著很強(qiáng)的直觀性），教師可以依托教材有意識(shí)地將所要講解的問(wèn)題借助圖形直觀化，讓學(xué)生形成初步的依托圖形進(jìn)行表征的心理傾向。其次，教師在教學(xué)中要做好示范，在引導(dǎo)學(xué)生思考、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)多采取畫(huà)圖的方式進(jìn)行內(nèi)容呈現(xiàn)，讓學(xué)生真正體驗(yàn)到畫(huà)圖在理解概念、尋找解題思路等方面帶來(lái)的益處，從而潛移默化地影響學(xué)生。最后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的畫(huà)圖技巧，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用畫(huà)圖策略的能力，即能對(duì)解決不同題型的問(wèn)題時(shí)所運(yùn)用的畫(huà)圖策略進(jìn)行歸納，達(dá)到合理運(yùn)用，舉一反三，從而通過(guò)畫(huà)圖策略提升幾何直觀素養(yǎng)。

（四）指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)變換

利用幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形是培養(yǎng)幾何直觀的重要方法。實(shí)際上，幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)不僅是《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的、學(xué)生需要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，還是一種幫助學(xué)生有效理解數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問(wèn)題的思維方式。一方面，在小學(xué)階段，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸到的圖形多是對(duì)稱(chēng)圖形，例如，數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)的平面圖形（如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形等）、立體圖形（如長(zhǎng)方體、圓柱、球等）、實(shí)物圖形（如汽車(chē)、熊貓、天壇）多屬于對(duì)稱(chēng)圖形。另一方面，教師在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)不對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，往往以對(duì)稱(chēng)圖形的探究為基礎(chǔ)組織相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)拓展延伸教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生理解不對(duì)稱(chēng)圖的性質(zhì)和特點(diǎn)。因此，在教學(xué)時(shí)，教師可以通過(guò)幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)這些圖形。例如，在對(duì)“圖形的運(yùn)動(dòng)”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可以利用視頻、動(dòng)圖的形式進(jìn)行實(shí)時(shí)展示，幫助學(xué)生更加直觀地認(rèn)識(shí)不同圖形在運(yùn)動(dòng)后所呈現(xiàn)的新圖形或狀態(tài)表現(xiàn)。這種方式能夠有效加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何圖形相關(guān)概念的印象和理解記憶，從而提高學(xué)生對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)理解程度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

（五）培養(yǎng)學(xué)生策略意識(shí)

在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生以自己喜歡、易理解的幾何直觀方式來(lái)刻畫(huà)自己的思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考同一個(gè)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)各種方法進(jìn)行區(qū)分比較，發(fā)現(xiàn)不同方法之間的區(qū)別與聯(lián)系。幾何直觀的培養(yǎng)是一個(gè)過(guò)程，借助幾何直觀解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)貫穿教學(xué)的始終［7］，因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)有意識(shí)地進(jìn)行滲透，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需要，幫助學(xué)生經(jīng)歷幾何直觀的過(guò)程，促使學(xué)生對(duì)幾何直觀有著更為深刻的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的策略意識(shí)。例如，在“圖形與幾何”教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)立體圖形有深入的了解，掌握其特性，并對(duì)點(diǎn)、線、面的相互關(guān)系有深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)幫助學(xué)生積累觀察圖形和思考問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，從而讓學(xué)生逐步建立對(duì)空間的想象圖式和初步的幾何直觀思想。以此為基礎(chǔ)，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出一些常見(jiàn)的立體圖形的周長(zhǎng)、面積和體積等的計(jì)算公式，并掌握相應(yīng)的數(shù)理計(jì)算方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的量感和推理意識(shí)。

（孫霞，濟(jì)南市章丘區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，濟(jì)南 250200）

參考文獻(xiàn)：

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［4］ 王飛，于蓉.指向幾何直觀素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)［J］.課程教學(xué)研究，2024（3）：86-91.

［5］ 周存蘭.加強(qiáng)多元表征策略研究，提升幾何直觀核心素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（4）：40-41.

［6］ 林美.借“畫(huà)圖”之力，培養(yǎng)幾何直觀［J］.福建教育，2023（32）：56-58.

［7］ 汪洋，孫紅偉.培養(yǎng)模型意識(shí) 發(fā)展幾何直觀——“解決問(wèn)題的策略——列舉”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2024（10）：37-39.

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