信息化賦能數(shù)學(xué)探究，項目式提升育人價值

周遠(yuǎn)方　張利

摘要：在“正方體截面的探究”活動中，教師采用信息化教學(xué)和項目式學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式，合理地使用信息技術(shù)幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)直觀，引導(dǎo)學(xué)生對正方體的截面特征、做法和性質(zhì)進行深入探究，讓學(xué)生在真實的問題情境中感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可視化展示探究全過程。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)探究深度融合，促進了信息技術(shù)的精準(zhǔn)使用、項目教學(xué)的精細(xì)實施和探究成果的精彩展示，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究活動的育人價值。

關(guān)鍵詞：正方體截面；數(shù)學(xué)探究；信息技術(shù)；項目式學(xué)習(xí)；育人價值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）將數(shù)學(xué)探究活動與數(shù)學(xué)建模活動列為課程主題之一。數(shù)學(xué)探究活動的重要性不言而喻。但是，教師在設(shè)計與開展數(shù)學(xué)探究活動時，對教學(xué)不夠重視，普遍存在實踐經(jīng)驗不足、信息技術(shù)缺乏、示范課例較少等問題?；诖?，中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會在第十屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動中，選取課程標(biāo)準(zhǔn)中的第11個課例“正方體截面的探究”作為指定課題，并明確給出了如下的內(nèi)容要求和教學(xué)提示。

內(nèi)容要求：綜合利用基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征、基本圖形位置關(guān)系中的結(jié)論、定理，引導(dǎo)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、證明正方體截面的形狀、大小等的變化規(guī)律，積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗。

教學(xué)提示：這是一項數(shù)學(xué)探究活動，學(xué)生可以在一節(jié)課中完成其中的一部分，用課余時間獨立完成整個探究任務(wù)，并撰寫報告。教師可以重點展示課堂上的探究部分，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，并根據(jù)當(dāng)?shù)貤l件采取不同方式進行探究。探究的難點是分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或者一定不存在。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生操作、觀察，進而猜想、證明結(jié)論，在逐漸深入的探究過程中，提高發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力，在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，積累數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗。

上述內(nèi)容要求與教學(xué)提示，特別強調(diào)將信息技術(shù)融合到創(chuàng)設(shè)探究情境、開展探究活動和提煉探究方法等環(huán)節(jié)之中，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)重視信息技術(shù)應(yīng)用的宗旨，有效指導(dǎo)了數(shù)學(xué)探究活動的實施。

在“正方體截面的探究”的同課異構(gòu)中，山西省實驗中學(xué)教師張永剛（執(zhí)教“課例1”）和湖北省宜昌市第一中學(xué)教師李智偉（執(zhí)教“課例2”）表現(xiàn)尤為出色。兩位教師按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，充分發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，共同演繹了兩節(jié)數(shù)字化探究正方體截面的范例，獲得好評。有興趣的讀者可參閱課例1^[1]和課例2^[2]的教學(xué)設(shè)計。筆者結(jié)合這兩個課例，介紹利用信息技術(shù)開展探究活動的方法并給予具體評價。

一、借助信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)問題情境，實現(xiàn)項目式學(xué)習(xí)的深度探究

怎樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究活動教學(xué)的精準(zhǔn)化、高效化和個性化？如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)探究活動的教、學(xué)、評一體化？針對這些問題，在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動中，教師應(yīng)將信息技術(shù)作為引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的重要輔助手段，搭建學(xué)生、教師和技術(shù)之間相互交流的平臺，為學(xué)生探究提供豐富的資源。

兩個課例，教師十分重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)探究的深度融合，采用“直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算”的探究策略，開展了基于信息技術(shù)進行項目式學(xué)習(xí)的實踐探究。兩個探究活動非常成功，不僅設(shè)計合理、任務(wù)安排得當(dāng)、探究特點鮮明，而且實施有序、展示成果豐厚、個性特點突出，展現(xiàn)了數(shù)字化探究正方體截面的全過程。兩位教師都針對學(xué)生的探究活動設(shè)計了信息化與項目式相結(jié)合的學(xué)習(xí)流程（如圖1），放手讓學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，借助信息技術(shù)共同分析問題和解決問題，為數(shù)學(xué)探究活動的教學(xué)提供了有效的實施路徑。

課例1中，教師讓學(xué)生課前用GeoGebra軟件或幾何畫板等工具制作了“正方體的截面”課件^[3]。學(xué)生在此過程中，學(xué)會了運用計算機輔助教學(xué)（CAI）的復(fù)合、分解等手段，對圖形進行分割、疊加、拼湊，使得截面變化更加形象直觀。制作者利用信息技術(shù)工具動態(tài)演示，將不同圖形在各種位置的變化過程淋漓盡致地演示出來，簡明直觀，令人印象深刻。

為幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)探究能力，將學(xué)生從模仿者逐步培養(yǎng)成為探索者，課例2中的教師實施本原性問題驅(qū)動下的探究式教學(xué)，即選取正方體截面中的本原性問題為引子，模擬數(shù)學(xué)家做數(shù)學(xué)研究的情境，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)、分析和解決的過程，回歸探究的本真。教師按“選題、開題、做題、結(jié)題”四環(huán)節(jié)組織探究活動，上課前期下發(fā)“正方體截面探究的項目學(xué)習(xí)任務(wù)單”給學(xué)生，要求學(xué)生借助信息技術(shù)思考并完成探究任務(wù)。四項探究任務(wù)分別為：截面有沒有可能是直角三角形；截面有沒有可能是直角梯形；截面有沒有可能是正五邊形；截面有沒有可能是正六邊形。教師將全班分成幾個小組，要求各組安排時間集中研討，完成選題和開題的活動任務(wù)，接受中期檢查，完成課題。教師將學(xué)生自主探究任務(wù)置于課前，確保學(xué)生有充足的探究時間，提高了探究質(zhì)量；將探究過程融入“問題鏈＋任務(wù)單”的情境活動中，課堂上以結(jié)題和交流為主，以信息技術(shù)輔助展示為輔，提升了探究效果。

教師設(shè)計項目學(xué)習(xí)任務(wù)單有助于學(xué)生進行可視化觀察與操作，形成猜想，證明結(jié)論。探究教學(xué)的前提是如何讓學(xué)生真實探究，這也是教師設(shè)計探究活動的依托。這兩個課例中，教師引導(dǎo)學(xué)生開展項目式學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

二、借助信息技術(shù)直觀感知截面，實現(xiàn)探究途徑的多樣化

教師讓學(xué)生借助信息技術(shù)觀察正方體截面形狀的動態(tài)變化過程，有助于激發(fā)學(xué)生對探究活動的興趣。從探究方法來看，兩個課例的執(zhí)教者都是讓學(xué)生利用信息技術(shù)工具，先操作觀察，再猜想證明，最后獲得結(jié)論，遵循研究一個數(shù)學(xué)對象的一般路徑（事實—發(fā)現(xiàn)—猜想—論證），采用多樣化的探究方式，尤其是融合幾何畫板等數(shù)字化工具對正方體截面圖形進行動態(tài)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生探究。

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)探究的深度融合，既可以有效減少學(xué)生的機械想象、重復(fù)運算和低階思維現(xiàn)象，又能夠適當(dāng)增加學(xué)生的算法思想、模型思想和高級思維活動，還能夠更好地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想和驗證結(jié)論。兩位教師都十分注重將技術(shù)與探究有機結(jié)合，充分發(fā)揮信息技術(shù)在可視化分析截面形狀、動態(tài)化呈現(xiàn)截面變化和直觀化探究截面性質(zhì)等方面不可替代的作用。

例如，在課例1中，學(xué)生利用GeoGebra軟件探究，發(fā)現(xiàn)連接正方體各棱中點的截面正好為正六邊形的情形，進而再利用基本事實進行推理論證。又如，在課例2中，學(xué)生借助手持圖形計算器，展示了截面圖形在正方體表面投影形狀的變化，較好地實現(xiàn)了抽象思維過程可視化。

探究活動中，信息技術(shù)的恰當(dāng)使用，有效地拓展了探究方式，優(yōu)化了學(xué)生觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理、論證、體驗和實踐等系列化探究的過程，提升了數(shù)學(xué)探究的效率、質(zhì)量和育人功能。

三、借助信息技術(shù)探究截面性質(zhì)，實現(xiàn)研究成果的可視化

教師采用項目式學(xué)習(xí)的方式教學(xué)，利用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生探究正方體的截面問題，有助于激活學(xué)生的理性思維，得到富有價值的探究成果。兩個課例的成果匯報展示表明，學(xué)生不僅給出了具有廣泛價值的結(jié)論，而且給出了具有推廣深度的結(jié)論，超出預(yù)期，非常精妙，說明了信息技術(shù)對學(xué)生提升研究能力與創(chuàng)新意識有加持作用。

例如，在課例1的成果展示活動中，為完成第2個探究任務(wù)，學(xué)生使用GeoGebra動態(tài)跟蹤軌跡功能，演示截面為三角形和四邊形的各種情形，并經(jīng)過探究，利用基本事實證明了“截面不可能是直角梯形”的結(jié)論。又如，在探究是否存在平面與正方體每條棱所在直線所成的角相等時，學(xué)生借助GeoGebra先找出棱GF、GH、GC與底面FGH所成的角相等，再利用GeoGebra動態(tài)跟蹤軌跡功能，模擬平面與正方體相截的過程，觀察與截面FCH平行的平面系（如圖2），直觀地感受和認(rèn)知。

再如，在探究正方體所得截面面積何時最大時，教師引導(dǎo)學(xué)生按照從特殊到一般的思路，先直觀比較正三角形、菱形、矩形、正六邊形等幾個特殊圖形的截面面積的大小，再考慮一般意義的截面面積取得最大值的各種情形，最后讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)運算和邏輯推理得出截面為矩形時面積最大，即任意一個平面截正方體所得截面面積的最大值為棱長的倍。

教師將引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)深度探究正方體截面作為一條主線，有利于學(xué)生在直觀中學(xué)會抽象、在探究中學(xué)會提煉、在推理中學(xué)會表達(dá)。

四、借助信息技術(shù)推進探究過程，實現(xiàn)育人價值的智能化

兩個課例中，教師均借助信息技術(shù)推進探究過程，圍繞正方體截面的探究要求，讓學(xué)生自主確定探究課題、設(shè)計探究思路、選擇探究方法，讓信息技術(shù)、動手操作和數(shù)學(xué)實驗伴隨探究活動的全過程，突出了學(xué)生的主體地位，改變了滿堂講、滿堂問、滿堂練的教學(xué)模式，充分發(fā)揮了信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)探究的價值功能。

教師利用信息技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生在項目式學(xué)習(xí)活動中探究，將探究問題聚焦在學(xué)生的興趣點上，能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心、想象力和探究欲，培育學(xué)生的探究意識、創(chuàng)新精神和實踐能力。兩個課例中，信息技術(shù)運用之巧、項目式學(xué)習(xí)方法之妙、探究活動成效之好，都達(dá)到了新的高度。各種信息技術(shù)和數(shù)學(xué)實驗交融，讓學(xué)生如身臨其境全程參與，凸顯了數(shù)學(xué)探究活動的跨學(xué)科育人價值，實現(xiàn)了教學(xué)的個性化、高效化和智能化。

總之，在數(shù)學(xué)探究活動教學(xué)中，教師合理地使用信息技術(shù)，可以有效地幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)直觀，提升理性思維，讓學(xué)生在問題情境中，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，養(yǎng)成數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。

參考文獻

[1] 張永剛．“興趣”引領(lǐng)，“項目”實施——“正方體截面的探究”教學(xué)設(shè)計與反思[J].中國數(shù)學(xué)教育，2021（3）：45-52．

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（作者周遠(yuǎn)方系湖北省教育科學(xué)研究院正高級教師、特級教師，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎獲得者；張利系湖北省教育考試院助理研究員）

責(zé)任編輯：祝元志