運(yùn)用綜合解題思路解答多項(xiàng)選擇題的探索

錢寧

摘要：所謂綜合解題思路，就是面對(duì)難度較大的多項(xiàng)選擇題時(shí)，要集中聯(lián)系、分析、判斷、推理于一體，以某一種解題方法為主，同時(shí)綜合運(yùn)用比較、計(jì)算、作圖、驗(yàn)證、排除等多種方法，以達(dá)到“準(zhǔn)確、快速、靈活、巧妙”解題的目的.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合法；公式計(jì)算法；各個(gè)擊破法；綜合處理

選擇題具有“小巧靈活、概括性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣、考查容量大、數(shù)學(xué)思想豐富、解題思路廣、有一定的綜合性與深度”等特點(diǎn)[1]，是每年高考的重點(diǎn)題型，在高考試卷中數(shù)量大，占分比例高，全國(guó)卷和部分自主命題省份的高考試卷中選擇題占60分（單項(xiàng)選擇題40分，多項(xiàng)選擇題20分）.其中，多項(xiàng)選擇題是近年來(lái)全國(guó)高考卷中出現(xiàn)的一種新題型，以2022年新高考卷為例，共設(shè)4個(gè)小題，每小題5分，共20分；在每小題給出的A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，要全部選對(duì)才能得5分，部分選對(duì)只能得2分，只要有一項(xiàng)選錯(cuò)就不得分（0分）.在單項(xiàng)選擇題中，只需要在四個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)正確答案即可，而在多項(xiàng)選擇題中，要在四個(gè)選項(xiàng)中，選出多個(gè)答案，而且要全部選對(duì)才能得滿分.從上述的給分標(biāo)準(zhǔn)和答題的要求來(lái)看，其難度可窺見(jiàn)一斑！當(dāng)然，無(wú)論是從試題的整體難度、選項(xiàng)的迷惑性，還是從篩選的復(fù)雜性等相比較，多項(xiàng)選擇題的解答遠(yuǎn)比單項(xiàng)選擇題麻煩，難怪許多考生面對(duì)多項(xiàng)選擇題會(huì)發(fā)出“得分不易失分易”的槪嘆.

不管是單選題還是多選題，它們都是選擇題，其解法既有區(qū)別又有聯(lián)系.當(dāng)然，解答一些較復(fù)雜的多選題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用幾種方法.下面重點(diǎn)探索如何運(yùn)用綜合解題的思路來(lái)解答多項(xiàng)選擇題.

1 數(shù)形結(jié)合法

例1 （2022年新高考Ⅰ卷第9題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則（）.

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

解析：如圖1，連接B1C，BC1.因?yàn)镈A1∥B1C，所以直線BC1與B1C所成的角即為直線BC1與DA1所成的角.因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形，則B1C⊥BC1，所以直線BC1與DA1所成的角為90°.

故選項(xiàng)A正確.

連接A1C，因?yàn)锳1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.

因?yàn)锽1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1B1C.又A1C平面A1B1C，所以BC1⊥CA1.

故選項(xiàng)B正確.

連接A1C1，設(shè)A1C1∩B1D1=O，連接BO.

因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，C1O平面A1B1C1D1，所以C1O⊥B1B.又C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B=B1，所以C1O⊥平面BB1D1D.

因?yàn)镃1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角，易知∠C1BC=45°.

故選項(xiàng)D正確.

故本題答案應(yīng)選：A，B，D.

方法探索：以數(shù)形結(jié)合法為主，充分利用立體幾何知識(shí)，通過(guò)作圖、分析圖形，綜合使用觀察、對(duì)比、驗(yàn)證、排除等方法依次對(duì)照選項(xiàng)進(jìn)行篩選判斷.

2 公式計(jì)算法

例2 （2022年新高考Ⅱ卷第11題）如圖2，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB=ED=2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則（）.

A.V3=2V2

B.V3=2V1

C.V3=V1+V2

D.2V3=3V1

解析：如圖3，設(shè)AB=ED=2FB=2a，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，所以

連接BD，交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，可知BD⊥AC.又因?yàn)镋D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以ED⊥AC.又ED∩BD=D，ED，BD平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.

綜上，2V3=3V1，V3=3V2，V3=V1+V2.

把上述計(jì)算的結(jié)果與選項(xiàng)逐一對(duì)照，發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C，D正確.故本題答案應(yīng)選：C，D.

方法探索：本題主要采用以三棱錐的體積計(jì)算結(jié)果與選項(xiàng)對(duì)照的方法進(jìn)行判斷，求解過(guò)程中還綜合運(yùn)用了作圖（添加輔助線）、觀察、證明、對(duì)照比較等方法.

3 各個(gè)擊破法

例3 （2022年新高考Ⅰ卷第10題）已知函數(shù)f（x）=x3-x+1，則（）.

A.f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)（0，1）是曲線y=f（x）的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f（x）的切線

解析：根據(jù)題意可知，f′（x）=3x2-1.令f′（x）>

令h（x）=x3-x，該函數(shù)的定義域?yàn)閇WTHZ]R[WTBX]，h（-x）=（-x）3-（-x）=-x3+x=-h（x），

則h（x）是奇函數(shù)，點(diǎn)（0，0）是h（x）的對(duì)稱中心.

將h（x）的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f（x）的圖象，所以點(diǎn)（0，1）是曲線y=f（x）的對(duì)稱中心.故選項(xiàng)C正確.

令f′（x）=3x2-1=2，可得x=±1.又f（1）=f（-1）=1，則當(dāng)切點(diǎn)為（1，1）時(shí)，切線方程為y=2x-1；當(dāng)切點(diǎn)為（-1，1）時(shí)，切線方程為y=2x+3.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，排除.

故本題答案應(yīng)選：A，C.

方法探索：本題綜合應(yīng)用了定義法、比較法、驗(yàn)證法、代入法、分析法、排除法等多種方法，采用各個(gè)擊破的策略，一種方法解決一個(gè)選項(xiàng).首先根據(jù)極值點(diǎn)的定義判斷A選項(xiàng)正確；再結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性、極值等判斷B選項(xiàng)錯(cuò)誤；利用函數(shù)圖象的平移判斷C選項(xiàng)正確；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程判斷D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

從上述的解題探索中可以看出，多項(xiàng)選擇題由于涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，很難用單純的某一種方法去解答，很多情況下需要運(yùn)用綜合處理的解題思路，直接方法與間接方法相結(jié)合，幾種方法交替或同時(shí)并用[2]，這樣才有可能達(dá)到“又快又準(zhǔn)”“小題小做”的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]歐陽(yáng)群壯.高考數(shù)學(xué)選擇題的解答方法與技巧探析[J].中學(xué)教學(xué)參考，2016（23）：28，103.

[2]杜雨軒.試析考試中如何快速解答高中數(shù)學(xué)選擇題[J].數(shù)理化解題研究，2017（19）：29-30.