固本探源，突破瓶頸，提高效益

王嘉琨

摘要：基于“三新”背景下的高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)效益的提升，是教與學(xué)中的一個(gè)熱門話題.通過(guò)回歸教材、鉆研真題、滲透文化、變式訓(xùn)練等方式的展開與教學(xué)，從中探討如何提升一輪復(fù)習(xí)的效益.

關(guān)鍵詞：教材；課程；高考；創(chuàng)新；應(yīng)用

在新教材（人民教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過(guò)）、新課程（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂》）、新高考的“三新”背景下，高考堅(jiān)持核心素養(yǎng)導(dǎo)向，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，注重?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用.基于“三新”背景下的高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)，要切實(shí)貫徹與落實(shí)高考改革的考查要求，因此，綜合高效復(fù)習(xí)就變得尤其重要.

1 回歸高中教材，探究知識(shí)本源

新高考不再有《考試大綱》的局限與限制，高中數(shù)學(xué)教材成為高考的主要依據(jù)之一.通過(guò)近幾年的新高考數(shù)學(xué)試卷可以發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)教材是高考數(shù)學(xué)試題的命題來(lái)源與知識(shí)基礎(chǔ)，是高考能力題的立足點(diǎn)與生長(zhǎng)點(diǎn).高考數(shù)學(xué)試題就是對(duì)高中數(shù)學(xué)教材的橫向優(yōu)化，形成知識(shí)的聯(lián)系與交匯；同時(shí)也是高考中數(shù)學(xué)教材的縱向深化，滲透核心素養(yǎng)，考查數(shù)學(xué)能力.

例1 〔人教版《數(shù)學(xué)》（選擇性必修二冊(cè)）第94頁(yè)練習(xí)第2題〕證明不等式：x-1≥ln x，x∈（0，+∞）.

以上重要不等式及其他一些相關(guān)的結(jié)論，如（1）ex>x+1（x≠0），（2）ln x0），在證明不等式，判斷大小關(guān)系以及其他綜合問(wèn)題中，可以進(jìn)行巧妙應(yīng)用或通過(guò)再加工來(lái)綜合，往往是新高考中一些創(chuàng)新試題的知識(shí)本源所在.如：

綜上分析，可知c

因而，高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教與學(xué)的過(guò)程中，一定要緊緊抓住教材，任何階段都不能脫離教材，通過(guò)對(duì)教材中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與典型例（習(xí)）題加以總結(jié)與提煉，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)知識(shí)“串”，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題“鏈”，從而更加深入地探究高考數(shù)學(xué)命題的本源，全面開展一輪復(fù)習(xí)與教學(xué).

2 鉆研高考真題，挖掘命題規(guī)律

合理鉆研近年新高考數(shù)學(xué)真題，切實(shí)領(lǐng)會(huì)高考試題的設(shè)計(jì)思路、考查要點(diǎn)與考查意圖等，從中探尋高考命題的變化、創(chuàng)新與規(guī)律，更好地服務(wù)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教與學(xué)，進(jìn)而合理改變教與學(xué)過(guò)程中由全面覆蓋、盲目備考轉(zhuǎn)向抓住主干、精準(zhǔn)備考.

A.tan（α+β）=1

B.tan（α+β）=-1

C.tan（α-β）=1

D.tan（α-β）=-1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，先利用兩角和與差的公式加以展開，使得復(fù)雜角轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單角，然后結(jié)合變形所得的三角函數(shù)關(guān)系式，利用兩角和與差的公式進(jìn)行“逆向”轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行三角函數(shù)式的變形與求值.

整理，可得sin αcos β-cos αsin β=-cos αcos β-sin αsin β，即sin（α-β）=-cos（α-β）.

所以tan（α-β）=-1.故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)問(wèn)題，一直是新高考中考查的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn).常規(guī)方法是利用三角函數(shù)中相關(guān)的公式，如三角恒等變換公式、輔助角公式、和差化積公式與積化和差公式等加以變形與轉(zhuǎn)化，或者利用特殊值、整體驗(yàn)證等思維方式來(lái)處理.

3 強(qiáng)化變式訓(xùn)練，提高復(fù)習(xí)效益

高考復(fù)習(xí)不是新授課，要精心挑選典型例題與配套的習(xí)題，注意總結(jié)解題規(guī)律，并從中提煉出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生能舉一反三，融會(huì)貫通，觸類旁通，形成從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)到數(shù)學(xué)綜合，從解題模仿到變式拓展，從變式練習(xí)到創(chuàng)新應(yīng)用的層層遞進(jìn)，多層面、多視角、螺旋式步步提升，真正有效提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益.

分析：根據(jù)題設(shè)條件與所求結(jié)論中a，c具有輪換性，采用兩邊長(zhǎng)相等的特殊化處理，通過(guò)余弦定理確定對(duì)應(yīng)角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與二倍角公式加以變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以求值.本題可以借助“一題多解”的方式繼續(xù)展開，這里從略，在此基礎(chǔ)上還可以進(jìn)一步變式與拓展.

點(diǎn)評(píng)：由解三角形問(wèn)題，聯(lián)想到圓錐曲線與平面幾何問(wèn)題，產(chǎn)生良好的效益.結(jié)合高考數(shù)學(xué)真題，探究高考命題變化與命題改革，巧妙貫徹?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新與數(shù)學(xué)應(yīng)用，滲透創(chuàng)新應(yīng)用場(chǎng)景與數(shù)學(xué)文化，結(jié)合典型數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變式訓(xùn)練與拓展創(chuàng)新，回避題海戰(zhàn)術(shù)，全面提升高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益.

4 滲透數(shù)學(xué)文化，突破應(yīng)用瓶頸

2022年的新高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了南水北調(diào)工程、地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣、中國(guó)古代建筑、流行病學(xué)調(diào)查等數(shù)學(xué)文化創(chuàng)新問(wèn)題，與新課標(biāo)所強(qiáng)調(diào)的“創(chuàng)新性、應(yīng)用性”相吻合.隨著新高考的逐步深入，社會(huì)實(shí)踐的應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化的滲透等應(yīng)用型問(wèn)題情境已經(jīng)成為高考的一類必考題.

例4 某艦隊(duì)為慶祝軍艦入列10周年，艦隊(duì)官兵舉行了盛大的慶祝儀式，在艦上布置了彩旗（如圖1），掛彩旗的繩子長(zhǎng)100 m，繩子固定在艦島上高度均為16 m、相距28 m的兩處艦橋的AB和CD的端點(diǎn)A和C處，并在甲板上E處繃緊，已知繩子和兩艦橋在同一平面內(nèi)，則甲板上E點(diǎn)到艦橋AB的距離為m.

分析：基于現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用場(chǎng)景，滲透數(shù)學(xué)文化，理解題目條件，合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，抓住兩線段和為定長(zhǎng)，結(jié)合橢圓的定義，正確構(gòu)建相關(guān)點(diǎn)滿足的軌跡方程，進(jìn)而得以解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.

解析：如圖2所示，以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有A（-14，0），C（14，0），B（-14，-16），D（14，-16）.

依題可知|AE|+|CE|=100>28.

點(diǎn)評(píng)：新高考背景下，中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍與文明創(chuàng)造、現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展與技巧、社會(huì)進(jìn)步與生活場(chǎng)景等各方面的創(chuàng)新應(yīng)用都巧妙融入到了高考數(shù)學(xué)試卷中，以各種形式融合相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)加以應(yīng)用，巧妙達(dá)到滲透創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的目的.

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，合理回歸高考數(shù)學(xué)教材，扎根數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)，結(jié)合高考數(shù)學(xué)真題，探究高考命題變化與命題改革，貫徹?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新與數(shù)學(xué)應(yīng)用，滲透創(chuàng)新應(yīng)用場(chǎng)景與數(shù)學(xué)文化，結(jié)合典型數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變式訓(xùn)練與拓展創(chuàng)新，回避題海戰(zhàn)術(shù)，進(jìn)而全面提升高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益.