HPM視域下“數(shù)學閱讀”助推有效教學的探究

［摘? 要］ HPM視域下的“數(shù)學閱讀”是指借助史實資料啟思激趣、拓展視野、挖掘潛能. 當前的“數(shù)學閱讀”現(xiàn)狀不容樂觀，學生存在怯閱讀與被動讀的現(xiàn)象，教師存在欠重視與欠底蘊的情況. 文章結(jié)合HPM閱讀的意蘊，提出“數(shù)學閱讀”助推有效教學的措施有：構(gòu)建閱讀情境，啟智激思；閱讀復述實驗，發(fā)展認知；人文故事閱讀，文化熏陶.

［關鍵詞］ HPM；數(shù)學史；閱讀

1972年，在第二屆國際數(shù)學大會上，數(shù)學史和數(shù)學教學關系國際研究小組（簡稱HPM）的成立標志著這一學術領域的誕生. 雖然HPM已經(jīng)誕生了五十多年，但我國從2005年才真正關注到這一領域. 近年來，關于HPM的研究文獻呈現(xiàn)逐年增多的趨勢，但大部分研究都聚焦于數(shù)學史的價值，關于實踐實證的研究雖然有一些，卻比較單一. 為此，筆者基于HPM視域下的“數(shù)學閱讀”促進有效教學進行了大量研究，現(xiàn)與同行分享.

“數(shù)學閱讀”現(xiàn)狀分析

提到“閱讀”這個詞語，我們的第一反應是文科類的閱讀. 其實，良好的“數(shù)學閱讀”能力對數(shù)學教學有著重要的促進作用. 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當前的數(shù)學教學在“數(shù)學閱讀”方面存在以下問題.

1. 學生情感方面——怯閱讀

當數(shù)學教材上呈現(xiàn)出關于數(shù)學史方面的閱讀材料時，有些學生會選擇直接跳過. 交流發(fā)現(xiàn)，這些學生對于與數(shù)學史有關的閱讀材料有一種“膽怯”心理，覺得自己讀不懂，即使讀懂了，對解題也沒有什么幫助. 正因為這種害怕閱讀的心理，導致很多學生在“數(shù)學閱讀”方面呈現(xiàn)出惡性循環(huán)，讀得越少，越不想讀，越懼怕讀，不讀自然沒有收獲與感悟.

2. 學生主動性方面——被動讀

教師雖然安排了相關的“數(shù)學閱讀”內(nèi)容，學生卻因為缺乏學習主動性，不愿意參與閱讀或為了完成任務而被動地象征性地讀一遍. 這種缺乏主動性的閱讀是空洞、無內(nèi)容的閱讀，學生在“不走心”的狀態(tài)下，只是完成了教師所布置的任務，不帶思考地去讀，最終因閱讀內(nèi)容單一、機械、零碎，顆粒無收.

3. 教師觀念方面——欠重視

有些教師本身就存在“重解題，輕閱讀”的心理，對“數(shù)學閱讀”沒有引起足夠的重視，在教學中不僅不會向?qū)W生滲透閱讀的重要性，還會選擇直奔主題地授課，忽視教材文本中的閱讀指導內(nèi)容. 在這種背景下，學生自然不會重視“數(shù)學閱讀”，更無法形成良好的“數(shù)學閱讀”習慣.

4. 教師能力方面——欠底蘊

有些教師完全拘泥于教材，本身的數(shù)學文化底蘊不夠，無法在“數(shù)學閱讀”方面給予學生充足的指導，導致學生無法獲取合適的閱讀材料. 即使這部分教師自身重視“數(shù)學閱讀”，也會因認知水平的限制，而無法給予學生科學、合理的指導，造成學生的閱讀得不到及時、準確的反饋與鼓勵，以致嚴重消減了學生的閱讀積極性，阻礙了學生閱讀習慣的培養(yǎng).

以上幾種情況阻礙了學生在“數(shù)學閱讀”方面的發(fā)展，致使HPM的落實受到了阻礙，這也是造成數(shù)學核心素養(yǎng)目標無法落地生根的原因之一.

解讀HPM閱讀的意蘊

1. HPM閱讀的內(nèi)涵

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，意指數(shù)學史和數(shù)學教育的融合. HPM閱讀一般指以某個知識點的數(shù)學史相關材料作為閱讀內(nèi)容進行閱讀、分析、領悟的過程. 學生在HPM閱讀過程中，通過閱讀、實驗、復述、感悟來理解數(shù)學知識的來龍去脈，并在深度閱讀中感知數(shù)學思想與認知的同化意義建構(gòu)，實現(xiàn)喚醒原有認知、激發(fā)潛能、啟迪心智等作用，從本源上為提升學生的數(shù)學文化素養(yǎng)奠定基礎［1］.

2. HPM閱讀的特性

（1）歷史情境性

HPM閱讀最大的特點就是數(shù)學史的重現(xiàn). 學生所接觸到的數(shù)學概念、定理、法則等都是前人提煉、總結(jié)的成果. 至于它們的由來，則可通過HPM閱讀來獲知. HPM閱讀材料能將數(shù)學知識的形成與發(fā)展過程情境再現(xiàn)，學生能從中感知數(shù)學思想的變通與融合，追根溯源到數(shù)學知識的源頭，為揭示知識本質(zhì)做鋪墊.

（2）知識系統(tǒng)性

HPM閱讀與普通閱讀最大的區(qū)別在于，它能將零散的數(shù)學知識“串珠成鏈”，學生能從豐富的閱讀材料中感知知識從何而來，如何來，到哪兒去. 這也是回歸到知識的起源，從其發(fā)展進程出發(fā)，讓學生明晰其應用價值的過程. 學生在閱讀中能主動地深層次建構(gòu)知識脈絡，組建完整的知識網(wǎng)絡，領悟數(shù)學思想方法等，能為后續(xù)解題夯實基礎.

（3）文化育人性

每一個知識的形成背后都凝聚著數(shù)學家大量的汗水，有些知識經(jīng)歷了成百上千次的重構(gòu)才有今天的成就. 帶領學生閱讀知識背后的故事，往往能有效激發(fā)學生的科研精神. 有很多數(shù)學成就起源于中國，中國數(shù)學家的鉆研精神與愛國精神等都具有良好的育人價值. 學生從大量的閱讀材料中可以感知到數(shù)學學科獨有的理性精神，以及先人們在生活實踐中追求真理的創(chuàng)新精神，這能為促進學生形成正向的數(shù)學觀奠定基礎.

（4）素養(yǎng)提升性

徐利治先生認為，新課改背景下的數(shù)學教學應該是融合數(shù)學史的教育，要充分發(fā)揮數(shù)學史的教育價值與功能. 對于數(shù)學教學，HPM閱讀的優(yōu)勢在于其具有能高度融合數(shù)學史與教學內(nèi)容的特點，能從根本上提高學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)［2］. 學生在HPM閱讀中，能基于自身的認知水平與學習經(jīng)驗理解閱讀材料，并與史實進行深層次的對話，這能讓他們對數(shù)學史形成辯證的認識.

HPM閱讀促進有效教學的措施

設計HPM閱讀應將一個知識的“前世今生”系統(tǒng)地整理出來，并將其中蘊含的數(shù)學思想方法體現(xiàn)在閱讀材料中，讓學生在感知前人的智慧的同時建構(gòu)有意義的知識體系. 當然，數(shù)學HPM閱讀并不單純是課堂上的事情，還需要家校聯(lián)動、通力合作，這樣學生才能獲得豐富的閱讀資源，形成良好的溝通環(huán)境，實現(xiàn)高質(zhì)量的閱讀成效.

1. 構(gòu)建閱讀情境，啟智激思

（1）思維導圖助力HPM閱讀

思維導圖具有條理清晰、主題明確、短小精悍等特點，在各學科的教學中，應用頻率越來越高. 借助思維導圖實施HPM閱讀，能讓學生從某一范疇內(nèi)的具體實例中抽象出知識的主要特征，發(fā)現(xiàn)事物的重要屬性，并將這些特征與屬性綜合在一起形成一個有組織結(jié)構(gòu)的概括.

思維導圖能幫助學生根據(jù)數(shù)學事物的具體特征，結(jié)合不同的概括方法，在長時記憶中存儲相關原理、事實與理論. 這種啟發(fā)學生智慧、激活學生思維的閱讀方式是鑒別知識與知識之間聯(lián)系的重要途徑，能為促進學生形成良好的邏輯推理與解決問題的能力奠定基礎.

教材中的數(shù)學史一般以文字的方式呈現(xiàn)；而關于幾何方面的史料，則常以圖文結(jié)合的方式呈現(xiàn). 如人們熟悉的勾股定理的證法示例以及黃金分割等的相關實例，都是以文字或圖文結(jié)合的方式呈現(xiàn). 教師在指導學生閱讀這部分內(nèi)容時，可設計教學場景，進一步對史料進行拓展與延伸，將與之相關的數(shù)學家、具體發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容、時空情境、知識內(nèi)外轉(zhuǎn)化等進行融合，并以思維導圖的方式進行閱讀材料的整理.

學生能從條理清晰的思維導圖中體驗到知識的由來，感知知識形成的坎坷，領悟數(shù)學思想方法在數(shù)學知識的形成與發(fā)展中起到的作用. 在充分了解知識的“前世今生”后，學生則會嘗試用數(shù)學的思維去思考問題，用數(shù)學方法去探尋解決實際問題的方法.

（2）信息技術驅(qū)動HPM閱讀

隨著時代的發(fā)展，近年來信息技術在助推學科教育教學方面取得了突破性的進展. 借助信息技術的先進手段驅(qū)動HPM閱讀也取得了豐碩的成果. 教師利用信息技術手段巧妙地設計“數(shù)學閱讀”材料，并以學生感興趣的形式，讓學生在豐富的場景與知識的演變中，切身體驗數(shù)學家是怎樣從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的，并在產(chǎn)生疑惑后是利用怎樣的手段解決問題的.

場景的再現(xiàn)，將知識發(fā)展的典故、趣聞等，形象、生動地展示在學生面前，讓學生有身臨其境之感，從而更好地體悟知識的演變過程，起到啟思激趣的作用. 此外，豐富的場景也能讓學生充分感知知識源自生活，又反過來服務于生活的真諦.

2. 閱讀復述實驗，發(fā)展認知

數(shù)學實驗是發(fā)展學生認知體系的良好方式，對促進學生的自我主體建構(gòu)具有重要的意義. HPM閱讀同樣可以通過數(shù)學實驗的方式帶給學生親身體驗，帶領學生突破傳統(tǒng)意義上的閱讀方式，將閱讀上升到促進學生形成切身體驗的范疇. 數(shù)學實驗會帶給學生一種多維、運動的場景，調(diào)動學生的多種感官系統(tǒng)參與到閱讀中，直達知識本質(zhì)，發(fā)展學生的認知.

從心理學的角度出發(fā)，機械重復地記憶數(shù)學概念、公式或運算法則等，難以真正地領悟其原理與內(nèi)涵，但通過精細實驗與復述的方式去挖掘其深層含義，則能揭示知識間的聯(lián)系. 這種通過實驗促使學生進行復述的方式，可充分調(diào)動學生閱讀的積極性，能讓他們將數(shù)學信息從工作記憶轉(zhuǎn)化到長時記憶模式.

數(shù)學史并不是靜止不變的，它具有動態(tài)發(fā)展的特性，我們每個人都在參與著數(shù)學史的發(fā)展. 因此，設計閱讀時，教師可引導學生進行角色轉(zhuǎn)化，鼓勵學生從被動的聆聽者轉(zhuǎn)化成主動的敘述者，以訓練學生的語言表達能力、理解能力與思維能力等，從而促進學生認知的發(fā)展.

案例1 “圖形旋轉(zhuǎn)”的教學.

為了訓練學生的語言表達能力與閱讀能力，教師可要求學生在課前收集一些關于“費馬點”的史料，并自主制作成微課，到課堂上播放、交流.

學生從費馬這個人物的簡介開始，提出費馬是法國著名的物理學家、數(shù)學家. 早在17世紀，不少人都在研究“在一個三角形內(nèi)，哪個點和各頂點的距離之和最小”的問題，費馬作為一個業(yè)余的數(shù)學家，第一個在△ABC內(nèi)找到了能使PA+PB+PC的值最小的點P. 這一發(fā)現(xiàn)引起了數(shù)學界的轟動，該點也被命名為費馬點.

在此基礎上，教師再進行新課授課，學生的探究熱情高漲，積極地探索費馬點的作圖方法及如何運用圖形旋轉(zhuǎn)進行證明，教學成效顯著. 由此可見，豐富的閱讀方式，能拓展視野、啟思激趣、發(fā)展認知，能點燃學生的學習熱情.

3. 人文故事閱讀，文化熏陶

教師設置閱讀任務時，若布置大量雷同的學習任務或搞題海戰(zhàn)術，容易導致學生對這些單一的刺激喪失興趣；若結(jié)合學生的認知需求，設置一些新奇的閱讀材料，則不僅能增強課堂的趣味性，還能提高學生的文化修養(yǎng).

案例2 “勾股定理”的教學.

勾股定理在數(shù)學領域中具有特殊的地位，古往今來研究勾股定理的人也特別多. 在本節(jié)課授課前，教師可從勾股定理相關的一些小故事出發(fā)，激發(fā)學生對這部分知識的研究興趣.

《周髀算經(jīng)》中記載了如下一個故事.

商高曰：“數(shù)之法，出于圓方. 圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五. 既方之外，半其一矩，環(huán)而共盤，得成三、四、五. 兩矩共長二十有五，是謂積矩. 故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也. ”

從中可以看出在大禹治水時期人們就對“勾三股四弦五”有了初步認識，由此能讓學生感受到知識源自實踐.

除此之外，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的故事也相當有趣. 他在朋友家等餐時，意外發(fā)現(xiàn)朋友家的地磚上的三角形的三條邊向外各自延伸出正方形，巧合的是“兩個小正方形的面積之和與大正方形的面積相等”. 由此，他展開猜想與證明，最終得到了著名的畢達哥拉斯定理.

這兩個經(jīng)典的故事，不僅充分說明了數(shù)學源自生活，還告訴學生要學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，偉大的發(fā)現(xiàn)或許就在生活的不經(jīng)意間獲得.

總之，數(shù)學史承載著諸多教學信息，是連接現(xiàn)實世界與數(shù)學知識的重要紐帶. 在HPM視域下設計閱讀活動，可借助現(xiàn)代化技術、小故事等揭示知識本質(zhì)，讓學生深層次地認識知識內(nèi)涵，提升“數(shù)學閱讀”能力與文化素養(yǎng)，助力數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻：

［1］張小明，汪曉勤. HPM的實踐和若干啟示［J］. 中學數(shù)學教學參考，2006（Z1）：117-120.

［2］鄒佳晨，沈中宇，汪曉勤. 架設溝通數(shù)學史與數(shù)學教育的橋梁——基于HPM-2016的文獻分析［J］. 數(shù)學通報，2020，59（12）：14-19+40.

作者簡介：張世民（1979—），本科學歷，一級教師，從事中學數(shù)學學科教學與研究工作.