例談重建平面直角坐標(biāo)系巧解一類二次函數(shù)綜合題

［摘? 要］ 以二次函數(shù)為背景，融平面幾何、三角函數(shù)等核心知識(shí)、核心方法于一體的綜合題，是中考或其他大型聯(lián)考的必考題型，有很強(qiáng)的區(qū)分度. 縱觀歷年來學(xué)生的答題情況，他們往往在運(yùn)算上出現(xiàn)障礙. 學(xué)生想不到重建平面直角坐標(biāo)系來簡(jiǎn)化二次函數(shù)表達(dá)式，以削減計(jì)算量.

［關(guān)鍵詞］ 二次函數(shù)；重建平面直角坐標(biāo)系；簡(jiǎn)化

在每年的中考復(fù)習(xí)或中考中，都會(huì)出現(xiàn)以二次函數(shù)為背景的原創(chuàng)綜合題. 有這么一類二次函數(shù)綜合題，要么是解題思路雖很清晰，但因運(yùn)算量大、技巧性強(qiáng)，難倒了一大批學(xué)生；要么是解題思路隱蔽，思路受阻，又難倒了一大批學(xué)生. 對(duì)于這類綜合題，有無良好的應(yīng)對(duì)之策？下面舉例說明.

例題1 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）略；

（3）若過點(diǎn)E的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，連接DM，DN，判斷DM與DN的位置關(guān)系并說明理由.

原解析 （1）易得拋物線的解析式為y=-x2-4x-3，E（-2，0）.

（2）略.

（3）此問的解決思路多樣且清晰，如：①運(yùn)用勾股定理的逆定理，即由DM 2+DN 2=MN 2，推得DM⊥DN；②運(yùn)用直線DM與直線DN的斜率乘積為-1推得DM⊥DN；③運(yùn)用（圖1中的）△MFD∽△DGN，證得∠FMD=∠NDG，從而推得DM⊥DN. 但無論采用哪種方法均需設(shè)出直線MN的解析式y(tǒng)=kx+2k，及M（x，y），N（x，y）. 不妨采用方法②，根據(jù)題意，令-x2-4x-3=kx+2k，即x2+（k+4）x+2k+3=0，所以x+x=-k-4，x·x=2k+3. 所以k·k=·===

==-1.所以DM⊥DN.

原解析的剖析及新解析的設(shè)想：以上求解第（3）問的方法很常規(guī)，但對(duì)數(shù)式運(yùn)算的要求很高，只有具備一定運(yùn)算能力的學(xué)生才能完成. 這道題煩瑣在何處？筆者認(rèn)為煩瑣在二次函數(shù)解析式是二次三項(xiàng)式. 那能否將二次三項(xiàng)式化為二次一項(xiàng)式？可以！重新建立平面直角坐標(biāo)系即可. 以拋物線的頂點(diǎn)D為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系x′Dy′，于是可得在新平面直角坐標(biāo)系下拋物線的解析式為y=-x2. 而且容易看出，在新的平面直角坐標(biāo)系中，原圖形的形狀、圖形中的相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系均未改變，改變的僅僅是各條直線及拋物線的解析式. 所以第（3）問可以化歸到新的平面直角坐標(biāo)系中來加以解決.

第（3）問的新解析? 以拋物線的頂點(diǎn)D為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系x′Dy′. 于是可得在新平面直角坐標(biāo)系下拋物線的解析式為y=-x2，直線MN的解析式為y=kx-1. 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），令-x2=kx-1，即x2+kx-1=0，所以x+x=-k，x·x=-1. 所以k·k=·====-1. 所以DM⊥DN.

例題1中的新解法簡(jiǎn)捷明了，這不禁讓筆者回想起多年前的一道題.

例題2 （江蘇如皋一模）如圖3所示，拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸是直線x=1，與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0） ，B兩點(diǎn). 將拋物線y=x2+bx+c繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M，A兩點(diǎn)分別為M，A兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點(diǎn).

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的解析式.

（2）略.

（3）設(shè)P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM之間的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PMMD的面積最大？如果存在，請(qǐng)求出四邊形PMMD面積的最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

原解析 （1）易求得B（5，0），拋物線的解析式為y=x2-x-.

（2）略.

（3）此問太新穎了，在平時(shí)的教學(xué)和練習(xí)中，學(xué)生只研究過拋物線開口向上或向下的情況，開口向左或向右的拋物線他們沒研究過. 對(duì)于此問，能做出正確答案的學(xué)生太少了，教師們的做法也大多是將其轉(zhuǎn)化到開口向上的拋物線上去研究. 全市統(tǒng)一閱卷時(shí)，所給的參考答案也是上述方法，詳述如下.

如圖3所示，連接MD，因?yàn)镾是定值，所以要使四邊形PMMD的面積最大，只需要S最大. 將△PDM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M與點(diǎn)M重合. 設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P與點(diǎn)Q是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn). 因?yàn)镼，F(xiàn)兩點(diǎn)都在拋物線y=x2-x-上，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-5，5）. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為n，

n+= -（n+2）2+. 所以當(dāng)n=-2時(shí)，S取得最大值=. 因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（9，-4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-10），所以S=×6×8=24. 所以四邊形PMMD的最大面積為24+=. 所以存在點(diǎn)P使四邊形PMMD的面積最大，且最大面積為.

原解析的剖析及新解析的設(shè)想：以上求解第（3）問的方法體現(xiàn)了還原的轉(zhuǎn)化思想，而且對(duì)“求點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)”要求也較高. 在新的問題背景中，很少有學(xué)生想到還原、轉(zhuǎn)化. 有無簡(jiǎn)捷之法？有！筆者注意到旋轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的形狀相同，為了便于寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式，我們不妨以M為原點(diǎn)，以旋轉(zhuǎn)后拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系x′My′，此時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系下的解析式為y=x2，而且在新的平面直角坐標(biāo)系下，原圖形的形狀、圖形中的相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系均保持不變，改變的僅是直線或拋物線的解析式. 于是第（3）問可以化歸到新的平面直角坐標(biāo)系中來加以解決.

（3）問的新解析? 以M為原點(diǎn)，以直線MM為y軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系x′My′. 為了研究問題的方便，可抽出基本圖形如圖5所示. 在新的平面直角坐標(biāo)系x′My′下，拋物線的解析式為y=x2，直線CD的解析式為y=9，所以D（-6，9）. 所以直線DM的解析式為y=-x. 過點(diǎn)P作y′軸的平行線交直線DM于點(diǎn)Q， 設(shè)Pp，

p-p2= -（p+3）2+（-6<p<0）. 所以當(dāng)p=-3時(shí)，S有最大值. 又因?yàn)镾=×6×8=24，所以四邊形PMMD的面積有最大值，且最大值為24+=.

上兩例的新解析凸顯了重新建立平面直角坐標(biāo)系的普適性和簡(jiǎn)捷性.

（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立新的平面直角坐標(biāo)系并不影響原來的圖形形狀、圖形中的相對(duì)數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系——這是重新建立平面直角坐標(biāo)系的普適性.

（2）在新的平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的解析式一般是以形如y=ax2（a≠0）的形式參與運(yùn)算，大大降低了運(yùn)算量——這是重新建立平面直角坐標(biāo)系后解決問題的簡(jiǎn)捷性.

在與同行們進(jìn)行研討時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)教師們?cè)谟龅綇?fù)雜的二次函數(shù)解析式參與運(yùn)算或?qū)佄锞€繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后不知解析式時(shí)，他們很少想到重新建立平面直角坐標(biāo)系. 另外，筆者上網(wǎng)搜索有關(guān)重新建立平面直角坐標(biāo)系的文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)這樣的文獻(xiàn)也很少. 基于此，筆者將平時(shí)教學(xué)中的點(diǎn)滴心得，流于筆端，撰寫成文，以期對(duì)大家有一定的借鑒作用，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正！

作者簡(jiǎn)介：李霞（1976—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲如皋市優(yōu)秀教育工作者稱號(hào).