分類討論：建構(gòu)初中數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式

徐茜敏

【摘要】分類討論是一種解題方法，也是一種思維理念.學(xué)生熟練運(yùn)用分類討論方法，可以提高解題的正確率，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.本文首先分析分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義，然后從“創(chuàng)設(shè)熟悉情境，培養(yǎng)分類意識(shí)”“依托分類思想，厘清數(shù)學(xué)概念”“布置分類任務(wù)，探究幾何問題”“注重解題訓(xùn)練，實(shí)施分類實(shí)踐”四個(gè)方面探索分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用策略.

【關(guān)鍵詞】分類討論；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

分類討論思想，是解決問題的一種基本策略，更是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式.這需要學(xué)生根據(jù)合理的邏輯，將研究對(duì)象劃分成各種不同的類別，在整理和分析的過程中推導(dǎo)出正確的結(jié)論.當(dāng)前，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用，對(duì)于公式、定理、概念、運(yùn)算等抽象的知識(shí)點(diǎn)都能起到良好的教學(xué)指導(dǎo)作用.下面，筆者結(jié)合具體的教學(xué)案例，對(duì)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用談一談自己的思考和實(shí)踐.

1 分類討論思想的應(yīng)用意義

1.1 提高問題分析能力

并非所有的問題都有唯一的答案.如果學(xué)生無法意識(shí)到這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，說明初中生未能從小學(xué)階段的學(xué)習(xí)觀念中脫離出來，數(shù)學(xué)思想存在薄弱點(diǎn)，在思考和研究的過程中很容易出現(xiàn)遺漏答案的情況.教師可以應(yīng)用分類討論思想，彌補(bǔ)學(xué)生在問題思考方面的短板.比如，針對(duì)某些結(jié)果不唯一的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)不同的情況、不同的標(biāo)準(zhǔn)，逐一討論.之后，將所有討論結(jié)果歸納匯總，將問題的答案逐步完善.由此，就能逐步養(yǎng)成良好的分類思考習(xí)慣，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得更為嚴(yán)謹(jǐn)，避免他們出現(xiàn)思維定式的問題.

1.2 優(yōu)化探究學(xué)習(xí)方式

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式通常以套用模板、反復(fù)刷題的方式為主，教師會(huì)采用“滿堂灌”的方式，將知識(shí)點(diǎn)直接填充給學(xué)生.在這種情況下，很容易僵化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，導(dǎo)致學(xué)生的探究學(xué)習(xí)效率低下.教師應(yīng)該優(yōu)化教學(xué)方式，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用分類討論思想，對(duì)不同的知識(shí)類別進(jìn)行舉例.這樣既可以鍛煉學(xué)生的合作探究能力，也能提高學(xué)生的思維水平，幫助學(xué)生更好地認(rèn)清數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì).

1.3 靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)

運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)根本目標(biāo)，但很多問題往往答案不唯一，需要進(jìn)行不同的假設(shè)后才能分別得出答案，而一旦問題需要從多角度進(jìn)行分析思考，學(xué)生的答題就會(huì)陷入僵局.通過運(yùn)用分類討論思想，可以幫助學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，將重要的公式、概念、定理融會(huì)貫通^[1].比如，數(shù)學(xué)問題的某個(gè)已知量中包含字母，學(xué)生在解答這類習(xí)題時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地根據(jù)字母的取值范圍進(jìn)行分類討論，求解出不同的題目結(jié)果.這樣可以確保解題方向的正確性，從而讓學(xué)生更好地遷移運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí).

2 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用策略

2.1 創(chuàng)設(shè)熟悉情境，培養(yǎng)分類意識(shí)

分類討論需要兼顧很多問題細(xì)節(jié)，許多初中生由于不熟悉分類討論的思考方式，當(dāng)求解出一個(gè)答案之后，就會(huì)習(xí)慣性地終止思考，忽略了有多個(gè)答案存在的情況.新課標(biāo)鼓勵(lì)教師運(yùn)用情境教學(xué)的方式，引發(fā)學(xué)生的參與積極性，從而讓學(xué)生逐漸熟悉分類討論的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)出良好的分類意識(shí).

首先，教師可以在教學(xué)中融合生活元素，讓情境更富有真實(shí)感.

例如 教師在教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)八下有關(guān)“直方圖”的課程時(shí)，可以通過電子白板創(chuàng)設(shè)以下生活情境：某初中學(xué)校為了舉辦廣播體操比賽，需要選拔一些身高相仿的學(xué)生加入方隊(duì).同時(shí)，屏幕上會(huì)展示一張身高調(diào)查表.教師根據(jù)調(diào)查表提出問題：“如何針對(duì)表中的數(shù)據(jù)，合理進(jìn)行分類？”該情境問題具有一定的開放性，學(xué)生可以大膽發(fā)表自己的觀點(diǎn).比如，有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)當(dāng)繪制頻數(shù)分布表，有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)當(dāng)先取平均數(shù)，有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)當(dāng)標(biāo)注好組數(shù)、組距.根據(jù)學(xué)生的看法，教師可以讓意見相同的學(xué)生相互合作，嘗試結(jié)合調(diào)查表繪制直方圖，并根據(jù)不同的取值范圍，得出最為合理的身高選取范圍.

其次，教師可以通過新舊結(jié)合的方式，構(gòu)建教學(xué)情境.所謂新舊結(jié)合，是以舊知識(shí)為基礎(chǔ)，引發(fā)學(xué)生的深度聯(lián)想，與新知識(shí)相互關(guān)聯(lián)在一起.

例如 教師在講解有關(guān)一元二次方程根判別式的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可以結(jié)合以前所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)入以下問題情境：關(guān)于一元二次方程，我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過各種解析的方法，大家是否能通過分類的方式，將這些方法逐一列舉出來.學(xué)生通過回憶，可以總結(jié)出直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法四種解題方法.此時(shí)，教師可以列舉四道方程例題，鼓勵(lì)學(xué)生求解出結(jié)果，并趁熱打鐵，進(jìn)一步提出分類討論問題：認(rèn)真觀察以上方程的根，分析這些根的情況是否存在差異性.學(xué)生通過討論判定，可以發(fā)現(xiàn)這些根的情況并不相同.有的存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且二者相等；有的同樣存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，但二者不等；還有的不存在實(shí)數(shù)根.根據(jù)學(xué)生的討論結(jié)果，教師可以展示一些經(jīng)典例題，讓學(xué)生思考以上總結(jié)的三種情況需要什么條件才能出現(xiàn).由此，學(xué)生在反復(fù)分類討論的過程中，就能從中得到良好的學(xué)習(xí)啟發(fā)，認(rèn)識(shí)到根的判別式在解題中有什么樣的應(yīng)用意義，逐漸體會(huì)分類討論思想的嚴(yán)謹(jǐn)性^[2].

2.2 依托分類思想，厘清數(shù)學(xué)概念

概念的掌握是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的前提和基礎(chǔ)，其中涉及公式、定理、法則等類型豐富、內(nèi)容抽象的知識(shí)要點(diǎn).一般情況下，概念的表達(dá)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，甚至每一個(gè)字都有著很重要的意義.在進(jìn)行概念教學(xué)的時(shí)候，教師要滲透分類討論的思想，幫助學(xué)生深刻掌握概念的內(nèi)涵，充分夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)^[3].

針對(duì)某些容易混淆的數(shù)學(xué)概念，由于它們的相似性相對(duì)較高，教師就可以利用分類討論思想，厘清概念，讓學(xué)生能夠深刻記憶.

例如 對(duì)于“絕對(duì)值和相反數(shù)”的概念，學(xué)生很容易弄混.教師可以利用生活場(chǎng)景，選擇三個(gè)位于一條直線的三個(gè)地方A，B，C，其中AB=BC，B為中點(diǎn).教師可以將三個(gè)點(diǎn)放在同一條數(shù)軸之中，B剛好與原點(diǎn)重合.此時(shí)，教師提出思考問題：A點(diǎn)和C點(diǎn)與原點(diǎn)有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過觀察后，可以得出“兩個(gè)點(diǎn)距離原點(diǎn)均相等”這個(gè)結(jié)論.在數(shù)軸上，教師可以用正負(fù)數(shù)標(biāo)記這兩個(gè)點(diǎn)的數(shù)值.并繼續(xù)提出問題：如果消除掉這兩個(gè)數(shù)的正負(fù)號(hào)，二者之間的關(guān)系是什么？當(dāng)學(xué)生回答相等這個(gè)答案之后，教師就能順利導(dǎo)出相反數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)概念.在此基礎(chǔ)上，教師可以繼續(xù)布置分類討論學(xué)習(xí)任務(wù)：A點(diǎn)與C點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與什么因素有關(guān)？與什么因素?zé)o關(guān)？借助生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)意識(shí)到，距離是一種長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)以正數(shù)表示，而絕對(duì)值必定是正數(shù).數(shù)軸上的數(shù)字需要考慮數(shù)字所處的位置，與正負(fù)性密切相關(guān)，需要用正負(fù)數(shù)加以表示，明顯不適用于現(xiàn)實(shí)中的距離問題.由此，學(xué)生在分類討論的過程中，就能明確兩種數(shù)學(xué)概念的不同之處.

2.3 布置分類任務(wù)，探究幾何問題

幾何問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，這類問題同樣能應(yīng)用分類討論思想加以解析.一般來講，學(xué)生需要從圖形位置、圖形形狀兩方面入手，討論對(duì)應(yīng)的圖形問題.對(duì)此，教師可以結(jié)合分類討論理念，讓學(xué)生深入理解幾何圖形有哪些性質(zhì)特點(diǎn)，找出解決幾何問題的有效方法^[4].

例如 教學(xué)“直線與圓位置關(guān)系”時(shí)，教師可以組織富有趣味性的小實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生使用圓規(guī)在草紙上繪制一個(gè)圓.隨后將直尺放置在圓上，嘗試上下移動(dòng).并提出實(shí)驗(yàn)問題，如果將直尺視為直線，你認(rèn)為這條直線通過移動(dòng)，能與圓出現(xiàn)幾種位置關(guān)系？學(xué)生們通過實(shí)驗(yàn)操作，不難發(fā)現(xiàn)相交、相切、相離三種情況.之后，教師可以通過多媒體播放日出的動(dòng)畫，將太陽(yáng)視為圓，將地平線視為直線.并引出思考問題：如視頻所示，日出的過程可以直觀反映出相交、相切、相離三種直線與圓的位置關(guān)系，圓和直線在這三種關(guān)系中分別有幾個(gè)公共點(diǎn)？學(xué)生既可以主動(dòng)上臺(tái)操作多媒體設(shè)備，在大屏幕上標(biāo)記出三種位置情況下公共點(diǎn)的數(shù)量，也可以在臺(tái)下自主探究，通過實(shí)驗(yàn)和猜想得出結(jié)論.在此基礎(chǔ)上，教師可以繼續(xù)布置分類探究任務(wù)，在相交、相切、相離三種情況下，分別判定圓的半徑跟圓心到直線的距離的長(zhǎng)短關(guān)系.借助分類討論學(xué)習(xí)任務(wù)，可以從不同的角度梳理幾何圖形位置關(guān)系的知識(shí)要點(diǎn).這樣既可以提高學(xué)生的幾何課程學(xué)習(xí)效率，也能在潛移默化中滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的幾何直觀核心素養(yǎng).

2.4 注重解題訓(xùn)練，實(shí)施分類實(shí)踐

除了基礎(chǔ)教學(xué)，分類討論思想也是解析數(shù)學(xué)題的重要武器.在新課改的背景下，初中階段的數(shù)學(xué)題目多以實(shí)踐應(yīng)用為主，題干信息相對(duì)比較復(fù)雜.學(xué)生在讀題過程中，經(jīng)常會(huì)遺漏掉重要的條件，或因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)概念掌握得不夠扎實(shí)，導(dǎo)致學(xué)生的解題結(jié)果存在偏差.因此，教師應(yīng)當(dāng)從日常的解題訓(xùn)練入手，將分類討論思想融入其中，充分強(qiáng)化學(xué)生的實(shí)踐解題能力.

例1 假如等腰三角形中有一個(gè)角為50°，試問該等腰三角形的頂角為多少度？

解析 許多學(xué)生在面對(duì)這類題目時(shí)，很容易出現(xiàn)思維定勢(shì)，將題目中給出的角默認(rèn)為底角，再經(jīng)過相應(yīng)的計(jì)算，求出頂角為80°.但題目中并未明確說明這個(gè)角不可以為頂角.因此，根據(jù)分類討論思想，應(yīng)當(dāng)?shù)贸?0°和80°兩個(gè)答案.

例2 有一個(gè)等腰三角形，它的其中兩條邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm，試問周長(zhǎng)為多少？

解析 有些學(xué)生因?yàn)槔?的前車之鑒，會(huì)下意識(shí)地使用分類討論思想，將3cm和6cm分別視為等腰三角形的腰長(zhǎng)，進(jìn)而得出12cm和15cm兩個(gè)答案.這屬于對(duì)分類討論思想的誤用，因?yàn)榉诸愑懻摷纫蟹诸惖倪^程，也要論證每一種情況是否合理.在本題中，若腰長(zhǎng)為3cm，則兩腰的長(zhǎng)度和為6cm，正好與底邊6cm相等.根據(jù)三角形的基本定義“任意兩邊的長(zhǎng)度和必定大于第三邊的長(zhǎng)度”，說明這種情況不合理，應(yīng)當(dāng)排除.因此，本題只有15cm一個(gè)答案.

例3 解方程|x－1|=2.

解析 根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，當(dāng)題目中涉及絕對(duì)值時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生警惕意識(shí).在題目中，絕對(duì)值為2的數(shù)字有2個(gè).因此，教師應(yīng)對(duì)x－1=2或x－1=－2展開分類討論，分別求出3和-1兩個(gè)正確答案.

例4 嘗試比較1+a與1－a的大小.

解析 在實(shí)際做題中，針對(duì)比較大小類的問題，采用作差法的方式最為合適.通過列式1+a－1－a，經(jīng)化簡(jiǎn)可得2a.此時(shí)，需要從2a=0，2a<0三方面進(jìn)行分類討論.由此可見，當(dāng)a>0時(shí)，1+a>1－a；當(dāng)a=0時(shí)，1+a=1－a；當(dāng)a<0時(shí)，1+a<1－a.

綜上所述，教師通過各種類型的習(xí)題演練，可以幫助學(xué)生迅速熟悉分類討論思想的實(shí)踐應(yīng)用，強(qiáng)化學(xué)生的解析思路，從而掌握良好的解題技巧.運(yùn)用分類討論思想，既能提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確性，又能培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展^[5].

3 結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理運(yùn)用分類討論思想，不僅能讓學(xué)生掌握高效的解題技巧，也能幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通.教師應(yīng)當(dāng)從情境、概念、幾何、解題等方面入手，深化分類討論思想的實(shí)踐應(yīng)用，讓學(xué)生在探究過程中充分掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)要點(diǎn)，將復(fù)雜的問題有效簡(jiǎn)化，全面發(fā)揮分類討論思想的實(shí)踐作用，從而幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式.

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